Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors Übung

• Benenne die Formel zur Berechnung des Betrages eines Vektors.

  Tipps

  Die Formel zur Berechnung der Länge eines Vektors kann durch zweimaliges Anwenden des Satzes von Pythagoras hergeleitet werden.

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse $c$ und den Katheten $a$ und $b$ gilt

  $a^2+b^2=c^2$.

  Lösung

  Was ist der Betrag eines Vektors?

  Der Betrag eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate.

  Der Betrag des Vektors

  $\vec v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix}$ ist gegeben durch

  $|\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$.

• Berechne den Betrag des Vektors $\vec v$.

  Tipps

  Es wird jede Koordinate quadriert.

  Die Koordinatenquadrate werden addiert.

  Aus der Summe der Koordinatenquadrate wird die Quadratwurzel gezogen.

  Beachte beim Rechnen, dass negative Zahlen beim Potenzieren geklammert werden müssen.

  Lösung

  Um den Betrag eines Vektors zu berechnen, werden

  • die einzelnen Koordinaten quadriert,
  • die Quadrate addiert und
  • die Wurzel aus dieser Summe berechnet.

  Bei dem Beispiel

  $\vec v=\begin{pmatrix} 6 \\ -7\\ -8 \end{pmatrix}$

  bedeutet dies

  $\left|\begin{pmatrix} 6 \\ -7\\ -8 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{6^2+(-7)^2+(-8)^2}=\sqrt{36+49+64}=\sqrt{149}$.

• Ordne dem Vektor seinen Betrag zu.

  Tipps

  Verwende jeweils die Formel

  $|\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$.

  Dabei sind $v_x$, $v_y$ und $v_z$ die Koordinaten des Vektors $\vec v$.

  Zum Beispiel ist

  $\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$.

  Achte darauf, negative Zahlen beim Potenzieren zu klammern, da

  • $3^2=9$ und
  • $(-3)^2=9$.

  Lösung

  Um die Länge eines Vektors zu berechnen,

  • werden die Koordinaten dieses Vektors quadriert,
  • die Quadrate addiert und
  • die Wurzel aus der Summe gezogen.

  $\left|\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\ -1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt9=3$.

  $\left|\begin{pmatrix} 6 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{6^2+0^2+0^2}=\sqrt{36+0+0}=\sqrt{36}=6$.

  $\left|\begin{pmatrix} 3 \\ -2\\ -6 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{3^2+(-2)^2+(-6)^2}=\sqrt{9+4+36}=\sqrt{49}=7$.

  $\left|\begin{pmatrix} -6 \\ 0\\ 8 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-6)^2+0^2+8^2}=\sqrt{36+0+64}=\sqrt{100}=10$.

• Bestimme, für welchen Parameter $a$ der Vektor die Länge $27$ hat.

  Tipps

  Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate des Vektors.

  Beim Potenzieren negativer Zahlen müssen Klammern gesetzt werden, da

  • $-9^2=-81$ und
  • $(-9)^2=81$.

  Du erhältst eine lineare Gleichung.

  Lösung

  Um den Parameter $a$ zu bestimmen, muss zunächst der Betrag des Vektors

  $\vec v=\begin{pmatrix} a \\ 2a\\ -2a \end{pmatrix}$

  berechnet werden.

  $\left| \begin{pmatrix} a \\ 2a\\ -2a \end{pmatrix}\right|=\sqrt{a^2+(2a)^2+(-2a)^2}=\sqrt{9a^2}=3\cdot |a|$.

  Nun muss die Gleichung $3|a|=27$ gelöst werden. Durch Subtraktion durch $3$ erhält man

  $|a|=9$.

  Die Parameter, die diese Gleichung lösen, sind $a_1=-9$ und $a_2=9$.

  Es gilt übrigens allgemein:

  $|a\cdot \vec v|=|a|\cdot |\vec v|$.

• Beschreibe, wie die Formel für den Betrag eines Vektors hergeleitet werden kann.

  Tipps

  Im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ gilt

  $a^2+b^2=c^2$.

  Der Betrag eines Vektors wird auch als die Länge des Vektors bezeichnet.

  Lösung

  Auf einer Zahlengerade versteht man unter dem Betrag den Abstand der Zahl zur $0$.

  So ist zum Beispiel

  • $|2|=2$ und
  • $|-2|=2$.

  Im Zweidimensionalen kann man unter einem Vektor einen Pfeil verstehen. Die Koordinaten des Vektors sind die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Länge des Vektors ist die Länge der Hypotenuse.

  Wenn man noch eine Dimension hinzunimmt, erhält man einen Koordinatenquader, welcher durch die Koordinaten des Vektors bestimmt wird. Der Koordinatenquader ist in dem Bild zu sehen.

  Die Länge des Vektors ist die Länge der Raumdiagonalen dieses Quaders.

• Weise nach, dass das Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck ist.

  Tipps

  Um nachzuweisen, dass ein Dreieck gleichschenklig ist, müssen die Beträge der Vektoren berechnet werden.

  Um den Betrag eines Vektors zu berechnen

  • werden die Koordinaten des Vektors quadriert,
  • die Quadrate addiert und
  • aus der Summe die Wurzel gezogen.

  Achte darauf, dass du beim Potenzieren von negativen Zahlen diese klammern musst.

  Lösung

  Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Schenkel gleich lang.

  Es müssen die Beträge der Vektoren berechnet werden. Hierfür wird die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate berechnet.

  1. $|\vec a|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt9=3$.
  2. $|\vec b|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt9=3$.
  3. $|\vec c|=\sqrt{1^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18}=3\cdot \sqrt2\approx4,2$.

  Die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ sind gleich lang. Das bedeutet, dass das Dreieck gleichschenklig ist.