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Die binomischen Formeln

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Mathe-Team
Die binomischen Formeln
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung Die binomischen Formeln

Bestimmte Terme lassen sich in der Mathematik durch die Binomischen Formeln so vereinfachen, dass sie ganz schnell zu lösen sind. Die Binomischen Formeln wirst du in diesem Video kennen lernen. Es gibt insgesamt drei Binomische Formeln, die mithilfe von Flächen sehr anschaulich werden. Ich werde dir allerdings auch gleich erklären, wo du die Binomischen Formeln überall anwenden kannst – zum Beispiel beim Quadrieren von Zahlen, beim Kürzen von Brüchen und so weiter. Es lohnt sich also, diese drei Formeln einmal genauer anzusehen.

Transkript Die binomischen Formeln

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um die binomischen Formeln. Bestimmte Terme lassen sich besonders leicht umformen oder vereinfachen, wenn Du die binomischen Formeln anwendest. Das kann Dir viel Rechenzeit ersparen. Wir lernen zunächst die binomischen Formeln kennen, veranschaulichen die erste binomische Formel anhand einer grafischen Darstellung und wenden die binomischen Formeln an Beispielen an. Binome sind zweiteilige Terme wie zum Beispiel a+b. Zur Erinnerung: Produkte von Binomen löst Du, indem Du jeden Summanden der einen Summe mit jeden Summanden der zweiten Summe multiplizierst. (a+b)•(c+d) ist ausmultipliziert gleich ac+ad+bc+bd. Die im Folgenden vorgestellten Produkte von Binomen treten häufig auf. Sie lassen sich mit Hilfe der binomischen Formeln leicht umformen. Du solltest sie Dir deshalb gut merken. (a+b)²=a²+2ab+b². Dies ist die erste binomische Formel. Die zweite binomische Formel lautet: (a-b)²=a²-2ab+b². Und die Dritte binomische Formel: (a+b)•(a-b)=a²-b². Die binomischen Formeln lassen sich grafisch als Flächenstücke veranschaulichen. Wir schauen uns hier die grafische Darstellung der ersten binomischen Formel an. Hat ein Quadrat die Seitenlängen a+b, dann ist der Flächeninhalt dieses Quadrats gleich (a+b)•(a+b) oder (a+b)². Genauso gut kannst Du den Flächeninhalt des Quadrats aus der Summe der Teilflächen bilden. Nämlich, a•a gleich a²+2ab+b². Fasst Du die Aussagen der beiden Abbildungen zusammen, so erhältst Du die erste binomische Formel. Die binomischen Formeln sind in vielerlei Hinsicht nützlich. Wir betrachten im Folgenden zwei wichtige Beispiele. Binomische Formeln erleichtern das Kopfrechnen beim Quadrieren von Zahlen. Wir quadrieren im Folgenden die Zahl 27. Zerlegst Du die Zahl 27 in die Summe (20+7)² und wendest die erste binomische Formel an, dann erhältst Du 20²+2•20•7+7²=400+280+49=729. Die binomischen Formeln helfen Dir zusätzlich beim Kürzen von Brüchen. In dem Bruch (x²-4x+4)/(x-2) lässt sich der Term im Zähler mit der Hilfe der zweiten binomischen Formel in das Produkt (x-2)² umformen. Wir schreiben für die -4x im Zähler gleich -2•2x und erhalten den Zähler x²-2•2x+4. Anschließend wenden wir die zweite binomische Formel an und erhalten im Zähler (x-2)². Nun kannst Du den Bruch (x-2)²/(x-2) kürzen und erhältst x-2. Die binomischen Formeln sind ein nützliches mathematisches Werkzeug. Es lohnt sich, wie Du anhand der Beispiele gesehen hast, beim Umformen von Termen und Gleichungen zu prüfen, ob binomische Formeln darin versteckt sind.

62 Kommentare

62 Kommentare
  1. Häääääääää und was ist mit a man ich könnt heulen 😭😭😭

    Von Lissy, vor 2 Tagen
  2. Jetzt bin ich Komplet durcheinander

    Von Nils, vor 4 Monaten
  3. Dankee

    Von Nils, vor 5 Monaten
  4. Hat mir sehr weitergeholfen, danke!

    Von Nasja Radant, vor 7 Monaten
  5. Hallo Nico, wie sollte denn die zweite binomische Formel deiner Meinung nach lauten? Die Darstellung in diesem Video entspricht der Darstellung aus den Lehrbüchern.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht K., vor etwa einem Jahr
Mehr Kommentare

Die binomischen Formeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die binomischen Formeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die drei binomischen Formeln an.

    Tipps

    Wenn dir die binomischen Formeln nicht mehr einfallen, kannst du einfach die Klammern jeweils ausmultiplizieren. Berechne z.B. $(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)$, indem du jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizierst.

    Achte auf die korrekten Rechenzeichen.

    Lösung

    Wir verwenden zur einfachen Umformung bestimmter Terme häufig die binomischen Formeln, um uns Rechenzeit zu ersparen.

    Das Wort Binom kommt aus dem Lateinischen und setzt sich zusammen aus bi für zwei und nomen für Namen.

    Falls dir die binomischen Formeln einmal entfallen sein sollten, kannst du sie durch Ausmultiplizieren der Klammern berechnen und eventuell mit Hilfe von geeigneten Eselsbrücken auf die anderen beiden binomischen Formeln schließen.

    Wir leiten einmal zusammen die erste binomische Formel her. Beachte dabei, dass wir jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe multiplizieren müssen. Wir erhalten

    $(a+b)^2= (a+b) \cdot (a+b) = a^2+ab + ba +b^2 = a^2+2ab+b^2$.

    Die zweite binomische Formel ist der ersten sehr ähnlich. Der Unterschied liegt im Minuszeichen. Somit ergibt sich

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Bei der dritten binomischen Formel multiplizieren wir die Summe $(a+b)$ mit der Differenz $(a-b)$ und erhalten

    $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 -ab + ba - b^2 = a^2-b^2$.

  • Stelle anhand der Skizze die Gültigkeit der ersten binomischen Formel dar.

    Tipps

    Wie kannst du allgemein den Flächeninhalt eines Quadrates und eines Rechteckes bestimmen?

    Überlege zunächst, welche Seitenlängen die einzelnen Quadrate und Rechtecke in der Skizze haben.

    Lösung

    Der Flächeninhalt des abgebildeten Quadrates kann auf zwei verschiedene Weisen bestimmt werden:

    Einerseits können wir den Flächeninhalt mit Hilfe der Seitenlänge des Quadrates berechnen. Die Seitenlänge beträgt $(a+b)$. Somit ist der Flächeninhalt des Quadrates

    $(a+b)\cdot (a+b)=(a+b)^2$.

    Andererseits kann der Flächeninhalt durch die vier Teilflächen ausgedrückt werden: Das grüne Quadrat hat die Seitenlänge $a$ und somit den Flächeninhalt $a^2$. Das rote Quadrat hat die Seitenlänge $b$ und somit den Flächeninhalt $b^2$. Bei den beiden gelben Rechtecken ist jeweils eine Seitenlänge $a$ und die andere Seitenlänge $b$. Daher beträgt der Flächeninhalt eines gelben Rechtecks $a \cdot b$. Addiert man alle vier Teilflächen, so ergibt sich folgender Term:

    $a^2 + ab + ab + b^2= a^2 + 2ab + b^2$

    Durch Vergleich der beiden Terme, welche beide den gesamten Flächeninhalt des großen Quadrates angeben, ergibt sich folgende Gleichung:

    $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

  • Bestimme durch Anwendung der binomischen Formeln, welche Terme gleichwertig sind.

    Tipps

    Wie lauten die drei binomischen Formeln?

    Du kannst für $a$ und $b$ beliebige Variablen und Zahlen einsetzen.

    Achte darauf, dass du beim Quadrieren eines Produktes beide Faktoren quadrierst, zum Beispiel: $(3x)^2=9x^2$.

    Lösung

    Wir notieren uns zunächst die drei binomischen Formeln und vergleichen dann anschließend jeden Term damit, um herauszufinden, welche binomische Formel wir anwenden müssen.

    1. $(a+b)^2=a^2 +2ab + b^2$
    2. $(a-b)^2=a^2 -2ab + b^2$
    3. $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
    Auf den Term $(3+x)^2$ können wir aufgrund der quadrierten Klammer und der Summe innerhalb der Klammer die erste binomische Formel anwenden. Somit erhalten wir:

    $(3+x)^2= 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + x^2 = 9 + 6x + x^2$.

    Dementsprechend gehen wir auch bei den weiteren Termen vor.

    Der Term $(x+2)(x-2)$ entspricht der dritten binomischen Formel.

    $(4x-2)^2$ hingegen entspricht der zweiten binomischen Formel. Die Terme $(2a + x)^2$ und $(2x+\sqrt{x})^2$ entsprechen der ersten binomischen Formel. Beachte beim Umformen, dass

    $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$.

  • Berechne den Wert mit Hilfe der ersten binomischen Formel.

    Tipps

    Bilde zunächst eine geeignete Summe, welche die Zahl $58$ als Ergebnis hat.

    Wende nun Schritt für Schritt die erste binomische Formel an.

    Lösung

    Beim Quadrieren einer zweistelligen Zahl ist es sinnvoll die Zahl in zwei Summanden aufzuspalten.

    Die einfachste Möglichkeit ist dabei, die Einer- und Zehnerstelle der Ausgangszahl jeweils als Summanden zu nehmen. So erhalten wir einen Summanden, der durch $10$ teilbar ist und einen Summanden, welcher einstellig und somit im kleinen Einmaleins vorhanden ist. Dies hat den Vorteil, dass sich solche Zahlen leicht im Kopf quadrieren lassen.

    Beim Quadrieren der Zahl $58$ ist es somit sinnvoll, als Summanden die Zahlen $50$ und $8$ zu wählen, um die erste binomische Formel anwenden zu können. Das Einsetzen der Zahlen in die erste binomische Formel liefert dir dann das Ergebnis.

    $ \begin{array}{rl} 58^2 &=& (50+8)^2 \\ &=& 50^2+2\cdot 50\cdot 8+ 8^2 \\ &=& 2500+800+64 \\ &=& 3364 \\ \end{array} $

  • Vereinfache den Term soweit wie möglich.

    Tipps

    Wie lautet die zweite binomische Formel?

    Wann darf man in Brüchen kürzen?

    Lösung

    Wir wenden auf den Zähler $x^2-4x+4$ des Ausgangsterms $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ die zweite binomische Formel mit $(a-b)^2=a^2 -2ab + b^2$ an und erhalten somit den Bruch: $\frac{(x-2)^2}{x-2}$.

    Da nun der Zähler und der Nenner denselben Faktor $(x-2)$ enthalten, können wir diesen kürzen und erhalten: $\frac{x-2}{1}$.

    Wenn im Nenner nur eine $1$ steht, können wir den Bruch vereinfachen zu: $x-2$.

  • Bestimme die Ausgangsterme zu den gegebenen Lösungen.

    Tipps

    Vereinfache die zuordenbaren Terme mit Hilfe der binomischen Formeln und fasse anschließend zusammen.

    Beachte: Es gilt Punktrechnung vor Strichrechnung!

    Lösung

    Wir lösen den Term $(2+x)^2 +9$ als Erstes mit Hilfe der ersten binomischen Formel und fassen anschließend gleichwertige Terme zusammen:

    • $(2+x)^2 +9=4+4x+x^2 +9 = x^2 +4x +13$.
    Auf dieselbe Weise vereinfachen wir auch die weiteren Terme, wobei wir stets beachten, dass Punktrechnung immer vor Strichrechnung zu berechnen ist, und man einen Faktor mit einer Klammer multipliziert, indem man jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor multipliziert. Wir erhalten also:

    • $(5-x)^2 - 25= 25-10x+x^2-25 = x^2-10x $,
    • $(x-3)^2 + 2x^2 = x^2 - 6x +9 +2x^2 = 3x^2 -6x +9$,
    • $\begin{align*}-(3x + 6)^2 + 36x &= - (9x^2 +36x + 36) +36x = -9x^2 - 36x -36 +36x\\ &= -9x^2-36 \end{align*}$.
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