Arithmetische und geometrische Folgen
Arithmetische und geometrische Folgen
Beschreibung Arithmetische und geometrische Folgen
Ein Folge heißt arithmetisch, wenn die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder gleich sind. Ein Folge heißt geometrisch, wenn die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder gleich sind. Arithmetische Folgen entstehen im Alltag schon dann, wenn wir irgendwo entlanglaufen - falls wir die Schrittweite als Differenz zweier Folgenglieder auffassen wollen. Die arithmetischen Folgen, die in der Schulmathematik vorkommen, sind Folgen erster Ordnung. Es gibt auch Folgen höherer Ordnung. Ebenso bilden die geometrischen Folgen den einfachsten Teil des Imperiums der rekursiven Folgen.
Arithmetische und geometrische Folgen Übung
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Definiere arithmetische und geometrische Folgen.
TippsEin Beispiel für eine arithmetische Folge ist die Folge der natürlichen Zahlen:
- $<1;2;3;4;5; ...>$
Die Folge der positiven ganzzahligen zweier Potenzen ist eine geometrische Folge:
- $<2;4;8;16;...>$
LösungArithmetische Folgen:
Eine Folge ist eine arithmetische Folge, wenn die Differenzen $d$ aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.
Die explizite Bildungsvorschrift lautet:
- $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
- $a_{n+1}=a_n+d$
Geometrische Folgen:
Eine Folge ist eine geometrische Folge, wenn die Quotienten $q$ aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.
Die explizite Bildungsvorschrift lautet:
- $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
- $a_{n+1}=a_n\cdot q$
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Stelle die explizite und rekursive Bildungsvorschrift der gegebenen Folgen auf.
TippsDie Bildungsvorschrift arithmetischer Folgen lautet:
- explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$
Die Bildungsvorschrift geometrischer Folgen lautet:
- explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$
LösungEine Folge ist eine arithmetische Folge, wenn die Differenzen $d$ aufeinanderfolgender Glieder gleich sind. Die Bildungsvorschrift arithmetischer Folgen ist wie folgt definiert:
- explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$
- explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$
Arithmetische Folgen:
Beispiel 1:
- $<1;2;3;4;...>$
- explizit: $a_n=1+(n-1)\cdot 1=1+n-1=n$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+1$
- $<-2;-4;-6;...>$
- explizit: $a_n=-2+(n-1)\cdot (-2)=-2-2n+2=-2n$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n-2$
Beispiel 3:
- $<2;4;8;16;...>$
- explizit: $a_n=2\cdot 2^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot 2$
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Ermittle, ob es sich um eine geometrische Folge oder arithmetische Folge handelt.
TippsBilde die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder. Sind diese konstant, handelt es sich um eine arithmetische Folge erster Ordnung. Ist die erste Differenzenfolge nicht konstant, dann überprüfe zunächst, ob es sich eventuell um eine geometrische Folge handelt.
Ist die erste Differenzenfolge nicht konstant und handelt es sich zudem nicht um eine geometrische Folge, dann bilde die zweite Differenzenfolge. Subtrahiere hierzu aufeinanderfolgende Glieder der ersten Differenzenfolge. Sind diese Differenzen alle gleich, dann handelt es sich um eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.
Für die Folge $<a_1;a_2;a_3;a_4;a_5;...>$ gehst du wie folgt vor:
- 1. Ordnung: $a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4$
- 2. Ordnung: $a_3-2a_2+a_1=a_4-2a_3+a_2=a_5-2a_4+a_3$
- 3. Ordnung: $a_4-3a_3+3a_2a_1=a_5-3a_4+3a_3-a_2$
LösungFür die arithmetische Folge $<a_1;a_2;a_3;a_4;a_5;...>$ gehen wir wie folgt vor:
- 1. Ordnung: $a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4$
- 2. Ordnung: $a_3-2a_2+a_1=a_4-2a_3+a_2=a_5-2a_4+a_3$
- 3. Ordnung: $a_4-3a_3+3a_2a_1=a_5-3a_4+3a_3-a_2$
Beispiel 1: $~<1;4;9;16;25;...>$
Es handelt sich um eine arithmetische Folge zweiter Ordnung. Die erste Differenzenfolge enthält die Differenzen $4-1=3$ und $9-4=5$ und $16-9=7$ und $25-16=9$. Die zweite Differenzenfolge ist konstant: $5-3=7-5=9-7=2$.
Beispiel 2: $~<1;3;9;27;81...>$
Hierbei handelt es sich um eine geometrische Folge, da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant sind, nämlich $3$.
Beispiel 3: $~<1;4;7;10;13...>$
Hier haben wir eine arithmetische Folge erster Ordnung. Die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder sind konstant: $4-1=7-4=10-7=13-10=3$
Beispiel 4: $~<1;5;12;22;35...>$
Hier haben wir wieder eine arithmetische Folge zweiter Ordnung. Die erste Differenzenfolge enthält die Differenzen: $5-1=4$ und $12-5=7$ und $22-12=10$ und $35-22=13$. Die Differenzen der Glieder der ersten Differenzenfolge sind konstant: $13-10=10-7=7-4=3$
Beispiel 5: $~<5;6;10;19;35...>$
Hier haben wir nun eine arithmetische Folge dritter Ordnung. Wir bilden die Differenzen:
- Die erste Differenzenfolge: $<1;4;9;16;...>$
- Die zweite Differenzenfolge: $<3;5;7;...>$
- Die dritte Differenzenfolge: $<2;2;...>$
Hier haben wir wieder eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten $q=2$.
Beispiel 7: $~<5;10;15;20;25;...>$
Bereits die ersten Differenzen sind konstant und somit haben wir hier eine arithmetische Folge erster Ordnung.
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Erschließe die explizite und rekursive Bildungsvorschrift der jeweiligen Folgen.
TippsHier siehst du die Definition der Bildungsvorschriften arithmetischer und geometrischer Folgen. Dabei steht $d$ für die konstanten Differenzen der Folgeglieder, $q$ für die konstanten Quotienten der Folgeglieder und $a_1$ für das erste Folgeglied:
Arithmetische Folgen:
- explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$
- explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$
LösungDie Bildungsvorschriften arithmetischer und geometrischer Folgen folgendermaßen definiert. Dabei steht $d$ für die konstanten Differenzen der Folgeglieder, $q$ für die konstanten Quotienten der Folgeglieder und $a_1$ für das erste Folgeglied:
- Arithmetische Folgen:
- explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$
- explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$
Beispiel 1: $~<3;9;27;81;...>$
Wir haben hier eine geometrische Folge mit $q=3$ und $a_1=3$. Es folgt also:
- explizit: $a_n=3\cdot 3^{n-1}=3^{n-1+1}=3^n$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot 3$
Hierbei handelt es sich um eine arithmetische Folge mit $d=3$ und $a_1=3$. Es folgt:
- explizit: $a_n=3+(n-1)\cdot 3=3+3n-3=3n$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+3$
Wir haben hier wieder eine geometrische Folge mit $q=3$. Diesmal ist aber $a_1=1$ und es folgt:
- explizit: $a_n=1\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot 3$
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Bestimme, ob es sich bei den jeweiligen Folgen um arithmetische oder geometrische Folgen handelt.
TippsÜberprüfe, ob die Differenzen oder die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant sind.
Sind die Differenzen aller aufeinanderfolgender Glieder konstant, so handelt es sich um eine arithmetische folge.
LösungMerke dir:
- Eine Folge ist eine arithmetische Folge, wenn die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.
- Eine Folge ist eine geometrische Folge, wenn die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.
Arithmetische Folgen:
- $<1;2;3;...>$, da die Differenzen $d=3-2=2-1=1$ konstant sind.
- $<-2;-4;-6;...>$, da die Differenzen $d=-6-(-4)=-4-(-2)=-2$ konstant sind.
- $<2;4;8;...>$, da die Quotienten $q=8:4=4:2=2$ konstant sind.
- $<0,1;0,05;0,025;...>$, da die Quotienten $d=0,025:0,05=0,05:0,1=0,5$ konstant sind.
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Bestimme, ob es sich um eine arithmetische Folge handelt.
TippsStelle zunächst die Folgen auf und überprüfe die Differenzenfolgen.
Sind die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant, so handelt es sich um eine geometrische Folge.
Eine Kubikzahl erhältst du, wenn du eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multiplizierst.
LösungWir notieren uns zunächst die Folgen und untersuchen dann die Differenzenfolgen beziehungsweise die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder.
Folge aller Kubikzahlen: $~<1;8;27;64;125;...>$
Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:
- 1. Differenzenfolge: $~<7;19;37;61;...>$
- 2. Differenzenfolge: $~<12;18;24;...>$
- 3. Differenzenfolge: $~<6;6;...>$
Folge aller Quadratzahlen: $~<1;4;9;16;25;...>$
Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:
- 1. Differenzenfolge: $~<3;5;7;9;...>$
- 2. Differenzenfolge: $~<2;2;2;...>$
Folge aller positiven Zahlen, die durch $3$ teilbar sind: $~<3;6;9;12;15;...>$
Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:
- 1. Differenzenfolge: $~<3;3;3;3;...>$
Folge aller positiven geraden Zahlen: $~<2;4;6;8;10;...>$
Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:
- 1. Differenzenfolge: $~<2;2;2;2;...>$
Folge aller positiven ganzzahligen Viererpotenzen: $~<4;16;64;256;...>$
Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant sind, nämlich $q=256:64=64:16=16:4=4$