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Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz

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Team Digital
Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz

Anwendung von Sinussatz und Kosinussatz

Leuchtturmwärter Piet kümmert sich um drei Leuchttürme an den Orten Alter Anleger, Blaue Bucht und Cap Capri. Er befindet sich am Alten Anleger und bemerkt, dass gerade der Leuchtturm auf Cap Capri ausgefallen ist. Piet muss schnell handeln. Ausgerechnet jetzt zieht dichter Nebel auf. Wie soll er bei diesem Wetter zum Leuchtturm finden? Das geht ganz einfach, denn die drei Leuchttürme bilden ein Dreieck mit den Punkten $A$ (Alter Anleger), $B$ (Blaue Bucht) und $C$ (Cap Capri). Zum Glück kennt Piet die drei Entfernungen zwischen den Leuchttürmen auswendig. So kann er für die Kursberechnung durch den Nebel den Sinussatz und den Kosinussatz (auch mit C als Cosinussatz geschrieben) anwenden. Wir beginnen mit dem Kosinussatz.

Anwendung Kosinussatz

Der Kosinussatz vereinfacht die Beschreibung von geometrischen Beziehungen in nicht-rechtwinkligen Dreiecken. Der Kosinussatz kann für jede Seite eines Dreiecks formuliert werden:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cdot \cos(\gamma)$
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cdot \cos(\beta)$
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cdot \cos(\alpha)$

Der Kosinussatz hilft dir weiter, wenn entweder zwei Seiten und ein Winkel oder aber alle drei Seiten eines nicht-rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind und der Winkel fehlt.
In unserem Beispiel bilden die drei Leuchttürme auf der Karte ein Dreieck. Leuchtturmwärter Piet kennt die drei Entfernungen zwischen den Leuchttürmen auswendig, so muss er nur noch den Winkel berechnen, um sein Boot auf Kurs zu bringen.

Wenn du die Formeln im Kosinssatz genauer anschaust, wird dir auffallen, dass sie dem Satz des Pythagoras sehr ähneln: Der jeweils erste Teil der Gleichung ist der Satz des Pythagoras! Kannst du ein Muster erkennen?
Für die Erweiterung zum Kosinussatz ziehen wir vom Satz des Pythagoras einen Term ab. Dieser Term ist das Produkt aus dem Cosinus des Winkels, der der gesuchten Seite gegenüber liegt, mit den beiden anderen Seiten, die dazu mit $2$ multipliziert werden.
Der Satz des Pythagoras ist der Spezialfall des Kosinussatzes im rechtwinkligen Dreieck, da dort der $cos(90^{\circ}) =0$ ist.

Beispiel – Berechnung eines Winkels mit dem Kosinussatz
Zunächst klären wir, welcher der drei Formelsätze aus dem Kosinussatz im Beispiel genutzt werden kann:
Piets Standpunkt ist Alter Anleger, das ist jetzt Punkt $A$ im Dreieck. Piet muss zum defekten Leuchtturm auf Cap Capri, das ist Punkt $C$. Die Blaue Bucht ist der Punkt B. Da Piet von $A$ nach $C$ fahren will, benötigt er den Kurswinkel $\alpha$ an Punkt $A$. Wir nehmen damit den Cosinussatz in der folgenden Form:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cdot \cos(\alpha)$

Umstellung der Formel nach dem gesuchten Winkel $\alpha$:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cdot \cos(\alpha)$      | $- b^{2}, - c^{2}$

$a^{2} - b^{2} - c^{2} = - 2bc\cdot \cos(\alpha)$    | $:(- 2bc)$

$\frac{a^{2} - b^{2} - c^{2}}{- 2bc} = \cos(\alpha)$

Nun ist $\cos(\alpha)$ isoliert:

$ \cos(\alpha) = \frac{a^{2} - b^{2} - c^{2}}{- 2bc}$

Piet kennt die drei Entfernungen zwischen den Leuchttürmen auswendig: Der Abstand zwischen der Blauen Bucht und Cap Capri ist 5,18 km, also ist a = 5,18 km.
Der Abstand zwischen Cap Capri und dem Alten Anleger ist 9 km, also ist b = 9 km.
Der Abstand zwischen Alter Anleger und der Blauen Bucht 6 km, also ist c = 6 km.

Wir setzen die Werte für die $a$, $b$ und $c$ ein:

$\cos(\alpha) = \frac{5,18^{2} - 9^{2} - 6^{2}}{- 2\cdot9\cdot6}$

Wir isolieren den Winkel $\alpha$ mit $cos^{-1}$, das ist der Arcuskosinus (man findet ihn auf dem Taschenrechner abgekürzt als arccos oder acos oder $cos^{-1}$), also die Umkehrung des Kosinus, und lösen mit dem Taschenrechner:

$\alpha = cos^{-1} ( \frac{5,18^{2} - 9^{2} - 6^{2}}{- 2\cdot9\cdot6} )$

$\alpha \approx 33,4^{\circ}$

Piet kann sich jetzt mit dem richtigen Kurswinkel $\alpha \approx 33,4^{\circ}$ auf den Weg zum Cap Capri machen.

Anwendung_Sinussatz_Cosinussatz

Anwendung Sinussatz

Der Sinussatz kann ebenfalls die Ermittlung von geometrischen Beziehungen in nicht-rechtwinkligen Dreiecken vereinfachen. Der Sinussatz sieht als Formel so aus:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Das gilt natürlich auch umgekehrt:

$\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c}$

Verwende einfach die Variante, mit der sich die gesuchte Größe am leichtesten finden lässt.

Der Sinussatz hilft dir weiter, wenn mindestens zwei Seiten und ein Winkel eines nicht-rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind.
In unserem Beispiel hat Piet ein weiteres Problem: Er benötigt jetzt eine Ersatz-Glühbirne vom Ersatzteillager auf der Blauen Bucht, Punkt $B$. Jetzt muss er auch den Winkel an Punkt $B$, also $\beta$, berechnen, um sein Boot von dort auf Kurs Cap Capri (Punkt $C$) zu bringen.

Er könnte wieder den Kosinussatz nutzen, da er ja alle Entfernungen a, b und c kennt. Da er aber die Entfernungen und einen der Winkel kennt, nämlich $\alpha$, kann er jetzt auch den Sinussatz verwenden.

Beispiel Berechnung eines Winkels mit dem Sinussatz
Der Winkel $\alpha$ und alle Seiten sind bekannt. Nun stellen wir nach dem Winkel $\beta$ um:

$\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b}$    | $\cdot b$

$\frac{\sin(\alpha) \cdot b}{a} = \sin(\beta)$

Einsetzen von $b = 9$ und $c = 6$ sowie $\alpha = 33,4^{\circ}$:

$\frac{\sin(33,4) \cdot 9}{6} = \sin(\beta)$

Wir isolieren den Winkel $\beta$ mit $sin^{-1}$, das ist der Arcussinus (man findet ihn auf dem Taschenrechner abgekürzt als arcsin oder asin oder $sin^{-1}$), also die Umkehrung des Sinus, und lösen mit dem Taschenrechner:

$\beta = sin^{-1} ( \frac{\sin(33,4) \cdot 9}{6} )$

$\beta \approx 73^{\circ}$

Gut, damit kann Piet endlich ablegen. Aber siehe da, der Nebel hat sich schon wieder verzogen.

Dieses Video

Mit diesem Video lernst du, den Sinus- und Kosinussatz auf unterschiedliche Dreiecke anzuwenden. Zunächst lernst du, wie der Sinus- und Kosinussatz für beliebige Dreiecke definiert sind. Anschließend wenden wir diese auf unterschiedliche Beispiele an. Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was der Satz des Pythagoras, der Sinus, der Kosinus und der Tangens sind.

Übungen und Arbeitsblätter Du findest hier auch Übungen und Arbeitsblätter. Beginne mit den Übungen, um gleich dein neues Wissen über die Anwendung von Sinus- und Kosinussatz zu testen.

Transkript Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz

Piet ist für 3 Leuchttürme verantwortlich: Alter Anleger, Blaue Bucht und Cap Capri. Gerade hat Piet, der Leuchtturmwärter, bemerkt, dass einer seiner 3 Leuchttürme ausgefallen ist. Die Situation ist brenzlig und Piet muss schnell handeln. Zu allem Übel zieht ausgerechnet jetzt dichter Nebel auf. Wie soll er bei diesem Wetter zum Leuchtturm finden? Nun, ganz einfach. Für die Kursberechnung nutzt Piet den Sinus- und Cosinussatz.

Cosinussatz - Erklärung

Sind 2 Seiten und ein Winkel oder 3 Seiten eines nicht-rechtwinkligen Dreiecks bekannt, hilft dir der Cosinussatz weiter. Da Piet die Entfernungen zwischen den Leuchttürmen aus dem FF kennt, muss er nur den Winkel berechnen, um sein Boot auf Kurs zu bringen. Sehen wir uns mal die Formeln an. Wenn du genauer hinschaust, siehst du, dass sie dem Satz des Pythagoras sehr ähneln. Nehmen wir das mal genauer unter die Lupe. Kommt dir der erste Teil der Gleichung bekannt vor? Genau! Das ist der Satz des Pythagoras! Kannst du ein Muster erkennen? Um zum Cosinussatz zu kommen, ziehen wir das Produkt des Cosinus des Winkels, der der gesuchten Seite gegenüberliegt, sowie 2 Mal das Produkt der beiden anderen Seiten vom Satz des Pythagoras ab. Aber welche der Formeln verwenden wir jetzt?

Cosinussatz - Berechnung

Da Alpha die gesuchte Größe ist, können wir diese Formel nutzen, müssen sie aber zuerst nach Cosinus von Alpha umstellen. Wir subtrahieren b² und c²... und wir teilen durch -2bc auf beiden Seiten der Gleichung. Nun ist Cosinus Alpha isoliert. Piets Wissen nach beträgt die Entferung zwischen der Blauen Bucht und Cap Capri 5,18 km, zwischen Cap Capri und dem Alten Anleger 9 km und zwischen Alter Anleger und der Blauen Bucht 6 km. Er setzt diese Zahlen in den Cosinussatz ein. Cosinus hoch -1 ist der Arcus-Cosinus, also die Umkehrung des Cosinus'. Wir nutzen ihn, um Alpha zu isolieren. Wir setzen die Werte für a, b und c ein und lösen mit dem Taschenrechner. Super! Mit dem richtigen Kurswinkel kann sich Piet jetzt auf den Weg zum Cap Capri machen. Oh nein...die neue Glühbirne ist über Bord gegangen. Um Ersatz zu holen muss Piet zur Blauen Bucht fahren. Aber nun muss er den Kurs von der Blauen Bucht zum Cap Capri berechnen. Piet kann mit dem Cosinussatz den Winkel Beta berechnen, aber da er die Entfernungen und einen der Winkel kennt, kann er jetzt auch den Sinussatz verwenden.

Sinussatz - Erklärung

Schau dir die Formel an. Die Variablen im Zähler geben die Länge der 3 Seiten a, b und c an, im Nenner steht der Sinus DES Winkels, der der jeweiligen Seite gegenüberliegt. Natürlich kannst du die Formel auch umdrehen. Verwende einfach die Variante, mit der sich die gesuchte Größe am leichtesten finden lässt. Berechnen wir Winkel Beta mit den bekannten Größen.

Sinussatz - Berechnung

Winkel Alpha und alle Seiten sind bekannt. Nun stellen wir nach Beta um: Wir multiplizieren mit b. Anschließend nutzen wir wieder die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen, hier den Arcus-Sinus, um den Winkel Beta zu isolieren. Zum Schluss lösen wir mit dem Taschenrechner. Gut, jetzt kann es aber wirklich losgehen...doch im Nebel erspäht er...eine Meerjungfrau? Ach, ein KLEINER Umweg hat noch niemandem geschadet... Oops. DAS ist keine Meerjungfrau...

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Einbiischen zu viel überflüssige Sachen

    Von Yiren Y., vor mehr als einem Jahr
  2. mein Lieblings Video

    Von Elias G., vor etwa 3 Jahren
  3. @Tobib1992: Das Ergebnis der Rechnung in dem Video ist korrekt. Du scheinst einen Rechenfehler gemacht zu haben. Berechne den Zähler und den Nenner getrennt voneinander und berechne dann den Quotienten. Anschließend berechnest du den Arkus-Cosinus von deinem Ergebnis. Dann solltest du auf den entsprechenden Winkel von rund 33,4° kommen.

    Von Thomas Scholz, vor etwa 4 Jahren
  4. Wie wird der Winkel bei 2:30 Minuten genau berechnet?
    wenn ich das in den Rechner eingebe, bekomme ich 83,7 Grad raus.

    Von Tobib1992, vor etwa 4 Jahren

Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme den Winkel $\alpha$ mit Hilfe des Cosinussatzes für Piets Navigation.

    Tipps

    Isoliere zunächst $\cos(\alpha)$.

    Verwende hierfür Äquivalenzumformungen.

    Um bei gegebenem Cosinuswert den Winkel zu berechnen, muss der Cosinus umgekehrt werden.

    Dies ist die $\cos^{-1}$ Taste auf deinem Taschenrechner.

    Lösung

    In dieser brenzligen Situation kann Piet den Cosinussatz verwenden, da alle drei Seitenlängen bekannt sind. Da nach dem Winkel $\alpha$, dem Winkel in $A$, gesucht wird, kann man den folgenden Cosinussatz verwenden:

    $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$

    Um $\alpha$ zu berechnen, muss man diese Gleichung so umformen, dass $\cos(\alpha)$ alleine steht:

    $\begin{array}{rclll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&-b^2-c^2\\ a^2-b^2-c^2&=&-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2bc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc} \end{array}$

    Geschafft! Nun können die bekannten Werte für die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ in dieser Gleichung eingesetzt werden:

    $\cos(\alpha)=\frac{5,18^2-9^2-6^2}{-2~\cdot~9~\cdot~6}$

    Zuletzt wird mit Hilfe des Arcuscosinus $\cos^{-1}$, umgekehrt, um $\alpha$ zu isolieren, und man erhält:

    $\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{5,18^2-9^2-6^2}{-2~\cdot~9~\cdot~6}\right)\approx33,4^\circ$

    Mit dem Wissen, dass der Winkel $\alpha \approx33,4^\circ$ ist, kann Piet nun schnell losfahren, um den Leuchtturm zu reparieren.

  • Berechne den Winkel $\beta$ mit dem Sinussatz für Piets Fahrt zum Cap Capri.

    Tipps

    Forme zunächst den Sinussatz so um, dass der Sinus des gesuchten Winkels alleine steht.

    Setze dann die bekannten Werte in diese umgeformte Formel ein und löse mit dem Taschenrechner. Die Umkehrung des Sinus ist der Arcussinus $\sin^{-1}$.

    Es werden nicht alle gegebenen Größen benötigt.

    Lösung

    Wir starten mit der Gleichung

    $\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}$

    Diese Gleichung gilt auch, wenn man auf beiden Seiten den Kehrwert bildet:

    $\frac{\sin(\alpha)}a=\frac{\sin(\beta)}b$

    Jetzt kannst du mit $b$ multiplizieren:

    $\sin(\beta)=\frac{\sin(\alpha)}a\cdot b$

    Nun kannst du die bekannten Werte einsetzen:

    $\sin(\beta)=\frac{\sin(33,4^\circ)}{5,18}\cdot 9$

    Zuletzt wird der Sinus mit Hilfe des Arcussinus, also $sin^{-1}$, umgekehrt, um $\beta$ zu isolieren:

    $\beta=\sin^{-1}\left(\frac{\sin(33,4^\circ)}{5,18}\cdot 9\right)\approx 73^\circ$

    Der Winkel $\beta$ ist also rund $ 73^\circ$ Grad groß. Nun kann Piet mit diesem Wissen sicher zum Leuchtturm fahren.

  • Bestimme die passende Gleichung mit Hilfe des Cosinussatzes.

    Tipps

    Vielleicht hilft es dir, wenn du zuerst den Cosinussatz aufschreibst, der den Winkel $\alpha$ bei $A$ beinhaltet.

    Beschrifte die Seiten mit den Kleinbuchstaben der Punkte, denen sie gegenüberliegen.

    Lösung

    In jedem der Beispiele wird der folgende Cosinussatz verwendet:

    $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$.

    Da jedes Mal der Winkel $\alpha$ bestimmt werden soll, wird diese Formel zunächst nach $\cos(\alpha)$ umgeformt:

    $\begin{array}{rclll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&-b^2-c^2\\ a^2-b^2-c^2&=&-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2bc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc} \end{array}$

    In diese umgeformte Gleichung können nun die bekannten Größen eingesetzt werden:

    Dreieck mit den Seitenlängen $a=5,18$, $b=9$ und $c=6$:

    $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{5,18^2-9^2-6^2}{-2~\cdot~ 9~\cdot ~6}\right)\approx33,4^\circ$

    Dreieck mit den Seitenlängen $a=9$, $b=8$ und $c=7$:

    $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{9^2-8^2-7^2}{-2~\cdot~8~\cdot ~7}\right)\approx 73,4^\circ$

    Dreieck mit den Seitenlängen $a=2$, $b=3$ und $c=4$:

    $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{2^2-3^2-4^2}{-2~\cdot~ 3~\cdot~ 4}\right)\approx 29^\circ$

    Dreieck mit den Seitenlängen $a=7$, $b=8$ und $c=9$:

    $\quad~~\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{7^2-8^2-9^2}{-2~\cdot~ 8~\cdot~ 9}\right)\approx 48,2^\circ$

  • Finde den Winkel, den Piet braucht, um zur Insel von Nils zu gelangen.

    Tipps

    Überlege dir, wie du den Cosinussatz verwenden kannst, um den gesuchten Winkel zu berechnen.

    Erinnere dich: Die Seiten benennst du im Dreieck immer genau so, wie den gegenüberliegenden Punkt, allerdings in Kleinbuchstaben.

    Beim Cosinussatz kannst du die Variablen für die Seiten $a$, $b$ und $c$ sowie die zugehörigen Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ auch gegen andere Variablen austauschen, solange du das konsequent an allen Stellen machst, zum Beispiel alle $a$ gegen $d$ und zudem auch Winkel $\alpha$ gegen $\delta$ austauschst.

    Lösung

    Piet muss den Winkel in $A$, also $\alpha$, herausfinden.

    Bekannt sind die Seitenlängen $a=4$, $c=6,5$ und $d=9$.

    Mit diesen Größen lautet der Cosinussatz dann

    $a^2=c^2+d^2-2cd\cdot \cos(\alpha)$.

    Diese Gleichung wird nach $\cos(\alpha)$ umgeformt:

    $\begin{array}{rclll} a^2&=&c^2+d^2-2cd\cdot \cos(\alpha)&|&-c^2-d^2\\ a^2-c^2-d^2&=&-2cd\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2dc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-c^2-d^2}{-2cd} \end{array}$

    Nun können die bekannten Größen in dieser Formel eingesetzt werden:

    $\cos(\alpha)=\frac{4^2-6,5^2-9^2}{-2~\cdot~ 6,5~\cdot~ 9}$.

    Um den Winkel $\alpha$ zu erhalten, wird der Cosinus umgekehrt:

    $\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{4^2-6,5^2-9^2}{-2~\cdot ~6,5~\cdot ~9}\right)\approx 23,6^\circ$.

  • Prüfe, welche Formeln zum Cosinussatz fehlerfrei aufgeschrieben wurden.

    Tipps

    Achte auf die Vorzeichen.

    Zwei Gleichungen sind korrekt.

    Der erste Teil der Formel sieht so ähnlich aus wie der Satz des Pythagoras; und davon wird etwas subtrahiert:

    Das Doppelte des Produktes der beiden Seiten, deren Quadrate addiert werden, multipliziert mit dem Cosinus des gegenüberliegenden Winkels der Seite, die auf der linken Seite der Gleichung steht.

    Lösung

    Der Cosinussatz besteht eigentlich aus drei Formeln. Bei jeder dieser Formeln steht das Quadrat einer der drei Seiten auf der linken Seite der Gleichung. Der Cosinus des dieser Seite gegenüberliegenden Winkels taucht auf der rechten Seite auf.

    1. $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$
    2. $b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta)$
    3. $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)$
    Wie kann man sich diesen Satz gut merken?

    Schau dir bei der ersten Formel die linke Seite sowie die beiden Summanden auf der rechten Seite an: Das sieht aus wie der Satz des Pythagoras, $a^2=b^2+c^2$. Davon wird etwas subtrahiert: Das Doppelte des Produktes der beiden Seiten, deren Quadrate addiert werden, multipliziert mit dem Cosinus des gegenüberliegenden Winkels der Seite, die auf der linken Seite der Gleichung steht.

    Bei den obigen Auswahlmöglichkeiten sind also nur die 1. und 3. richtig.

  • Ermittle die Winkel, welche potenzielle neue Positionen für Leuchttürme darstellen.

    Tipps

    Schaue dir den Cosinus- sowie den Sinussatz nochmal an.

    In jedem der drei Dreiecke kennst du die Längen der drei Seiten.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Im Sinussatz kommen zwei Winkel und zwei Seiten vor.

    Lösung

    Da in jedem der Dreiecke drei Seiten bekannt sind, muss Piet jeweils den Cosinussatz verwenden. Dieser wird dann nach dem gesuchten Winkel umgeformt und die bekannten Größen können in der so erhaltenen Formel eingesetzt werden:

    Die Formel $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)$ kann wie folgt umgeformt werden

    $\begin{array}{rclll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&-b^2-c^2\\ a^2-b^2-c^2&=&-2bc\cdot \cos(\alpha)&|&:(-2bc)\\ \cos(\alpha)&=&\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}&|&\cos^{-1}\\ \alpha&=&\cos^{-1}\left(\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\right)\end{array}$

    Ebenso kann

    $b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)$ umgeformt werden zu

    $\beta=\cos^{-1}\left(\frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}\right)$

    und $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)$ zu

    $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{c^2-a^2-b^2}{-2ab}\right)$

    Nun bleibt nur noch übrig, in jedem der Dreiecke zu entscheiden, welche dieser drei Formeln man verwenden kann (von oben nach unten):

    $\beta=\cos^{-1}\left(\frac{12^2-11^2-8^2}{-2~\cdot ~11~\cdot ~8}\right)\approx76,5^\circ$

    $\gamma=\cos^{-1}\left(\frac{5^2-7^2-10^2}{-2~\cdot~ 7~\cdot~ 10}\right)\approx27,7^\circ$

    $\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{20^2-13^2-11^2}{-2~\cdot~ 13~\cdot~ 11}\right)\approx112,6^\circ$

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