Betrag eines Vektors
Beschreibung Betrag eines Vektors
In diesem Video wird dir genau erklärt, wie du den Betrag eines Vektors bestimmst, dessen Zahlentripel gegeben ist. Kurz gesagt ist der Betrag eines Vektors die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Was damit gemeint ist, erfährst du, wenn du das Video ansiehst. Die Formel wird aufgeschrieben und anhand eines Beispiels siehst du die entsprechende Rechnung. Wie das ganze anschaulich aussieht, wird dir zum Schluss anhand einer Zeichnung gezeigt. Zunächst wird der Betrag im Zweidimensionalen erklärt. Zum Schluss siehst du noch ein Koordinatenquader, der den Betrag des dreidimensionalen Vektors erklärt. Für die Erklärung schau bitte das vorherige Video: „Länge eines Vektors“
Transkript Betrag eines Vektors
Hallo. Wir machen den Betrag eines Vektor. Was ist das? Kurz gesagt: die Wurzel aus der Summe der Koordinaten Quadrate. Ich schreib das mal im Allgemeinen auf. Wir haben einen Vektor V und möchten den Betrag davon haben, dann müssen wir den aufschreiben so in diesen einfachen Koordinaten. Also (v1|v2|v3), warum nicht? Wenn wir davon den Betrag bilden, dann rechnen wir einfach sqrt((v1)²+(v2²)+(v3)²). Die muss man erst alle addieren die Quadrate und dann die Wurzel ziehen und dann hat man den Betrag eines Vektors. Ich zeig das mal auch eben noch mal an einem Beispielvektor. Wir nehmen den Vektor (6|-7|-8). Einfach so, hat keine Bewandtnis. Wenn wir davon den Betrag bilden wollen, müssen wir die einzelnen Koordinanten quadrieren, die Quadrate addieren und daraus die Wurzel ziehen. Also dann haben wir sqrt(6²+(-7)²+(-8)²), ja, ich schreibs einmal ausführlich auf, dann hast du es einmal gesehen. Ich glaube, dass ist dann geistig nicht so anregend, was man hier macht. Man schreibt einfach die Koordinaten hin, bildet die Quadrate, bildet die Summe daraus und dann wird die Wurzel gezogen und das ist halt die Wurzel aus 149. Ja, schreib ich jetzt nicht weiter hin. Ich könnte den gerundeten Wert angeben, aber was soll das? Wie können wir das verstehen, warum ist das der Betrag? Gehen wir mal zurück zu den Anfängen. Da gabs eine Zahlengerade. Also früher als du noch klein warst, hast du mit solchen Zahlengeraden gearbeitet. 1, 2 und so weiter und hier war -1 und -2 und -3, ich schreib jetzt nicht alle Zahlen hin. Der Betrag einer Zahl war hier zum Beispiel 1, der Betrag dieser Zahl ist 2, der Betrag dieser Zahl ist auch 2. Viele haben sich das so gemerkt: Betrag einer Zahl ist diese Zahl ohne Vorzeichen oder man macht aus dem negativen ein positives Vorzeichen. Kann man sich so merken, warum nicht? Man kann es aber auch so auffassen, diese Zahl hier hat den Betrag 2, weil der Abstand zum Nullpunkt 2 ist. Diese Länge hier ist 2, +2. So und als du dann älter wurdest, hattest du das Ganze 2-dimensional hier. Ui, ui, ui, das ist aber schief geworden, macht nichts. Dann haben wir hier eine 1, eine 2 und so weiter und wenn man jetzt hier einen Pfeil hat. Zum Beispiel von hier nach da, da kann man auch diese Länge bestimmen und zwar deshalb, weil sich aus diesem Pfeil hier ein rechtwinkliges Dreieck ergibt, in dem der Satz des Pythagoras gilt. Ja, diese Kathete² + diese Kathete² = Hypothenuse². Diese Kathete ist übrigens so groß wie der y-Wert und diese Kathete ist so lang wie die x-Koordinate, der x-Wert dieses Punktes und deshalb kann man einfach die beiden Koordinaten des Punktes quadrieren, addieren, das Quadrat + das Quadrat, also und dann daraus die Wurzel ziehen und man erhält diese Länge nach dem Satz des Phytagoras. Man bestimmt einfach die Raumdiagonale eines solchen Quaders. Habe ich schon in einem anderen Film gezeigt, zeig ich hier nicht noch mal. Der Film heißt "Länge eines Vektors" oder so. Guckst du da, wenn du den Film sehen möchtest. Viel Spaß damit, tschüss!
Betrag eines Vektors Übung
-
Benenne die Formel zur Berechnung des Betrages eines Vektors.
TippsDie Formel zur Berechnung der Länge eines Vektors kann durch zweimaliges Anwenden des Satzes von Pythagoras hergeleitet werden.
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse $c$ und den Katheten $a$ und $b$ gilt
$a^2+b^2=c^2$.
LösungWas ist der Betrag eines Vektors?
Der Betrag eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate.
Der Betrag des Vektors
$\vec v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix}$ ist gegeben durch
$|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$.
-
Berechne den Betrag des Vektors $\vec v$.
TippsEs wird jede Koordinate quadriert.
Die Koordinatenquadrate werden addiert.
Aus der Summe der Koordinatenquadrate wird die Quadratwurzel gezogen.
Beachte beim Rechnen, dass negative Zahlen beim Potenzieren geklammert werden müssen.
LösungUm den Betrag eines Vektors zu berechnen, werden
- die einzelnen Koordinaten quadriert,
- die Quadrate addiert und
- die Wurzel aus dieser Summe berechnet.
$\vec v=\begin{pmatrix} 6 \\ -7\\ -8 \end{pmatrix}$
bedeutet dies
$\left|\begin{pmatrix} 6 \\ -7\\ -8 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{6^2+(-7)^2+(-8)^2}=\sqrt{36+49+64}=\sqrt{149}$.
-
Ordne dem Vektor seinen Betrag zu.
TippsVerwende jeweils die Formel
$|\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$.
Dabei sind $v_x$, $v_y$ und $v_z$ die Koordinaten des Vektors $\vec v$.
Zum Beispiel ist
$\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$.
Achte darauf, negative Zahlen beim Potenzieren zu klammern, da
- $3^2=9$ und
- $(-3)^2=9$.
LösungUm die Länge eines Vektors zu berechnen,
- werden die Koordinaten dieses Vektors quadriert,
- die Quadrate addiert und
- die Wurzel aus der Summe gezogen.
$\left|\begin{pmatrix} 6 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{6^2+0^2+0^2}=\sqrt{36+0+0}=\sqrt{36}=6$.
$\left|\begin{pmatrix} 3 \\ -2\\ -6 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{3^2+(-2)^2+(-6)^2}=\sqrt{9+4+36}=\sqrt{49}=7$.
$\left|\begin{pmatrix} -6 \\ 0\\ 8 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-6)^2+0^2+8^2}=\sqrt{36+0+64}=\sqrt{100}=10$.
-
Bestimme, für welchen Parameter $a$ der Vektor die Länge $27$ hat.
TippsDie Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate des Vektors.
Beim Potenzieren negativer Zahlen müssen Klammern gesetzt werden, da
- $-9^2=-81$ und
- $(-9)^2=81$.
Du erhältst eine lineare Gleichung.
LösungUm den Parameter $a$ zu bestimmen, muss zunächst der Betrag des Vektors
$\vec v=\begin{pmatrix} a \\ 2a\\ -2a \end{pmatrix}$
berechnet werden.
$\left| \begin{pmatrix} a \\ 2a\\ -2a \end{pmatrix}\right|=\sqrt{a^2+(2a)^2+(-2a)^2}=\sqrt{9a^2}=3\cdot |a|$.
Nun muss die Gleichung $3|a|=27$ gelöst werden. Durch Subtraktion durch $3$ erhält man
$|a|=9$.
Die Parameter, die diese Gleichung lösen, sind $a_1=-9$ und $a_2=9$.
Es gilt übrigens allgemein:
$|a\cdot \vec v|=|a|\cdot |\vec v|$.
-
Beschreibe, wie die Formel für den Betrag eines Vektors hergeleitet werden kann.
TippsIm rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ gilt
$a^2+b^2=c^2$.
Der Betrag eines Vektors wird auch als die Länge des Vektors bezeichnet.
LösungAuf einer Zahlengerade versteht man unter dem Betrag den Abstand der Zahl zur $0$.
So ist zum Beispiel
- $|2|=2$ und
- $|-2|=2$.
Wenn man noch eine Dimension hinzunimmt, erhält man einen Koordinatenquader, welcher durch die Koordinaten des Vektors bestimmt wird. Der Koordinatenquader ist in dem Bild zu sehen.
Die Länge des Vektors ist die Länge der Raumdiagonalen dieses Quaders.
-
Weise nach, dass das Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck ist.
TippsUm nachzuweisen, dass ein Dreieck gleichschenklig ist, müssen die Beträge der Vektoren berechnet werden.
Um den Betrag eines Vektors zu berechnen
- werden die Koordinaten des Vektors quadriert,
- die Quadrate addiert und
- aus der Summe die Wurzel gezogen.
Achte darauf, dass du beim Potenzieren von negativen Zahlen diese klammern musst.
LösungBei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Schenkel gleich lang.
Es müssen die Beträge der Vektoren berechnet werden. Hierfür wird die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate berechnet.
- $|\vec a|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt9=3$.
- $|\vec b|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt9=3$.
- $|\vec c|=\sqrt{1^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\cdot \sqrt2\approx4,2$.
Was ist ein Vektor?
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Betrag eines Vektors
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4 Kommentare
Schade, das bei der Zusatzaufgabe nicht >3 akzeptiert wird. Um das geht es ja eigentlich. 2 Seiten müssen gleich sein, die dritte hat eine andere Länge.
Danke für die passende Antwort!
Meinte wohl die Übungsaufgabe 4 :D
Hinweis:
Bei der Lösung müsste vermutlich: "durch Divison durch 3
erhält man|a|=9" lauten. Aber ist ja eh klar was gemeint ist :)
@Leons:
Für den Betrag des Vektors rechnet man immer Wurzel(x²+y²+z²). In unserem Fall ist x=a, y=2a und z=-2a. Für den Betrag haben wir dann also W(a²+(2a)²+(-2a)²)=W(a²+4a²+4a²)=W(9a²). Nun kann die Wurzel gezogen werden: 3|a|. Die Betragsstriche sind da, damit beim Wurzelziehen auch wirklich etwas positives herauskommt, denn a könnte ja theoretisch auch negativ sein.
Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!
Tolles Video, wie immer!
Wie kommt man denn bei der Übungsaufgabe 3 darauf, dass der Betrag des Vektors v⃗ gleich 3⋅|a| ist?