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Binomische Formeln – Herleitung

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Ø 4.4 / 69 Bewertungen

Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Binomische Formeln – Herleitung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Binomische Formeln – Herleitung

Die binomischen Formeln werden in der Mathematik häufig herangezogen, um Terme zu vereinfachen. Daher ist es nicht nur wichtig, sie nur zu kennen. Man sollte sie auch verstanden haben. Darum möchte sich dieses Video kümmern. Es gibt dir eine einfache und logisch aufgebaute Einführung und Zusammenfassung der binomischen Formeln. Dazu werden sie Schritt für Schritt besprochen und an Beispielen veranschaulicht. Am Ende des Videos kannst du dann sogar noch einmal überprüfen, ob du die Testfrage beantworten kannst. So kannst du testen, ob du alles verstanden hast.

19 Kommentare

19 Kommentare
  1. Ich finde es bisschen verwirrend

    Aber sonst eigentlich auch in Ordnung

    187

    Von Henning B., vor 6 Monaten
  2. Sehr verständlich und gut erklärt. Vielen Dank.👍

    Von Marggrander7, vor 6 Monaten
  3. Binomische Formeln sind voll schwer aber durch das video hab ichs endlich verstanden voll krass

    Von Wall Lee, vor 9 Monaten
  4. Sehr gutes video super erklärt

    Von Kgiehl, vor 9 Monaten
  5. Zu wild

    Von Silke Schaeffeler, vor 10 Monaten
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Binomische Formeln – Herleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomische Formeln – Herleitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Wende die erste binomische Formel an.

    Tipps

    Die erste binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Setze für die Variablen $a$ und $b$ die Terme $7u$ und $6v$ ein und rechne aus.

    Lösung

    Du sollst bei dem Term die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ anwenden.

    Bestimme dazu zunächst $a$ und $b$.

    $a$ ist der erste und $b$ der zweite Summand. Sowohl Zahl als auch Variable sind zu berücksichtigen.

    Wir wählen $ a = 7u $ und $ b = 6v $.

    Setze diese Werte dann in die erste binomische Formel ein:

    $ (7u+6v)^2= (7u)^2 + 2 \cdot 7u \cdot 6v + (6v)^2 $.

    Nun musst du ausmultiplizieren:

    $ (7u)^2 = 7u \cdot 7u = 49u^2 $ und $ (6v)^2 = 6v \cdot 6v = 36v^2 $.

    Wir erhalten $ (7u)^2 + 2 \cdot 7u \cdot 6v + (6v)^2 = 49u^2 + 84uv + 36v^2 $.

  • Forme den Term mit Hilfe einer der binomischen Formeln um.

    Tipps

    Die binomischen Formel lauten:

    • erste: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • zweite: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    • dritte: $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2$

    Denk bei $ b $ daran, dass sowohl der Bruch als auch die Variable zu berücksichtigen sind.

    Lösung

    Schaue dir zunächst deinen Term an. Welche binomische Formel kannst du anwenden?

    Du kannst die zweite binomische Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ anwenden. Du hast drei Summanden und zwischen den ersten beiden befindet sich als Rechenzeichen ein Minus und zwischen dem zweiten und dritten Summanden ein Plus.

    Bestimme nun $a$ und $b$. $ a $ liest du ab, indem du dir den ersten Summanden anschaust und $b$ , indem du dir den letzten Summanden anschaust. $ a = x $ und $ b = \frac{1}{2} y $. Bei $ b $ musst du sowohl die Variable $ y $ und auch den Bruch $ \frac{1}{2} $ berücksichtigen.

    Nun kannst du die zweite binomische Formel anwenden und erhältst:

    $x^2-xy+\frac14y^2=(x)^2-2 \cdot x \cdot \frac12y + \left( \frac12y \right)^2=\left( x - \frac{1}{2} y \right)^2 $.

  • Leite die Termumformung mit einer binomischen Formel her.

    Tipps

    Die binomischen Formel lauten:

    • erste: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • zweite: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    • dritte: $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2$
    Welche Form passt zu unserer Aufgabe?

    Lösung
    1. Zuerst muss die richtige binomische Formel angewendet werden. Der Term $4x^2-9$ besteht aus einer Differenz.
    2. Daher bietet sich hier die dritte binomische Formel an. Sie lautet $(a+b) \cdot (a-b) =a^2-b^2$.
    3. Wir bestimmen nun $a$ und $b$.
    4. Wir erkennen, dass man $4x^2$ auch als $(2x)^2$ schreiben kann. Daher ist $a=2x$. Außerdem erhältst du $9$ durch das Quadrieren von $3$, also $b=3$.
    5. Jetzt können wir $a$ und $b$ in die dritte binomische Formeln einsetzen und erhalten
    6. $(2x+3) \cdot (2x-3) = (2x)^2 - (3)^2 = 4x^2-9$.
  • Entscheide, ob eine binomische Formel angewendet werden kann.

    Tipps

    Die binomischen Formel lauten:

    • erste: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • zweite: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    • dritte: $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2$

    Wie viele Summanden kannst du erkennen?

    Kontrolliere bei den Termen jeweils den mittleren Term genau. Setzt er sich aus dem Term $2ab$ bzw. $-2ab$ zusammen?

    Lösung

    $ x^2 - 6x + 9 $ besteht aus drei Summanden und als Rechenzeichen kommt zunächst ein Minus und dann ein Plus-Zeichen vor. Deshalb wissen wir, dass nur die zweite binomische Formel in Frage kommt. Um sicherzugehen, musst du aber noch den zweiten Summanden ($ 6 \cdot x $) prüfen. Da $ a = x $ und $ b = 3 $ ist, stimmt auch $ 2 \cdot a \cdot b = 6x $.

    Also ist hier die zweite binomische Formel anwendbar $ (x - 3)^2=x^2 - 6x + 9$.

    $ 16x^2 - 1 $ hat zwei Summanden und als Rechenzeichen ein Minus-Zeichen. Deshalb kommt nur die dritte binomische Formel in Frage. Wir setzen $ a = 4 \cdot x $ und $ b = 1 $.

    Die dritte binomische Formel ergibt dann $ (4x - 1) (4x + 1)= 16x^2 - 1 $.

    $ 4x^2 + 20x + 25 $ besteht aus drei Summanden und als Rechenzeichen kommen nur Plus-Zeichen vor. Dies führt uns dazu, dass nur die erste binomische Formel angewendet werden kann. Du musst aber, um sicherzugehen, auch noch den zweiten Summanden ($ 20 \cdot x $) prüfen. Da $ a = 2 \cdot x $ und $ b = 5 $ ist, stimmt auch $ 2 \cdot a\cdot b = 20x $.

    Also ist hier die erste binomische Formel anwendbar. Es gilt $ (2x + 5)^2=4x^2 + 20x + 25 $.

    $ x^2 + 5x + 25 $ besteht aus drei Summanden und als Rechenzeichen kommt nur das Plus-Zeichen vor. Auch hier ist also nur die erste binomische Formel möglich. Auch hier musst du aber noch den zweiten Summanden ($ 5 \cdot x $) prüfen. Da $ a = x $ und $ b = 5 $ ist, stimmt hier der mittlere Term nicht. Dieser müsste bei der ersten binomischen Formel $ 10 \cdot x $ lauten.

    Du kannst also keine binomische Formel anwenden.

  • Gib alle binomischen Formeln an.

    Tipps

    Beachte, dass bspw. $(a+b)^2 =(a+b)\cdot(a+b)$ gilt.

    Verwende das Distributivgesetz:

    $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c$.

    Lösung

    Es gibt drei binomische Formeln:

    Die erste lautet $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

    Die zweite lautet $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

    Die dritte lautet $ (a - b) (a + b) = a^2 - b^2 $.

  • Entscheide, welche Terme umgeformt wurden.

    Tipps

    Die binomischen Formel lauten:

    • erste: $(a+b)^2=(a+b) \cdot (a+b)=a^2+2ab+b^2$
    • zweite: $(a-b)^2=(a-b) \cdot (a-b)=a^2-2ab+b^2$
    • dritte: $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2$

    Es gilt:

    $(a-b)^3=(a-b)^2 \cdot (a-b) = a^2-3a^2b+3ab^2-b^3$.

    Wenn vor der binomischen Formel ein Faktor steht, dann wende erst die binomische Formel an und multipliziere dann jeden Term mit dem Faktor. Hier ein Beispiel:

    $2 \cdot (a+b)^2=2 \cdot (a^2+2ab+b^2)=2a^2+4ab+2b^2$.

    Lösung

    $ (x - 3)^3 $ kannst du aufschreiben als $ (x - 3)^2 \cdot (x - 3) $. Löse den ersten Faktor mit der zweiten binomischen Formel auf. Dann musst du das Ergebnis mit dem zweiten Faktor multiplizieren:

    $ (x^2 - 6x + 9) (x - 3) = x^3 - 3x^2 - 6x^2 + 18x + 9x - 27 $. Fasse nun noch zusammen. Du erhältst $ x^3 - 9x^2 + 27x - 27 $.

    $ (x + 9)(x + 9) $ lässt sich kurz schreiben als $ (x + 9)^2 $. Nun kannst du die erste binomische Formel anwenden und erhältst $ x^2 + 18x + 81 $.

    Bei $ 3 (x + 4)^2 $ wende zunächst die erste binomische Formel an und multipliziere dann das Ergebnis mit $3$. Du erhältst $ 3 (x^2 + 8x + 16) = 3x^2 + 24x + 48 $.

    Bei $ 4 (2x - 3) (2x + 3) $ wendest du zunächst die dritte binomische Formel an und multiplizierst dann das Ergebnis mit $4$:

    $ 4 \cdot (4x^2 - 9) = 16x^2 - 36 $.

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