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Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz 04:11 min

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Transkript Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz

Piet ist für 3 Leuchttürme verantwortlich: Alter Anleger, Blaue Bucht und Cap Capri. Gerade hat Piet, der Leuchtturmwärter, bemerkt, dass einer seiner 3 Leuchttürme ausgefallen ist. Die Situation ist brenzlig und Piet muss schnell handeln. Zu allem Übel zieht ausgerechnet jetzt dichter Nebel auf. Wie soll er bei diesem Wetter zum Leuchtturm finden? Nun, ganz einfach. Für die Kursberechnung nutzt Piet den Sinus- und Cosinussatz.

Cosinussatz - Erklärung

Sind 2 Seiten und ein Winkel oder 3 Seiten eines nicht-rechtwinkligen Dreiecks bekannt, hilft dir der Cosinussatz weiter. Da Piet die Entfernungen zwischen den Leuchttürmen aus dem FF kennt, muss er nur den Winkel berechnen, um sein Boot auf Kurs zu bringen. Sehen wir uns mal die Formeln an. Wenn du genauer hinschaust, siehst du, dass sie dem Satz des Pythagoras sehr ähneln. Nehmen wir das mal genauer unter die Lupe. Kommt dir der erste Teil der Gleichung bekannt vor? Genau! Das ist der Satz des Pythgoras! Kannst du ein Muster erkennen? Um zum Cosinussatz zu kommen, ziehen wir das Produkt des Cosinus des Winkels, der der gesuchten Seite gegenüberliegt, sowie 2 Mal das Produkt der beiden anderen Seiten vom Satz des Pythagoras ab. Aber welche der Formeln verwenden wir jetzt?

Cosinussatz - Berechnung

Da Alpha die gesuchte Größe ist, können wir diese Formel nutzen, müssen sie aber zuerst nach Cosinus von Alpha umstellen. Wir subtrahieren b² und c²... und wir teilen durch -2bc auf beiden Seiten der Gleichung. Nun ist Cosinus Alpha isoliert. Piets Wissen nach beträgt die Entferung zwischen der Blauen Bucht und Cap Capri 5,18 km, zwischen Cap Capri und dem Alten Anleger 9 km und zwischen Alter Anleger und der Blauen Bucht 6 km. Er setzt diese Zahlen in den Cosinussatz ein. Cosinus hoch -1 ist der Arcus-Cosinus, also die Umkehrung des Cosinus'. Wir nutzen ihn, um Alpha zu isolieren. Wir setzen die Werte für a, b und c ein und lösen mit dem Taschenrechner. Super! Mit dem richtigen Kurswinkel kann sich Piet jetzt auf den Weg zum Cap Capri machen. Oh nein...die neue Glühbirne ist über Bord gegangen. Um Ersatz zu holen muss Piet zur Blauen Bucht fahren. Aber nun muss er den Kurs von der Blauen Bucht zum Cap Capri berechnen. Piet kann mit dem Cosinussatz den Winkel Beta berechnen, aber da er die Entfernungen und einen der Winkel kennt, kann er jetzt auch den Sinussatz verwenden.

Sinussatz - Erklärung

Schau dir die Formel an. Die Variablen im Zähler geben die Länge der 3 Seiten a, b und c an, im Nenner steht der Sinus DES Winkels, der der jeweiligen Seite gegenüberliegt. Natürlich kannst du die Formel auch umdrehen. Verwende einfach die Variante, mit der sich die gesuchte Größe am leichtesten finden lässt. Berechnen wir Winkel Beta mit den bekannten Größen.

Sinussatz - Berechnung

Winkel Alpha und alle Seiten sind bekannt. Nun stellen wir nach Beta um: Wir multiplizieren mit b. Anschließend nutzen wir wieder die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen, hier den Arcus-Sinus, um den Winkel Beta zu isolieren. Zum Schluss lösen wir mit dem Taschenrechner. Gut, jetzt kann es aber wirklich losgehen...doch im Nebel erspäht er...eine Meerjungfrau? Ach, ein KLEINER Umweg hat noch niemandem geschadet... Oops. DAS ist keine Meerjungfrau...

2 Kommentare
  1. Thomas

    @Tobib1992: Das Ergebnis der Rechnung in dem Video ist korrekt. Du scheinst einen Rechenfehler gemacht zu haben. Berechne den Zähler und den Nenner getrennt voneinander und berechne dann den Quotienten. Anschließend berechnest du den Arkus-Cosinus von deinem Ergebnis. Dann solltest du auf den entsprechenden Winkel von rund 33,4° kommen.

    Von Thomas Scholz, vor 5 Monaten
  2. Default

    Wie wird der Winkel bei 2:30 Minuten genau berechnet?
    wenn ich das in den Rechner eingebe, bekomme ich 83,7 Grad raus.

    Von Tobib1992, vor 5 Monaten