Arithmetische und geometrische Folgen
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Grundlagen zum Thema Arithmetische und geometrische Folgen
Ein Folge heißt arithmetisch, wenn die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder gleich sind. Ein Folge heißt geometrisch, wenn die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder gleich sind. Arithmetische Folgen entstehen im Alltag schon dann, wenn wir irgendwo entlanglaufen - falls wir die Schrittweite als Differenz zweier Folgenglieder auffassen wollen. Die arithmetischen Folgen, die in der Schulmathematik vorkommen, sind Folgen erster Ordnung. Es gibt auch Folgen höherer Ordnung. Ebenso bilden die geometrischen Folgen den einfachsten Teil des Imperiums der rekursiven Folgen.
Transkript Arithmetische und geometrische Folgen
Hi, wenn du weißt was explizite und rekursive Bildungsgesetze von Folgen sind, dann kannst du jetzt mal arithmetische und geometrische Folgen ansehen. Arithmetische Folgen entstehen immer wieder im Alltag, nämlich dann, wenn wir irgendwo entlang laufen.
Eine Folge ist eine arithmetische Folge, wenn die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder gleich sind. Das bedeutet, wenn wir hier die ersten Folgen a1 bis a4 haben, dann können wir hier die Differenz bilden, dieser beiden Folgenglieder. Die Differenz ist d zum Beispiel. Hier ist die Differenz dann auch d. Und diese Differenz ist auch d und so weiter. Wir können ohne weitere Begründung davon ausgehen, dass jede Arithmetische Folge ein explizites Bildungsgesetz hat oder eben eine explizite Bildungsvorschrift. Und die lautet an= a1 +(n-1) d, ja wenn wir hier zum Beispiel a4 ausrechnen wollen, dann setzen wir hier a1 ein und rechnen, eins, zwei, dreimal plus d dazu und erhalten a4. Ebenso ohne Beweis können wir davon ausgehen, dass eine arithmetische Folge ein rekursives Bildungsgesetz oder eben eine rekursive Bildungsvorschrift hat. Und die lautet an +1 = an +d. Ein Beispiel einer Arithmetischen Folge ist die Folge der natürlichen Zahlen, ja eins, zwei, drei und so weiter. Und wir haben ein explizites Bildungsgesetz und das lautet an= 1 +(n-1) * 1 und das ist dann = n. Ja, das war vielleicht zu erwarten, musste aber mal gesagt werden. Wir haben ein weiteres Beispiel einer arithmetischen Folge und das ist minus zwei, minus vier, minus 6 und so weiter und wir haben hier ein rekursives Bildungsgesetz. Das lautet an+1 = an-2 in dem Fall ist also d negativ, a1 = -2
Jetzt haben wir noch etwas unterschlagen. Was wir gesehen haben sind arithmetische Folgen erster Ordnung.
Es gibt auch arithmetische Folgen zweiter Ordnung. Wir haben hier zum Beispiel die Folge der Quadratzahlen angedeutet. Ja wir können die erste Differenzenfolge bilden, indem wir vier minus eins rechnen das ist drei, wir rechnen neun minus vier das ist fünf, sechszehn minus neun ist sieben, dann geht es mit neun weiter und so fort. Wir können die zweite Differenzenfolge bilden, indem wir die Differenzen der ersten Differenzenfolge bilden. Wir rechnen also fünf minus drei das ist zwei. Sieben minus fünf das ist zwei, neun minus sieben, das ist zwei und so weiter. Eine arithmetische Folge zweiter Ordnung liegt dann vor, wenn die zweite Differenzenfolge konstant ist. Ebenso gibt es arithmetische Folgen dritter Ordnung. Wir können eben eine bilden, indem wir uns irgendeinen Anfangswert ausdenken und dann rechnen wir fünf plus eins das ist sechs, sechs plus vier ist zehn. Dann haben wir 19, 35 und so weiter. Und damit haben wir eine arithmetische Folge dritter Ordnung.
Es gibt auch geometrische Folgen, welche beispielsweise Wachstumsvorgänge beschreiben. Also, wie etwas pro Zeiteinheit um einen bestimmten Faktor wächst oder eben schrumpft.
Eine Folge ist eine geometrische Folge, wenn die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder gleich sind. Ja, das können wir uns so vorstellen. Wenn wir von a1 zu a2 wollen, multiplizieren wir mit dem Faktor q. Wenn wir von a2 zu a3 wollen, multiplizieren wir mit q. Oder anders gesagt a4 geteilt durch a3 dann ist das Ergebnis q. Ohne weiteren Beweis überlegen wir uns dass jede geometrische Folge eine explizite Bildungsvorschrift hat oder eben ein explizites Bildungsgesetz und das lautet: an = a1q hoch n-1. Ja, wenn wir hier zum Beispiel a4 direkt ausrechnen wollen, nehmen wir a1 mal q hoch ja vier minus eins das ist drei, mal q hoch drei. Und um Unsinnigkeiten auszuschließen, setzen wir q ungleich null und a1 auch ungleich null. Ebenso ohne Beweis überlegen wir uns, dass jede geometrische Folge auch ein rekursives Bildungsgesetz hat oder eben eine rekursive Bildungsvorschrift und die lautet an= an-1q. Naja, wenn wir zum Beispiel a4 ausrechnen wollen und haben a3, dann müssen wir a3 mit q multiplizieren, um a4 zu erhalten. Es gibt Beispiele geometrischer Folgen. Wir können zum Beispiel a1 = q = 2 setzen und erhalten dann, naja a1 ist zwei, steht ja da. Wir multiplizieren a1 mit zwei und erhalten vier. Multiplizieren nochmal mit zwei, erhalten acht, 16 und so weiter und damit erhalten wir die Folge der positiven ganzzahligen Zweierpotenzen. Wir können auch etwas anderes für a1 einsetzen. Zum Beispiel 0,1 und wir können für q ein halb einsetzen. Warum nicht. Dann haben wir 0,1 ist a1 wir multiplizieren mit ein halb und erhalten 0,05 wir multiplizieren wieder mit ein halb und erhalten 0,025 und so weiter.
Auch geometrische Folgen sind nicht nur einfach so da. Sie sind ein kleiner Teil eines Imperiums.
Das Imperium sind die in diesem Fall die rekursiven Folgen. Eine rekursive Folge ist eine Folge, deren Glieder durch die vorangegangenen Glieder berechnet werden. Wir haben im speziellen lineare rekursive Folgen zum Beispiel mit homogenen Rekursionsvorschriften die dann folgende Form haben: an=q1an-1+ und so weiter bis q k mal an minus k. Der einfachst mögliche Fall ist dann eine geometrische Folge mit der Rekursionsvorschrift an=an-1* q. Das hier geht zwar weit über den Schulstoff hinaus, möchte hier aber mal die Gelegenheit nutzen darauf hinzuweisen, dass eigentlich immer der Schulstoff nur ein kleiner Teil einer großen und mächtigen Theorie ist.
So, dann sind wir hier fertig. Wir haben gesehen, was arithmetische und geometrische Folgen sind wie man mit kleinen Schritten zum großen Imperium kommt. Ciao.
Arithmetische und geometrische Folgen Übung
-
Definiere arithmetische und geometrische Folgen.
TippsEin Beispiel für eine arithmetische Folge ist die Folge der natürlichen Zahlen:
- $<1;2;3;4;5; ...>$
Die Folge der positiven ganzzahligen zweier Potenzen ist eine geometrische Folge:
- $<2;4;8;16;...>$
LösungArithmetische Folgen:
Eine Folge ist eine arithmetische Folge, wenn die Differenzen $d$ aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.
Die explizite Bildungsvorschrift lautet:
- $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
- $a_{n+1}=a_n+d$
Geometrische Folgen:
Eine Folge ist eine geometrische Folge, wenn die Quotienten $q$ aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.
Die explizite Bildungsvorschrift lautet:
- $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
- $a_{n+1}=a_n\cdot q$
-
Stelle die explizite und rekursive Bildungsvorschrift der gegebenen Folgen auf.
TippsDie Bildungsvorschrift arithmetischer Folgen lautet:
- explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$
Die Bildungsvorschrift geometrischer Folgen lautet:
- explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$
LösungEine Folge ist eine arithmetische Folge, wenn die Differenzen $d$ aufeinanderfolgender Glieder gleich sind. Die Bildungsvorschrift arithmetischer Folgen ist wie folgt definiert:
- explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$
- explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$
Arithmetische Folgen:
Beispiel 1:
- $<1;2;3;4;...>$
- explizit: $a_n=1+(n-1)\cdot 1=1+n-1=n$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+1$
- $<-2;-4;-6;...>$
- explizit: $a_n=-2+(n-1)\cdot (-2)=-2-2n+2=-2n$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n-2$
Beispiel 3:
- $<2;4;8;16;...>$
- explizit: $a_n=2\cdot 2^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot 2$
-
Ermittle, ob es sich um eine geometrische Folge oder arithmetische Folge handelt.
TippsBilde die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder. Sind diese konstant, handelt es sich um eine arithmetische Folge erster Ordnung. Ist die erste Differenzenfolge nicht konstant, dann überprüfe zunächst, ob es sich eventuell um eine geometrische Folge handelt.
Ist die erste Differenzenfolge nicht konstant und handelt es sich zudem nicht um eine geometrische Folge, dann bilde die zweite Differenzenfolge. Subtrahiere hierzu aufeinanderfolgende Glieder der ersten Differenzenfolge. Sind diese Differenzen alle gleich, dann handelt es sich um eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.
Für die Folge $<a_1;a_2;a_3;a_4;a_5;...>$ gehst du wie folgt vor:
- 1. Ordnung: $a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4$
- 2. Ordnung: $a_3-2a_2+a_1=a_4-2a_3+a_2=a_5-2a_4+a_3$
- 3. Ordnung: $a_4-3a_3+3a_2a_1=a_5-3a_4+3a_3-a_2$
LösungFür die arithmetische Folge $<a_1;a_2;a_3;a_4;a_5;...>$ gehen wir wie folgt vor:
- 1. Ordnung: $a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4$
- 2. Ordnung: $a_3-2a_2+a_1=a_4-2a_3+a_2=a_5-2a_4+a_3$
- 3. Ordnung: $a_4-3a_3+3a_2a_1=a_5-3a_4+3a_3-a_2$
Beispiel 1: $~<1;4;9;16;25;...>$
Es handelt sich um eine arithmetische Folge zweiter Ordnung. Die erste Differenzenfolge enthält die Differenzen $4-1=3$ und $9-4=5$ und $16-9=7$ und $25-16=9$. Die zweite Differenzenfolge ist konstant: $5-3=7-5=9-7=2$.
Beispiel 2: $~<1;3;9;27;81...>$
Hierbei handelt es sich um eine geometrische Folge, da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant sind, nämlich $3$.
Beispiel 3: $~<1;4;7;10;13...>$
Hier haben wir eine arithmetische Folge erster Ordnung. Die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder sind konstant: $4-1=7-4=10-7=13-10=3$
Beispiel 4: $~<1;5;12;22;35...>$
Hier haben wir wieder eine arithmetische Folge zweiter Ordnung. Die erste Differenzenfolge enthält die Differenzen: $5-1=4$ und $12-5=7$ und $22-12=10$ und $35-22=13$. Die Differenzen der Glieder der ersten Differenzenfolge sind konstant: $13-10=10-7=7-4=3$
Beispiel 5: $~<5;6;10;19;35...>$
Hier haben wir nun eine arithmetische Folge dritter Ordnung. Wir bilden die Differenzen:
- Die erste Differenzenfolge: $<1;4;9;16;...>$
- Die zweite Differenzenfolge: $<3;5;7;...>$
- Die dritte Differenzenfolge: $<2;2;...>$
Hier haben wir wieder eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten $q=2$.
Beispiel 7: $~<5;10;15;20;25;...>$
Bereits die ersten Differenzen sind konstant und somit haben wir hier eine arithmetische Folge erster Ordnung.
-
Erschließe die explizite und rekursive Bildungsvorschrift der jeweiligen Folgen.
TippsHier siehst du die Definition der Bildungsvorschriften arithmetischer und geometrischer Folgen. Dabei steht $d$ für die konstanten Differenzen der Folgeglieder, $q$ für die konstanten Quotienten der Folgeglieder und $a_1$ für das erste Folgeglied:
Arithmetische Folgen:
- explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$
- explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$
LösungDie Bildungsvorschriften arithmetischer und geometrischer Folgen folgendermaßen definiert. Dabei steht $d$ für die konstanten Differenzen der Folgeglieder, $q$ für die konstanten Quotienten der Folgeglieder und $a_1$ für das erste Folgeglied:
- Arithmetische Folgen:
- explizit: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+d$
- explizit: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot q$
Beispiel 1: $~<3;9;27;81;...>$
Wir haben hier eine geometrische Folge mit $q=3$ und $a_1=3$. Es folgt also:
- explizit: $a_n=3\cdot 3^{n-1}=3^{n-1+1}=3^n$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot 3$
Hierbei handelt es sich um eine arithmetische Folge mit $d=3$ und $a_1=3$. Es folgt:
- explizit: $a_n=3+(n-1)\cdot 3=3+3n-3=3n$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n+3$
Wir haben hier wieder eine geometrische Folge mit $q=3$. Diesmal ist aber $a_1=1$ und es folgt:
- explizit: $a_n=1\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}$
- rekursiv: $a_{n+1}=a_n\cdot 3$
-
Bestimme, ob es sich bei den jeweiligen Folgen um arithmetische oder geometrische Folgen handelt.
TippsÜberprüfe, ob die Differenzen oder die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant sind.
Sind die Differenzen aller aufeinanderfolgender Glieder konstant, so handelt es sich um eine arithmetische folge.
LösungMerke dir:
- Eine Folge ist eine arithmetische Folge, wenn die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.
- Eine Folge ist eine geometrische Folge, wenn die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder gleich sind.
Arithmetische Folgen:
- $<1;2;3;...>$, da die Differenzen $d=3-2=2-1=1$ konstant sind.
- $<-2;-4;-6;...>$, da die Differenzen $d=-6-(-4)=-4-(-2)=-2$ konstant sind.
- $<2;4;8;...>$, da die Quotienten $q=8:4=4:2=2$ konstant sind.
- $<0,1;0,05;0,025;...>$, da die Quotienten $d=0,025:0,05=0,05:0,1=0,5$ konstant sind.
-
Bestimme, ob es sich um eine arithmetische Folge handelt.
TippsStelle zunächst die Folgen auf und überprüfe die Differenzenfolgen.
Sind die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant, so handelt es sich um eine geometrische Folge.
Eine Kubikzahl erhältst du, wenn du eine natürliche Zahl zweimal mit sich selbst multiplizierst.
LösungWir notieren uns zunächst die Folgen und untersuchen dann die Differenzenfolgen beziehungsweise die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder.
Folge aller Kubikzahlen: $~<1;8;27;64;125;...>$
Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:
- 1. Differenzenfolge: $~<7;19;37;61;...>$
- 2. Differenzenfolge: $~<12;18;24;...>$
- 3. Differenzenfolge: $~<6;6;...>$
Folge aller Quadratzahlen: $~<1;4;9;16;25;...>$
Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:
- 1. Differenzenfolge: $~<3;5;7;9;...>$
- 2. Differenzenfolge: $~<2;2;2;...>$
Folge aller positiven Zahlen, die durch $3$ teilbar sind: $~<3;6;9;12;15;...>$
Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:
- 1. Differenzenfolge: $~<3;3;3;3;...>$
Folge aller positiven geraden Zahlen: $~<2;4;6;8;10;...>$
Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder nicht konstant sind, untersuchen wir die Differenzenfolgen:
- 1. Differenzenfolge: $~<2;2;2;2;...>$
Folge aller positiven ganzzahligen Viererpotenzen: $~<4;16;64;256;...>$
Da die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant sind, nämlich $q=256:64=64:16=16:4=4$
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