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Das vollständige Koordinatensystem (1) 06:02 min

Textversion des Videos

Transkript Das vollständige Koordinatensystem (1)

Hallo. Da bin ich wieder. Eure Sabine Blumental. In diesem Video erkläre ich dir das vollständige Koordinatensystem. Du lernst den Aufbau und die richtige Bezeichnung des Koordinatensystems. Ich zeige dir das richtige Beschreiben, Ablesen und Eintragen von Punkten im Koordinatensystem. Du solltest bereits das einfache Koordinatenkreuz mit Rechts- und Hochachse sowie die Zahlengerade von Minus-Unendlich bis Plus-Unendlich kennen. Du kennst bereits das Koordinatenkreuz. Ein waagerechter Zahlenstrahl bildet die Rechtsachse „x“ und ein senkrechter Zahlenstrahl bildet die Hochachse „y“. Beide Zahlenstrahlen beginnen beim Punkt „Null“ und stehen senkrecht aufeinander. Ich trage nun willkürlich einen Punkt „P“ in das Koordinatenkreuz ein und überlege: Wo genau liegt dieser Punkt „P“? Die Koordinaten „x“ und „y“ beschreiben seine Lage eindeutig. Ich gehe auf der Rechtsachse vom Punkt „Null“ aus vier Einheiten nach rechts bis zum Punkt „P“ und schreibe den x-Wert 4 auf. Auf der Hochachse gehe ich vom Nullpunkt aus eine Einheit nach oben und schreibe den y-Wert 1 auf. Doch Achtung: Denke daran, immer zuerst den x-Wert und dann den y-Wert eines Punktes aufschreiben. Das ist ganz wichtig, denn wenn du die Koordinaten verwechselst beschreibst du plötzlich einen ganz anderen Punkt. Ich habe hier als Beispiel mal die Koordinaten des Punktes „P“ vertauscht. Nun schaue mal wo der Punkt „P“ mit den vertauschten Koordinaten liegen würde. Du erkennst wie wichtig es ist, die richtige Reihenfolge der Koordinaten zu beachten. Hier siehst du noch einmal, das dir bekannte Koordinatenkreuz. Weil du inzwischen auch negative Zahlen kennst, können wir die Achsen zu Zahlengeraden verlängern. Die nach rechts zeigende, waagerechte Achse verlängern wir über den Nullpunkt hinaus nach links und tragen die negativen Zahlen ein. Die nach oben zeigende senkrechte Achse verlängern wir über den Nullpunkt hinaus nach unten und tragen auch hier die negativen Zahlen ein. Wo sich die beiden Achsen scheiden, befindet sich der Nullpunkt. Er heißt Koordinatenursprung. Die zwei Zahlengeraden stehen senkrecht aufeinander und bilden die x-Achse oder auch Rechtsachse, denn sie zeigt nach rechts und die y-Achse, oder Hochachse, denn diese zeigt nach oben. Die x-Achse heißt Abszisse, die y-Achse heißt Ordinate. Die x- und y-Achse des Koordinatensystems teilen unsere Zeichenfläche in vier Teilflächen. Diese Teilflächen heißen Quadranten. Sie werden mit römischen Zahlen bezeichnet und um den Koordinatenursprung herum entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn nummeriert. Der Quadrant „I“ liegt im Koordinatensystem rechts oben. In welchem Quadrant sich ein Punkt befindet, kannst du bereits an den Koordinaten des Punktes erkennen. Im ersten Quadranten sind die x-Werte positiv und auch die y-Werte sind dort positiv. Im zweiten Quadranten sind die x-Werte nun negativ und die y-Werte immer noch positiv. Im dritten Quadranten sind die x-Werte negativ und auch die y-Werte sind hier negativ. Schließlich sind im vierten Quadranten die x-Werte wieder positiv und die y-Werte sind negativ. Mithilfe der Koordinaten eines Punktes kannst du die Lage von Punkten im Koordinatensystem also immer ganz eindeutig beschreiben. Das aber, nämlich wie du Punkte richtig beschreiben und auch richtig einzeichnen kannst ins Koordinatensystem erkläre ich dir im nächsten Video. Doch was hast du nun in diesem Video über das vollständige Koordinatensystem gelernt? Du kennst jetzt den Aufbau des vollständigen Koordinatensystems. Du weißt, dass das Koordinatensystem von zwei senkrecht aufeinander stehenden Zahlengeraden gebildet wird, der x-Achse und der y-Achse. Der Schnittpunkt dieser beiden Achsen heißt Koordinatenursprung und bildet gleichzeitig den Nullpunkt. Die Achsen des Koordinatensystems teilen die Zeichenebene in vier Quadranten. Sie werden mit römischen Ziffern bezeichnet und von rechts oben entgegen dem Uhrzeigersinn nummeriert. Das war es dann erstmal für heute. Tschüss. Bis zum nächsten Mal.

17 Kommentare
  1. 😎 cool 😹👍

    Von Timo D., vor mehr als einem Jahr
  2. dane hat mir sehr geholfen jetzt weiß ich sogar mehr als mein Lehrer es uns beigebracht hat. DANKE

    :-) :-) :-) :-)

    Von Yavoz, vor mehr als einem Jahr
  3. Es war ein bisschen langweilig und zu sehr betont aber auch reich an Informationen.

    Von Michael Raquet, vor mehr als einem Jahr
  4. Ganz gut :) :):):):):)

    Von Benita S., vor mehr als einem Jahr
  5. naja

    ):
    ):
    ):
    ):
    ):
    ):
    ):
    ):
    ):

    Von Umut T., vor mehr als einem Jahr
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Das vollständige Koordinatensystem (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das vollständige Koordinatensystem (1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie ein Koordinatensystem aufgebaut ist.

    Tipps

    Schau dir jeweils die zugehörigen Bilder genau an. Dort findest du zum Teil schon die Antworten.

    Wenn du die natürlichen Zahlen von $0$ bis $+\infty$ (plus Unendlich) betrachtest, wird oft ein Zahlenstrahl zur Darstellung verwendet.

    Eine Zahlengerade kann alle Zahlen von $-\infty$ bis $\infty$ darstellen.

    Lösung

    Hier siehst du ein Koordinatensystem.

    Ein solches erhältst du ausgehend von einem Koordinatenkreuz durch Verlängerung der Rechts- sowie Hochachse zu Zahlengeraden.

    • Verlängerst du die Rechtsachse nach links über $0$ hinaus, kannst du die Verlängerung mit negativen Zahlen beschriften. Dies ist die horizontale $x$-Achse. Diese wird auch als Rechtsachse oder Abzisse bezeichnet.
    • Verlängerst du ebenso die Hochachse (nach unten) über $0$ hinaus, kannst du auch hier die Verlängerung mit negativen Zahlen beschriften. So erhältst du die vertikale $y$-Achse. Diese wird auch als Hochachse oder Ordinate bezeichnet.
    Die beiden Koordinatenachsen schneiden sich in einem rechten Winkel und teilen die Ebene in Viertel auf.

    • Der Schnittpunkt der Koordinatenachsen ist der Koordinatenursprung oder auch Nullpunkt $O(0|0)$.
    • Die Viertel werden auch Quadranten genannt. Diese werden mit römischen Zahlen nummeriert. Du beginnst oben rechts mit dem $\text{I.}$ Quadranten. Die Nummerierung erfolgt, wie du hier sehen kannst, gegen den Uhrzeigersinn.
  • Gib die Vorzeichen der Koordinaten von Punkten in den entsprechenden Quadranten an.

    Tipps

    Im $\text{I.}$ und $\text{III.}$ Quadranten haben alle Punkte Koordinaten mit jeweils gleichem Vorzeichen.

    Alle Punkte oberhalb (unterhalb) der $x$-Achse haben eine positive (negative) $y$-Koordinate.

    Alle Punkte rechts (links) von der $y$-Achse haben eine positive (negative) $x$-Koordinate.

    Lösung

    Hier kannst du bei dem jeweiligen Quadranten (in rot) die Vorzeichen der Koordinaten eines Punktes in diesem Quadranten erkennen.

    • Jeder Punkt im $\text{I.}$ Quadranten hat eine positive $x$- und auch $y$-Koordinate $(+|+)$.
    • Jeder Punkt im $\text{II.}$ Quadranten hat eine negative $x$- und eine positive $y$-Koordinate $(-|+)$.
    • Jeder Punkt im $\text{III.}$ Quadranten hat eine negative $x$- und auch eine negative $y$-Koordinate $(-|-)$.
    • Jeder Punkt im $\text{IV.}$ Quadranten hat eine positive $x$- und eine negative $y$-Koordinate $(+|-)$.
    Du kannst auch die Vorzeichen in Relation zu den Koordinatenachsen betrachten.

    • Liegt ein Punkt oberhalb (unterhalb) der $x$-Achse, so hat er eine positive (negative) $y$-Koordinate.
    • Liegt ein Punkt rechts (links) von der $y$-Achse, so hat er eine positive (negative) $x$-Koordinate.
  • Entscheide, in welchem Quadranten der jeweilige Punkt liegt.

    Tipps

    Im $\text{I.}$ und $\text{II.}$ Quadranten sind die $y$-Koordinaten positiv. Im $\text{III.}$ und $\text{IV.}$ sind diese negativ.

    Zum Beispiel liegt der Punkt $(2|{-3})$ im $\text{IV.}$ Quadranten.

    Lösung

    Du kannst dir für die Lage von Punkten im Koordinatensystem diese Darstellung merken:

    • $\text{I.}$ Quadrant: Beide Koordinaten sind positiv. Also liegen die beiden Punkte $(3|3)$ und $(1|3)$ in diesem Quadranten.
    • $\text{II.}$ Quadrant: Die Punkte haben eine negative $x$- und eine positive $y$-Koordinate. Somit liegen die beiden Punkte $(-3|3)$ sowie $(-1|1)$ im $\text{II.}$ Quadranten.
    • $\text{III.}$ Quadrant: Beide Koordinaten sind negativ. Die beiden Punkte $(-3|{-1})$ und $(-1|{-3})$ liegen in diesem Quadranten.
    • $\text{IV.}$ Quadrant: Punkte in diesem Quadranten haben eine positive $x$- und eine negative $y$-Koordinate. Das trifft auf die beiden verbleibenden Punkte $(3|{-3})$ und $(3|{-1})$ zu.
  • Ermittle die $x$- und $y$-Koordinaten von Punkten auf den Koordinatenachsen.

    Tipps

    Die beiden Achsen schneiden sich in dem Koordinatenursprung $O(0|0)$. Dieser wird auch Nullpunkt genannt.

    Bei Punkten, die auf einer der Koordinatenachsen liegen, ist (mindestens) eine Koordinate $0$.

    Schau dir das Beispiel mit der $x$-Achse an. Wenn du diese parallel um $1$ nach oben verschiebst, kommst du zu $y=1.

    Lösung

    Liegt ein Punkt oberhalb der $x$-Achse und rechts von der $y$-Achse, also im $\text{I.}$ Quadranten, dann sind beide Koordinaten des Punktes positiv.

    Wie sieht es mit Punkten auf den Koordinatenachsen aus?

    Wir beginnen einmal im Koordinatenursprung, dem Nullpunkt $O(0|0)$. Hier schneiden sich die beiden Koordinatenachsen.

    Gehst du von dem Koordinatenursprung nach rechts oder nach links, allerdings nicht nach oben oder unten, dann erreichst du Punkte der $x$-Achse. Deren $y$-Koordinate ist $0$, da wir ja lediglich die $x$-Koordinate verändern. Die $x$-Koordinate ist also beliebig.

    Ebenso kannst du argumentieren, dass alle Punkte auf der $y$-Achse die $x$-Koordinate $0$ und eine beliebige $y$-Koordinate haben.

  • Nenne die verschiedenen Bezeichnungen der Koordinatenachsen.

    Tipps

    Eine Sonate ist ein groß angelegtes Musikstück, das aus mehreren eigenständigen Teilen besteht. Diese werden Sätze genannt.

    Als Eselsbrücke kannst du dir merken:

    Ordinate für oben.

    Lösung

    Hier siehst du ein Koordinatensystem. Dieses besteht aus zwei Zahlengeraden.

    Diese stehen senkrecht aufeinander und bilden die $x$-Achse und die $y$-Achse.

    Die horizontale $x$-Achse wird auch als Rechtsachse bezeichnet, denn sie zeigt nach rechts. Eine andere Bezeichnung für diese Achse ist Abzisse.

    Die vertikale $y$-Achse wird auch als Hochachse bezeichnet, denn sie zeigt nach oben. Eine andere Bezeichnung ist hier Ordinate. Dieses Wort fängt ebenso wie „oben“ mit einem „o“ an. Vielleicht kannst du dir die Bezeichnungen so etwas besser merken.

  • Leite die Koordinaten der Bildpunkte her.

    Tipps

    Jeder Punkt auf der $x$-Achse ($y$-Achse) hat die $y$-Koordinate ($x$-Koordinate) $0$.

    Du kannst die Koordinaten der Punkte auch im Koordinatensystem ablesen.

    Für Spiegelungen gilt:

    • Bei der Spiegelung an einer Koordinatenachse ändert sich das Vorzeichen einer Koordinate.
    • Bei der Spiegelung an dem Koordinatenursprung ändern sich die Vorzeichen beider Koordinaten.
    Lösung

    In dieser Aufgabe siehst du, wie sich die Koordinaten eines Punktes durch Verschiebung oder Spiegelung verändern. Du sollst jeweils die Koordinaten des Bildpunktes angeben.

    • Die Projektion eines Punktes auf eine der beiden Koordinatenachsen führt dazu, dass eine Koordinate des Bildpunktes $0$ wird. Hier siehst du die Projektion des Punktes $P$ auf die $y$-Achse. Die $x$-Koordinate des Bildpunktes ist $0$. Die $y$-Koordinate bleibt gleich. So erhältst du $Q(0|2)$.
    • Die Spiegelung an einer der Koordinatenachsen vertauscht in einer Koordinate das Vorzeichen. So erhältst du den Bildpunkt $R(-3|2)$ durch Spiegelung an der $y$-Achse.
    • Die Spiegelung an der $x$-Achse führt zu $S(3|{-2})$.
    • Die Spiegelung am Koordinatenursprung vertauscht die Vorzeichen beider Koordinaten. So erhältst du $T(-3|{-2})$.