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Abstand Punkt-Gerade

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Martin Wabnik
Abstand Punkt-Gerade
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Abstand Punkt-Gerade

Wie berechnet man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Im Video möchte ich dir erst einmal zeigen, wie du dir das vorstellen kannst. Das ist wichtig für das Verständnis. Dann zeige ich, wie der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden konkret ausrechnet wird. Dazu werden wir dann auch gemeinsam ein Beispiel betrachten. Dabei soll der Abstand zwischen dem Punkt P (0/ -1/ 10) und der Geraden g: Vektor x = (4/ 4/ 8) + lamda • (2/ 1/ 2) Berechnet werden.

Transkript Abstand Punkt-Gerade

Hallo. Wie berechnet man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Ich möchte erst mal zeigen, wie man sich das vorstellen kann, und hinterher zeige ich dann, wie man das konkret ausrechnet. Angenommen wir haben hier eine Gerade. Das soll mal eine Gerade darstellen. Und wir haben hier einen gelben Punkt. Dieser gelbe Punkt hat einen Abstand zu dieser Geraden, nämlich der müsste dann von hier nach da gehen. Das müsste der Abstand sein. Wie kann man sich das jetzt vorstellen, wie so etwas ausgerechnet werden kann? Wir können einfach mal mehrere Geraden ankucken, die hier durch diesen gelben Punkt gehen und die andere Gerade schneiden. Da ist es jetzt eine bestimmte Gerade dabei, die rechtwinklig auf dieser Geraden hier auftrifft oder die diese rechtwinklig schneidet. Dieses Verbindungsstück, also von diesem Schnittpunkt zu diesem gelben Punkt, das ist der Abstand. Das beweise ich jetzt an dieser Stelle nicht, dass der Abstand, wenn man diesen Vektor bildet, dass der dann rechtwinklig auf der Geraden auftrifft. Ich glaube, das kennst du auch von Dreieckshöhen und aus deiner Alltagserfahrung. Das kann man auch beweisen, aber ich mache es jetzt hier nicht. Also das können wir mal voraussetzen und dann kann man sich vorstellen, glaube ich, wenn man diesen Schnittpunkt hier kennt, den da, dann ist man eigentlich schon fertig und kennt den Abstand zwischen diesem gelben Punkt der Geraden. Ich zeige das mal mit einem Hilfspunkt hier. Also wenn wir diesen orangefarbenen Punkt kennen, dann reduziert sich unsere weitere Fragestellung auf dieses Problem hier: Wir haben 2 Punkte und suchen den Abstand dieser Punkte. Wie bekommen wir den Abstand dieser Punkte? Wir bilden den Differenzvektor. Dann können wir den Betrag des Differenzvektors bilden und das ist dann der Abstand oder der Abstand der beiden Punkte. In unserem Fall eben der Anstand des gelben Punktes zu dieser Geraden, die gerade noch hier sichtbar war. Um genau zu sein: Man bekommt 2 verschiedene Differenzvektoren, je nachdem, ob man diesen Punkt minus diesen oder diesen Punkt minus diesen rechnet. Für uns ist das egal, weil wir den Betrag suchen und der Betrag ist für beide möglichen Differenzvektoren gleich.

Wie kann man das jetzt alles hier in eine mathematische Formel gießen? Wir wollen das ja letzten Endes ausrechnen. Wir stellen uns Folgendes vor: Es gibt also einen Punkt, diesen orangefarbenen Punkt, der nennt sich übrigens Lotfußpunkt, weil man sich vorstellt, dass man von diesem gelben Punkt aus das Lot auf diese Gerade fällt. Vielleicht kennst du den Maurerlot. Das ist ein Gewicht mit einem Band dran und das hält man, um zu kucken, ob man Wände gerade mauert. Normalerweise fällt das Lot von oben nach unten, aber hier in der Mathematik sagt mach auch, dass das Lot von diesem gelben Punkt auf diese Gerade gefällt wird und dann entsteht hier dieser orangefarbene Lotfußpunkt.

Wir stellen uns Folgendes vor: Wir möchten diesen Lotfußpunkt finden. Dieser Lotfußpunkt hat die Eigenschaft, dass er hier mit diesem gelben Punkt einen Differenzvektor definiert, der rechtwinklig zu dieser Geraden ist. Das bedeutet, wir rechnen jetzt diesen Lotfußpunkt minus diesem gegebenen gelben Punkt, dann bekommen wir den Differenzvektor. Dieser Differenzvektor × Richtungsvektor der Geraden = 0. Wir bilden das Skalarprodukt von diesem Differenzvektor und diesem Richtungsvektor und dieses Skalarprodukt ist 0, weil wir wissen, ein Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann 0, wenn die beiden Vektoren rechtwinklig zueinander sind oder orthogonal sind. Wie auch immer man das ausdrücken will. Das ist eigentlich schon die ganze Überlegung, die man machen muss, um das mathematisch einwandfrei formulieren zu können. Schauen wir uns das mal an, wie das hier als Datei aussieht. Wir haben also eine gegebene Gerade also x=s+λ×r. s ist der Stützvektor und r ist der Richtungsvektor. Und einen Punkt haben wir auch gegeben. Der hat den Ortsvektor 0P oder es gibt auch viele Bezeichnung, wie die Ortsvektoren heißen. Das ist mir jetzt egal, ich meine den Ortsvektor, der vom Ursprung zum gegebenen Punkt hinführt. Jetzt suchen wir den Lotfußpunkt. Diesen Lotfußpunkt erhalten wir, indem wir uns zunächst einmal überlegen, dass der ja auf der gegebenen Geraden liegt. Das heißt, es gibt ein bestimmtes λ, das hier jetzt λLP heißt. Das kann man in diese Geradengleichung einsetzen und dann erhält man einen bestimmen Punkt, nämlich den Lotfußpunkt. Also diese Form wird der Lotfußpunkt auf jeden Fall haben. Von dem Ortsvektor, der zum Lotfußpunkt führt, ziehen wir den Ortsvektor des gegebenen Punktes ab. Man rechnet diesen Punkt minus diesen Punkt und dann erhalten wird den Differenzvektor, also diesen Vektor zwischen Gelb und Orange, wie wir das gerade gesehen haben. Und wenn wir da jetzt die Skalarmultiplikation mit dem Richtungsvektor der Geraden machen, dann kommt da 0 raus, weil nämlich dieser Differenzvektor und dieser Richtungsvektor rechtwinklig zueinander sind. Das gilt alles für diesen Lotfußpunkt. Wir suchen also ein bestimmtes λ, das diese Gleichung erfüllt.  Das kann man jetzt mal konkret an einem Beispiel durchrechnen. So sieht es aus. Hier haben wir die gegebene Gerade und einen gegebenen Punkt, Stützvektor und Richtungsvektor. Ich glaube, das ist nichts Besonderes. Und diese gegebenen Dinge müssen wir jetzt einfach in diese Gleichung einsetzen, die wir gerade eben gesehen haben. Ich zeige das mal so eben. Hier ist der Stützvektor plus ein bestimmtes λ, also das λ, das dann zu diesem Lotfußpunkt gehört, λ × Richtungsvektor. Das ist ein bestimmter Punkt der Geraden. Davon ziehen wir den Ortsvektor zum Punkt P ab, bilden also hier den Differenzvektor. Und dieser Differenzvektor mit r multipliziert, also mit dem Richtungsvektor der Geraden multipliziert, ergibt 0, weil diese beiden rechtwinklig zueinander sind, Differenzvektor und Richtungsvektor. Dann können wir das umformen. Und zwar rechnen wir hier: 4+λLP×2-0. Da kommt dann also 4+2×λLP raus. Hier rechnen wir 4+λLP×1-(-1). Das ist im Ganzen dann 5+λLP. Und da das gleiche: 8+λLP×2-10 ist -2+2×λLP. Das müssen wir jetzt mit dem Richtungsvektor multiplizieren, das Skalarprodukt bilden. Und das habe ich jetzt nicht im Einzelnen alles hingeschrieben, ich glaube, das weißt du, wie das geht. Es kommt auf jeden Fall raus: 9λLP+9=0, wenn man das noch ein bisschen zusammenfasst und daraus folgt dann λLP=-1. Und wenn wir das haben, hier λLP=-1, dann können wir dieses bestimmte λLP in die Geradengleichung einsetzen, nämlich -1 hier für λ einsetzen und dann erhalten wir einen bestimmten Punkt. Das hier, dieses Ding hier hinten, das ist der Lotfußpunkt beziehungsweise der Vektor, der vom Ursprung zum Lotfußpunkt hinführt. Man muss das ja immer so ein bisschen unterscheiden. Ein Punkt ist ja kein Vektor, obwohl jeder Punkt durch einen Ortsvektor definiert ist und so weiter. Aber ich glaube, das muss ich hier nicht noch mal im Einzelnen erklären. Gut. Wir haben den Lotfußpunkt und dann, hatte ich ja gesagt, braucht man nur noch den Differenzvektor vom Lotfußpunkt zum gegebenen Punkt und dessen Betrag dann ausrechnen. Und dann hat man den Abstand. Das habe ich jetzt hier auch schon mal vorbereitet. Hier bilden wir den Differenzvektor, also Vektor des Lotfußpunktes minus Vektor zum Punkt P. Das kommt raus (2|4|-4). Und von diesem Differenzwert bildet man den Betrag. Das ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate und die ist 6. Damit haben wir jetzt hier an dem konkreten Beispiel direkt durchgerechnet, dass der Abstand dieses gelben Punktes zu dieser Geraden 6 ist. Die Gerade liegt etwas anders. Die entsprechen jetzt nicht einander. Das ist nur zur Veranschaulichung. Ja, das war es zum Berechnen. Viel Spaß damit. Tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Das Video hat mir wirklich großartig weiter geholfen!
    Bei uns in Mathe haben wir das gar nicht mit dem Skalarprodukt gelernt, bei uns haben wir mit erster und zweiter Ableitung den geringstmöglichen Abstand zur Gerade berechnet. Das ist im Endeffekt zwar das Selbe aber dein Rechenweg ist sehr viel unkomplizierter.
    Also vielen lieben Dank.

    Von Lea Elain Vollrath, vor mehr als 3 Jahren
  2. Ich finde es "einsichtiger", wenn du selber schreibst. Der
    Computer ersetzt nicht das Haptische!

    Von Mariarudolf, vor mehr als 3 Jahren

Abstand Punkt-Gerade Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Abstand Punkt-Gerade kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen zur Abstandsberechnung im $\mathbb{R}^3$.

    Tipps

    Man erhält den Abstand eines Punktes zu einer Geraden, indem man das Lot fällt.

    $\vec r$ ist der Richtungsvektor der Geraden.

    Der Abstand zweier Punkte zueinander ist die Länge des Verbindungsvektors der beiden Punkte.

    Lösung

    Die Gerade $g$ sei wie folgt gegeben:

    $g:\vec x=\vec s+\lambda \vec r$.

    Dabei ist $\vec s$ der Stützvektor und $\vec r$ der Richtungsvektor.

    Wenn man den Abstand eines Punktes, welcher nicht auf der Geraden liegt, zu einer Geraden bestimmen soll, kann man wie folgt vorgehen:

    Man sucht denjenigen Punkt auf der Geraden, der den geringsten Abstand zu dem Punkt $P$, welcher nicht auf der Geraden liegt, besitzt. (Wenn der Punkt auf der Geraden liegt, ist der gesuchte Abstand natürlich $0$.)

    Wie kann man diesen Punkt finden?

    Wie in dem Bild zu erkennen ist, schließen der Richtungsvektor der Geraden $\vec r$ sowie der Verbindungsvektor des Lotfußpunktes $LP$ und des Punktes $P$ einen rechten Winkel ein. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ergeben muss.

    Der Lotfußpunkt ist ein Punkt der Geraden, lässt sich also schreiben als

    $\vec s+\lambda_{LP} \vec r$.

    Damit ist der Verbindungsvektor des Punktes $P$ mit dem Lotfußpunkt gegeben als die Differenz der entsprechenden Ortsvektoren:

    $\vec s+\lambda_{LP} \vec r-\vec{OP}$.

    Nun kann eine entsprechende Bedingung zur Bestimmung des Parameters $\lambda_{LP}$ aufgestellt werden, welche aus der bereits oben erwähnten Orthogonalität folgt:

    $\left(\vec s+\lambda_{LP} \vec r-\vec{OP}\right)*\vec r=0$. Hier soll $*$ die Skalarmultiplikation im Sinne des Skalarproduktes ausdrücken.

    Mit diesem Parameter ist dann auch der Lotfußpunkt gegeben.

    Der gesuchte Abstand des Punktes $P$ zu der Geraden $g$ ist dann gerade der Abstand der Punkte $P$ und $LP$ zueinander. Dieser Abstand wird auch durch die Länge des entsprechenden Verbindungsvektors ausgedrückt.

  • Bestimme den Abstand des Punktes zu der Geraden.

    Tipps

    Der Lotfußpunkt ist ein Punkt der Geraden. Es muss also einen entsprechenden Parameter geben, sodass sich $LP$ mit dem Stützvektor und Richtungsvektor der Geraden darstellen lässt.

    Vektoren werden addiert oder subtrahiert, indem man sie koordinatenweise addiert oder subtrahiert.

    Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist erklärt als die Summe der Produkte der einzelnen Koordinaten

    $\vec v*\vec w=v_x\cdot w_x+v_y\cdot w_y+v_z\cdot w_z$.

    Der entsprechende Parameter ist $\lambda_{LP}=-1$.

    Der Abstand zweier Punkte ist die Länge des Verbindungsvektors.

    Lösung

    Nun kann das Verfahren, welches in der ersten Aufgabe aufgezeigt wurde, einmal an einem Beispiel geübt werden.

    Die Gerade $g$ sei gegeben durch

    $g:\vec x=\begin{pmatrix} 4 \\ 4\\8 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\2 \end{pmatrix}$

    sowie der Punkt $P(0|-1|10)$.

    Der gesuchte Punkt mit dem geringsten Abstand zu $P$ ist der Lotfußpunkt $LP$, welcher auf der Gerade liegt. Sei $\lambda_{LP}$ der zugehörige Parameter, dann ist der Ortsvektor von $LP$ gegeben als

    $\begin{pmatrix} 4 \\ 4\\8 \end{pmatrix}+\lambda_{LP}\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\2 \end{pmatrix}$.

    Nun muss der Verbindungsvektor von $P$ und $LP$ aufgestellt werden

    $\begin{pmatrix} 4 \\ 4\\8 \end{pmatrix}+\lambda_{LP}\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ -1\\10 \end{pmatrix}$.

    Das Skalarprodukt dieses Verbindungsvektors mit dem Richtungsvektor der Geraden $g$ muss $0$ ergeben:

    $\left(\begin{pmatrix} 4 \\ 4\\8 \end{pmatrix}+\lambda_{LP}\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ -1\\10 \end{pmatrix}\right)*\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\2 \end{pmatrix}=0$.

    Unter Verwendung von Rechenregeln für Vektoren (Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar) erhält man

    $\begin{pmatrix} 4 +2\lambda_{LP}\\ 5+\lambda_{LP}\\-2+2\lambda_{LP} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\2 \end{pmatrix}=0$.

    Das Skalarprodukt ist erklärt als die Summe der Produkte der einzelnen Koordinaten der Vektoren. Somit erhält man

    $8+4\lambda_{LP}+5+\lambda_{LP}-4+4\lambda_{LP}=0$.

    Dies kann noch vereinfacht werden zu $9+9\lambda_{LP}=0$. Subtraktion von $9$ und Division durch $9$ führt zu $\lambda_{LP}=-1$.

    Wenn man diesen Parameter für $LP$ einsetzt, erhält man

    $\begin{pmatrix} 4 \\ 4\\8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3\\6 \end{pmatrix}$,

    also $LP(2|3|6)$.

    Nun muss noch der Abstand von $P$ zu $LP$, also die Länge des Verbindungsvektors berechnet werden:

    $\left|\begin{pmatrix} 2 \\ 3\\6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ -1\\10 \end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix} 2 \\ 4\\-4 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{36}=6$.

    Dies ist der gesuchte Abstand.

  • Ermittle den Lotfußpunkt von $P$ auf $g$.

    Tipps

    Der Vektor in der Geradengleichung, der mit dem Parameter multipliziert wird, ist der Richtungsvektor.

    Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden jeweils die Koordinaten multipliziert und die Produkte addiert.

    Ein Beispiel siehst du hier.

    Die Gleichung $\begin{pmatrix} -8+3\lambda_{LP} \\ -10+\lambda_{LP}\\10-\lambda_{LP} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}=0$ führt zu $11\lambda=44$.

    Lösung

    Der Lotfußpunkt des Punktes $P(11|11|-6)$ auf die Gerade

    $g:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\4 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}$ ist gegeben

    durch den Parameter $\lambda_{LP}$ und

    $\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\4 \end{pmatrix}+\lambda_{LP}\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}$

    Um diesen Parameter zu bestimmen, muss man die Gleichung lösen, welche man dadurch erhält, dass der Verbindungsvektor von $P$ und $LP$ sowie der Richtungsvektor der Geraden $g$ senkrecht zueinander sind. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt der Vektoren $0$ sein muss:

    $\left(\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\4 \end{pmatrix}+\lambda_{LP}\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 11 \\ 11\\-6 \end{pmatrix}\right)*\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}=0$

    Dies führt zu

    $\begin{pmatrix} -8+3\lambda_{LP} \\ -10+\lambda_{LP}\\10-\lambda_{LP} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}=0$

    Durch Verwendung des Skalarproduktes erhält man

    $-24+9\lambda_{LP}-10+\lambda_{LP}-10+\lambda_{LP}=-44+11\lambda_{LP}=0$.

    Nun kann auf beiden Seite $44$ addiert werden. Durch Division durch $11$ erhält man dann $\lambda_{LP}=4$.

    Wenn man diesen Parameter in der Darstellung des Lotfußpunktes einsetzt, erhält man

    $\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\4 \end{pmatrix}+4\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15 \\ 5\\0 \end{pmatrix}$

    Der Lotfußpunkt ist also $LP(15|5|0)$.

  • Berechne den Abstand der Punkte zueinander.

    Tipps

    Der Abstand zweier Punkte zueinander ist die Länge des Verbindungsvektors.

    Du erhältst den Verbindungsvektor zweier Punkte, indem du von dem Ortsvektor des einen Punktes den des anderen subtrahierst.

    Hier siehst du ein Beispiel für einen Verbindungsvektor der Punkte

    $M(3|3|3)$ sowie $N(1|2|3)$.

    Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate.

    Achte beim Potenzieren von negativen Zahlen auf die Klammern.

    Lösung

    Wenn man den Lotfußpunkt eines Punktes auf eine Gerade gefunden hat, muss noch der Abstand der beiden Punkte zueinander berechnet werden. Dieser Abstand ist die Länge des Verbindungsvektors.

    Um zu dem Verbindungsvektor zweier Punkte zu gelangen, subtrahiert man von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes. Bei der Berechnung des Abstandes ist diese Reihenfolge nicht von Bedeutung.

    Schauen wir uns die Punkte $A(3|1|1)$ und $B(2|2|4)$ an:

    • $\vec{AB}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\3 \end{pmatrix}$
    • $|\vec{AB}|=\sqrt{(-1)^2+1^2+3^2}=\sqrt{11}$
    Betrachten wir $C(-1|2|1)$ und $D(3|2|1)$:
    • $\vec{CD}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0\\0 \end{pmatrix}$
    • $|\vec{CD}|=\sqrt{4^2+0^2+0^2}=\sqrt{16}=4$
    Wie sieht es mit $P(-2|-1|-1)$ und $Q(4|4|1)$ aus?
    • $\vec{PQ}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5\\2 \end{pmatrix}$
    • $|\vec{PQ}|=\sqrt{6^2+5^2+2^2}=\sqrt{65}$
    Zuletzt werfen wir einen Blick auf $R(13|-1|11)$ und $S(11|3|7)$:
    • $\vec{RS}=\begin{pmatrix} -2 \\ 4\\-4 \end{pmatrix}$
    • $|\vec{RS}|=\sqrt{(-2)^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{36}=6$

  • Gib an, welche Bedeutung der Lotfußpunkt hat.

    Tipps

    Wenn du ein Gewicht an ein Seil bindest und dieses Gewicht in einem gewissen Abstand über den Boden hältst, so bildet das Seil mit dem Boden einen rechten Winkel.

    Wenn das Gewicht den Boden berührt, ist der Punkt, in welchem das Gewicht den Boden berührt, der Punkt auf dem Boden mit dem geringsten Abstand zu deiner Hand.

    Die Aufgabenstellung, welche zu der Suche nach dem Lotfußpunkt führt, lautet: Berechne den Abstand des Punktes $P$ zu der Geraden $g$.

    Lösung

    Gesucht ist der Abstand des Punktes $P$ zu der Geraden $g$. Wie in dem Bild zu erkennen ist, ist der Abstand des Punktes $P$ zu der Geraden der Abstand des Punktes $P$ zu $LP$, dem Lotfußpunkt, also die Länge des Verbindungsvektors dieser beiden Punkte.

    Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass $LP$ der Punkt der Geraden ist, welcher den geringsten Abstand zu dem Punkt $P$ besitzt.

    Der Lotfußpunkt heißt übrigens so, da man ein Lot verwendet, um rechte Winkel zu bestimmen.

    Ein Lot im Alltag kann aus einem Seil und einem an diesem Seil befestigten Gewicht bestehen.

  • Leite den Abstand des Punktes $P(7|26|12)$ von der Geraden $g:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 4\\-1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 5 \\ 4\\1 \end{pmatrix}$ her.

    Tipps

    Den Lotfußpunkt erhältst du durch Lösung der Gleichung

    $\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 4\\-1 \end{pmatrix}+\lambda_{LP}\begin{pmatrix} 5 \\ 4\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 \\ 26\\12 \end{pmatrix}\right)*\begin{pmatrix} 5 \\ 4\\1 \end{pmatrix}=0$.

    Es ist $\lambda_{LP}=3$.

    Der Abstand des Punktes $P$ zu der Geraden ist die Länge des Verbindungsvektors.

    Lösung

    Die Gerade $g$ sei gegeben durch

    $g:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 4\\-1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 5 \\ 4\\1 \end{pmatrix}$

    sowie der Punkt $P(7|26|12)$.

    Zunächst wird der Lotfußpunkt berechnet. Dies ist der Punkt der Geraden mit dem geringsten Abstand zu $P$

    $\begin{pmatrix} 2 \\ 4\\-1 \end{pmatrix}+\lambda_{LP}\begin{pmatrix} 5 \\ 4\\1 \end{pmatrix}$.

    Der Verbindungsvektor von $P$ und $LP$ ist gegeben durch

    $\begin{pmatrix} 2 \\ 4\\-1 \end{pmatrix}+\lambda_{LP}\begin{pmatrix} 5 \\ 4\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 \\ 26\\12 \end{pmatrix}$.

    Das Skalarprodukt dieses Verbindungsvektors mit dem Richtungsvektor der Geraden $g$ muss $0$ ergeben, da die beiden Vektoren senkrecht zueinander sind:

    $\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 4\\-1 \end{pmatrix}+\lambda_{LP}\begin{pmatrix} 5 \\ 4\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 \\ 26\\12 \end{pmatrix}\right)*\begin{pmatrix} 5 \\ 4\\1 \end{pmatrix}=0$.

    Der Vektor in der Klammer kann zusammengefasst werden zu

    $\begin{pmatrix} -5+5\lambda_{LP} \\ -22+4\lambda_{LP}\\-13+\lambda_{LP} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 5 \\ 4\\1 \end{pmatrix}=0$.

    Nun wird das Skalarprodukt berechnet und zusammengefasst

    $-25+25\lambda_{LP}-88+16\lambda_{LP}-13+\lambda_{LP}=-126+42\lambda_{LP}=0$.

    Zuletzt wird $126$ addiert und durch $42$ dividiert. Dies führt zu $\lambda_{LP}=3$. Dieser Parameter kann eingesetzt werden und man erhält

    $\begin{pmatrix} 2 \\ 4\\-1 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 5 \\ 4\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 17 \\16\\2 \end{pmatrix}$,

    also $LP(17|16|2)$.

    Nun kann der Abstand des Punktes $P$ von der Geraden als die Länge des Verbindungsvektors von $P$ und $LP$ berechnet werden:

    $\left|\begin{pmatrix} 17 \\ 16\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 \\ 26\\12 \end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix} 10 \\ -10\\-10 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{10^2+(-10)^2+(-10)^2}=\sqrt{300}=10\sqrt3\approx 17,32$.

    Dies ist der gesuchte Abstand.

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