Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische und geometrische Folgen Übung

• Definiere arithmetische und geometrische Folgen.

  Tipps

  Ein Beispiel für eine arithmetische Folge ist die Folge der natürlichen Zahlen:

  • $<1;2;3;4;5; ...>$

  Die Folge der positiven ganzzahligen zweier Potenzen ist eine geometrische Folge:

  • $<2;4;8;16;...>$

  Lösung

  Arithmetische Folgen:

  Eine Folge ist eine arithmetische Folge, wenn die Differenzen $d$ aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.

  Die explizite Bildungsvorschrift lautet:

  • $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$

  Die rekursive Bildungsvorschrift lautet:

  • $a_{n+1}=a_n+d$

  Beispielsweise ist die Folge der natürlichen Zahlen $<1;2;3;4;5;...>$ eine arithmetische Folge, da die Differenz aufeinanderfolgender Folgeglieder immer $2-1=3-2=4-3=5-4=1$ ist.

  Geometrische Folgen:

  Eine Folge ist eine geometrische Folge, wenn die Quotienten $q$ aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.

  Die explizite Bildungsvorschrift lautet:

  • $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

  Die rekursive Bildungsvorschrift lautet:

  • $a_{n+1}=a_n\cdot q$

  Die Folge der positiven ganzzahligen zweier Potenzen $<2;4;8;16;...>$ ist eine geometrische Folge, da der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer $4:2=8:4=16:8=2$ ist.

• Stelle die explizite und rekursive Bildungsvorschrift der gegebenen Folgen auf.

  Tipps

  Die Bildungsvorschrift arithmetischer Folgen lautet:

  • explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$

  Dabei ist $d$ die Differenz aufeinanderfolgender Folgeglieder.

  Die Bildungsvorschrift geometrischer Folgen lautet:

  • explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$

  Dabei ist $q$ der Quotient aufeinanderfolgender Folgeglieder.

  Lösung

  Eine Folge ist eine arithmetische Folge, wenn die Differenzen $d$ aufeinanderfolgender Glieder gleich sind. Die Bildungsvorschrift arithmetischer Folgen ist wie folgt definiert:

  • explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$

  Eine Folge ist eine geometrische Folge, wenn die Quotienten $q$ aufeinanderfolgender Glieder gleich sind. Die Bildungsvorschrift geometrischer Folgen ist wie folgt definiert:

  • explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$

  Damit erhalten wir die folgenden Bildungsvorschriften für die Folgen:

  Arithmetische Folgen:

  Beispiel 1:

  • $<1;2;3;4;...>$

  Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgeglieder ist $d=4-3=3-2=2-1=1$. Außerdem ist das erste Folgeglied $a_1=1$. Damit erhalten wir:

  • explizit: $a_n=1+(n-1)\cdot 1=1+n-1=n$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n+1$

  Beispiel 2:

  • $<-2;-4;-6;...>$

  Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgeglieder ist $d=-6-(-4)=-4-(-2)=-2$. Außerdem ist das erste Folgeglied $a_1=-2$. Damit erhalten wir:

  • explizit: $a_n=-2+(n-1)\cdot (-2)=-2-2n+2=-2n$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n-2$

  Geometrische Folge:

  Beispiel 3:

  • $<2;4;8;16;...>$

  Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgeglieder ist $q=16:8=8:4=4:2=2$. Außerdem ist das erste Folgeglied $a_1=2$. Damit erhalten wir:

  • explizit: $a_n=2\cdot 2^{n-1}$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot 2$

• Ermittle, ob es sich um eine geometrische Folge oder arithmetische Folge handelt.

  Tipps

  Bilde die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder. Sind diese konstant, handelt es sich um eine arithmetische Folge erster Ordnung. Ist die erste Differenzenfolge nicht konstant, dann überprüfe zunächst, ob es sich eventuell um eine geometrische Folge handelt.

  Ist die erste Differenzenfolge nicht konstant und handelt es sich zudem nicht um eine geometrische Folge, dann bilde die zweite Differenzenfolge. Subtrahiere hierzu aufeinanderfolgende Glieder der ersten Differenzenfolge. Sind diese Differenzen alle gleich, dann handelt es sich um eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.

  Für die Folge $<a_1;a_2;a_3;a_4;a_5;...>$ gehst du wie folgt vor:

  • 1. Ordnung: $a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4$
  • 2. Ordnung: $a_3-2a_2+a_1=a_4-2a_3+a_2=a_5-2a_4+a_3$
  • 3. Ordnung: $a_4-3a_3+3a_2a_1=a_5-3a_4+3a_3-a_2$

  Lösung

  Für die arithmetische Folge $<a_1;a_2;a_3;a_4;a_5;...>$ gehen wir wie folgt vor:

  • 1. Ordnung: $a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4$
  • 2. Ordnung: $a_3-2a_2+a_1=a_4-2a_3+a_2=a_5-2a_4+a_3$
  • 3. Ordnung: $a_4-3a_3+3a_2a_1=a_5-3a_4+3a_3-a_2$

  Wir bilden also zunächst die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder und erhalten so die erste Differenzenfolge. Ist diese konstant, handelt es sich um eine arithmetische Folge erster Ordnung. Ist die Differenzenfolge nicht konstant, dann überprüfen wir zunächst, ob es sich eventuell um eine geometrische Folge handelt. Ist das nicht der Fall, bilden wir die zweite Differenzenfolge. Ist die zweite Differenzenfolge konstant, dann handelt es sich um eine arithmetische Folge zweiter Ordnung. Wenn auch diese nicht konstant ist, bilden wir auch die dritte Differenzenfolge, um zu überprüfen, ob es sich um eine arithmetische Folge 3. Ordnung handelt.

  Beispiel 1: $~<1;4;9;16;25;...>$

  Es handelt sich um eine arithmetische Folge zweiter Ordnung. Die erste Differenzenfolge enthält die Differenzen $4-1=3$ und $9-4=5$ und $16-9=7$ und $25-16=9$. Die zweite Differenzenfolge ist konstant: $5-3=7-5=9-7=2$.

  Beispiel 2: $~<1;3;9;27;81...>$

  Hierbei handelt es sich um eine geometrische Folge, da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant sind, nämlich $3$.

  Beispiel 3: $~<1;4;7;10;13...>$

  Hier haben wir eine arithmetische Folge erster Ordnung. Die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder sind konstant: $4-1=7-4=10-7=13-10=3$

  Beispiel 4: $~<1;5;12;22;35...>$

  Hier haben wir wieder eine arithmetische Folge zweiter Ordnung. Die erste Differenzenfolge enthält die Differenzen: $5-1=4$ und $12-5=7$ und $22-12=10$ und $35-22=13$. Die Differenzen der Glieder der ersten Differenzenfolge sind konstant: $13-10=10-7=7-4=3$

  Beispiel 5: $~<5;6;10;19;35...>$

  Hier haben wir nun eine arithmetische Folge dritter Ordnung. Wir bilden die Differenzen:

  • Die erste Differenzenfolge: $<1;4;9;16;...>$
  • Die zweite Differenzenfolge: $<3;5;7;...>$
  • Die dritte Differenzenfolge: $<2;2;...>$

  Beispiel 6: $~<5;10;20;40;80;...>$

  Hier haben wir wieder eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten $q=2$.

  Beispiel 7: $~<5;10;15;20;25;...>$

  Bereits die ersten Differenzen sind konstant und somit haben wir hier eine arithmetische Folge erster Ordnung.

• Erschließe die explizite und rekursive Bildungsvorschrift der jeweiligen Folgen.

  Tipps

  Hier siehst du die Definition der Bildungsvorschriften arithmetischer und geometrischer Folgen. Dabei steht $d$ für die konstanten Differenzen der Folgeglieder, $q$ für die konstanten Quotienten der Folgeglieder und $a_1$ für das erste Folgeglied:

  Arithmetische Folgen:

  • explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$

  Geometrische Folgen:

  • explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$

  Lösung

  Die Bildungsvorschriften arithmetischer und geometrischer Folgen folgendermaßen definiert. Dabei steht $d$ für die konstanten Differenzen der Folgeglieder, $q$ für die konstanten Quotienten der Folgeglieder und $a_1$ für das erste Folgeglied:

  • Arithmetische Folgen:
  • explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$

  Geometrische Folgen:

  • explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$

  Damit können wir nun folgende Gleichungen aufstellen:

  Beispiel 1: $~<3;9;27;81;...>$

  Wir haben hier eine geometrische Folge mit $q=3$ und $a_1=3$. Es folgt also:

  • explizit: $a_n=3\cdot 3^{n-1}=3^{n-1+1}=3^n$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot 3$

  Beispiel 2: $~<3;6;9;12;...>$

  Hierbei handelt es sich um eine arithmetische Folge mit $d=3$ und $a_1=3$. Es folgt:

  • explizit: $a_n=3+(n-1)\cdot 3=3+3n-3=3n$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n+3$

  Beispiel 3: $~<1;3;9;27;...>$

  Wir haben hier wieder eine geometrische Folge mit $q=3$. Diesmal ist aber $a_1=1$ und es folgt:

  • explizit: $a_n=1\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}$
  • rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot 3$

• Bestimme, ob es sich bei den jeweiligen Folgen um arithmetische oder geometrische Folgen handelt.

  Tipps

  Überprüfe, ob die Differenzen oder die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant sind.

  Sind die Differenzen aller aufeinanderfolgender Glieder konstant, so handelt es sich um eine arithmetische folge.

  Lösung

  Merke dir:

  • Eine Folge ist eine arithmetische Folge, wenn die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.
  • Eine Folge ist eine geometrische Folge, wenn die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.

  Demnach können wir die Folgen wie folgt überprüfen:

  Arithmetische Folgen:

  • $<1;2;3;...>$, da die Differenzen $d=3-2=2-1=1$ konstant sind.
  • $<-2;-4;-6;...>$, da die Differenzen $d=-6-(-4)=-4-(-2)=-2$ konstant sind.

  Geometrische Folgen:

  • $<2;4;8;...>$, da die Quotienten $q=8:4=4:2=2$ konstant sind.
  • $<0,1;0,05;0,025;...>$, da die Quotienten $d=0,025:0,05=0,05:0,1=0,5$ konstant sind.

• Bestimme, ob es sich um eine arithmetische Folge handelt.

  Tipps

  Stelle zunächst die Folgen auf und überprüfe die Differenzenfolgen.

  Sind die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant, so handelt es sich um eine geometrische Folge.

  Eine Kubikzahl erhältst du, wenn du eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multiplizierst.

  Lösung

  Wir notieren uns zunächst die Folgen und untersuchen dann die Differenzenfolgen beziehungsweise die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder.

  Folge aller Kubikzahlen: $~<1;8;27;64;125;...>$

  Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:

  • 1. Differenzenfolge: $~<7;19;37;61;...>$
  • 2. Differenzenfolge: $~<12;18;24;...>$
  • 3. Differenzenfolge: $~<6;6;...>$

  Also ist die Folge aller Kubikzahlen eine arithmetische Folge dritter Ordnung.

  Folge aller Quadratzahlen: $~<1;4;9;16;25;...>$

  Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:

  • 1. Differenzenfolge: $~<3;5;7;9;...>$
  • 2. Differenzenfolge: $~<2;2;2;...>$

  Also ist die Folge aller Quadratzahlen eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.

  Folge aller positiven Zahlen, die durch $3$ teilbar sind: $~<3;6;9;12;15;...>$

  Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:

  • 1. Differenzenfolge: $~<3;3;3;3;...>$

  Also ist die Folge aller positiven Zahlen, die durch $3$ teilbar sind, eine arithmetische Folge erster Ordnung.

  Folge aller positiven geraden Zahlen: $~<2;4;6;8;10;...>$

  Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:

  • 1. Differenzenfolge: $~<2;2;2;2;...>$

  Also ist die Folge aller positiven geraden Zahlen eine arithmetische Folge erster Ordnung.

  Folge aller positiven ganzzahligen Viererpotenzen: $~<4;16;64;256;...>$

  Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant sind, nämlich $q=256:64=64:16=16:4=4$