Trigonometrische Funktionen – Kurvendiskussion
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Trigonometrische Funktionen – Kurvendiskussion Übung
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Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion.
TippsDie Ableitungen der trigonometrischen Funktionen sind:
- $(\sin(x))'=\cos(x)$ und
- $(\cos(x))'=-\sin(x)$.
Es gilt der trigonometrische Pythagoras: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$.
Die Kettenregel lautet: $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.
Die Produktregel in der Kurzschreibweise lautet: $(u\cdot v)'=u' \cdot v+u \cdot v'$.
LösungDie Ableitungen zu $f(x)=\sin^2(x)$ sind
- durch die Kettenregel sowie $(\sin(x))'=\cos(x)$:
- Die Ableitung der 1. Ableitung führt zu der zweiten Ableitung. Dabei wird die Produktregel, $(\sin(x))'=\cos(x)$ und $(\cos(x))'=-\sin(x)$ sowie der trigonometrische Pythagoras $\sin^2+\cos^2=1$ verwendet:
- Die Ableitung der 2. Ableitung ist die 3. Ableitung. Hier wird ähnlich wie bei der 1. Ableitung vorgegangen:
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Untersuche die Funktion auf Extrema.
TippsFür Extrema muss
- die 1. Ableitung $0$ sein und
- die 2. Ableitung ungleich $0$.
Die Nullstellen von $\sin(x)$ sind die ganzzahligen Vielfachen von $\pi$:
$\sin(x)=0\Leftrightarrow x=k\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$.
Die Nullstellen von $\cos(x)$ liegen genau in der Mitte der ganzzahligen Vielfachen von $\pi$:
$\cos(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{2k+1}2\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$.
LösungFür die Extrema werden die ersten beiden Ableitungen benötigt:
$\begin{align*} f'(x)& =2\sin(x)\cos(x)\\ f''(x)& =2-4\sin^2(x) \end{align*}$
Die 1. Ableitung muss $0$ sein, damit ein Extremum vorliegen kann:
$\begin{align*} &&2\sin(x)\cos(x)&=0 \\ &\Rightarrow&\sin(x)&=0\\ &\text{oder}&\cos(x)&=0\\ &\Rightarrow&x_{E1}&=-\pi\\ &&x_{E2}&=0\\ &&x_{E3}&=\pi\\ &\text{oder}&x_{E4}&=-\frac{\pi}2\\ &&x_{E5}&=\frac{\pi}2. \end{align*}$
Dabei wurde verwendet, dass die Nullstellen von $\sin$ und $\cos$ wie folgt gegeben sind:
- $\sin(x)=0\Leftrightarrow x=k\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$ und
- $\cos(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{2k+1}2\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$
- $f''(-\pi)=2-4\sin^2(-\pi)=2>0$, also liegt ein Tiefpunkt vor: $TP_1(-\pi|0)$. Die y-Koordinate dieses Tiefpunktes ist $y=f(0)=\sin^2(-\pi)=0$.
- $f''(0)=2-4\sin^2(0)=2>0$, also liegt ein Tiefpunkt vor: $TP_2(0|0)$.
- $f''(\pi)=2-4\sin^2(\pi)=2>0$, also liegt ein Tiefpunkt vor: $TP_3(\pi|0)$.
- $f''(-\frac{\pi}2)=2-4\sin^2(-\frac{\pi}2)=-2<0$, also liegt ein Hochpunkt vor: $HP_4(-\frac{\pi}2|1)$. Auch hier ergibt sich die y-Koordinate durch Einsetzen von $-\frac{\pi}2$ in $f(x)$, also $y=\sin^2\left(-\frac{\pi}2\right)=1$.
- $f''(\frac{\pi}2)=2-4\sin^2(\frac{\pi}2)=-2<0$, also liegt ein Hochpunkt vor: $HP_5(\frac{\pi}2|1)$.
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Berechne schrittweise die ersten beiden Ableitungen der Funktion.
TippsEs gilt
- $(\sin(x))'=\cos(x)$ und
- $(\cos(x))'=-\sin(x)$.
Der trigonometrische Pythagoras $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ ist äquivalent zu $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$.
Die Produktregel in der Kurzschreibweise lautet: $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$.
Die Kettenregel lautet: $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.
LösungDie 1. Ableitung kann mit der Kettenregel sowie der Ableitung $(\cos(x))'=-\sin(x)$ berechnet werden:
$f'(x)=-2\cos(x)\sin(x)$.
Mit der Produktregel und den Ableitungen $(\cos(x))'=-\sin(x)$ sowie $(\sin(x))'=\cos(x)$ gelangt man zu der 2. Ableitung. Dabei wird zusätzlich der trigonometrische Pythagoras $\sin^2+\cos^2=1$, welcher äquivalent ist zu $\sin^2=1-\cos^2$, verwendet:
$\begin{align*} f''(x)&=-2\left(-\sin^2(x)+\cos^2(x)\right)\\ &=-2\left(-1+\cos^2(x)+\cos^2(x)\right)\\ &=2-4\cos^2(x). \end{align*}$
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Untersuche die Funktion auf Nullstellen und Extrema.
TippsDie ersten beiden Ableitungen sind
$\begin{align*} f'(x)&=-2\cos(x)\sin(x)\\ f''(x)&=2-4\cos^2(x). \end{align*}$
Die Nullstellen von $\cos(x)$ sind gegeben durch
$\cos(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{2k+1}2\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$.
Es müssen die folgenden Gleichungen gelöst werden:
- Nullstellen: $f(x)=0$ und
- Extrema: $f'(x)=0$.
LösungDie ersten beiden Ableitungen sind:
$\begin{align*} f(x)&=\cos^2(x)\\ f'(x)&=-2\cos(x)\sin(x)\\ f''(x)&=-2\left(-\sin^2(x)+\cos^2(x)\right)\\ &=-2\left(-(1-\cos^2(x))+\cos^2(x)\right)\\ &=2-4\cos^2(x). \end{align*}$
Nullstellen: Der Ansatz lautet $f(x)=0$:
$\begin{align*} &&\cos^2(x)&=0\\ &&\cos(x)&=0\\ &\Rightarrow&x_1&-\frac{\pi}2\\ &&x_2&=\frac{\pi}2. \end{align*}$
Also sind die Nullstellen $N_1\left(-\frac{\pi}2|0\right)$ und $N_2\left(\frac{\pi}2|0\right)$.
Extrema: Der Ansatz lautet (n) $f'(x_E)=0$ und (h) $f''(x_E)\neq0$:
$\begin{align*} &&-2\cos(x)\sin(x)&=0\\ &\Rightarrow&\cos(x)&=0\\ &\text{oder}&\sin(x)&=0\\ &\Rightarrow&x_{E1}&-\frac{\pi}2\\ &&x_{E2}&=\frac{\pi}2\\ &&x_{E3}&=0. \end{align*}$
Ob wirklich Extrema vorliegen, kann man überprüfen, indem man jeweils die x-Koordinate in der 2. Ableitung einsetzt (h).
- $f''\left(-\frac{\pi}2\right)=2-4\cos^2\left(-\frac{\pi}2\right)=2>0$. Somit liegt ein Tiefpunkt vor: $TP_1\left(-\frac{\pi}2|0\right)$.
- $f''\left(\frac{\pi}2\right)=2-4\cos^2\left(\frac{\pi}2\right)=2>0$. Somit liegt ein Tiefpunkt vor: $TP_2\left(\frac{\pi}2|0\right)$.
- $f''\left(0\right)=2-4\cos^2\left(0\right)=-2<0$. Somit liegt ein Hochpunkt vor: $HP_3\left(0|1\right)$.
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Gib die Nullstellen der Funktion an.
TippsDie Nullstellen von $\sin(x)$ sind die ganzzahligen Vielfachen von $\pi$:
$\sin(x)=0\Leftrightarrow x=k\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$.
Es gibt 3 Nullstellen. Eine Nullstelle ist auch gleichzeitig der y-Achsenabschnitt.
LösungZur Bestimmung der Nullstellen wird die Gleichung $f(x)=0$ gelöst.
Dabei wird verwendet, dass die Nullstellen von $\sin(x)$ die ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ sind.
$\begin{align*} &&\sin^2(x)&=0 &|& \sqrt{~}\\ &&\sin(x)&=0\\ &\Rightarrow&x_1&=-\pi\\ &&x_2&=0\\ &&x_3&=\pi. \end{align*}$
Somit gibt es drei Nullstellen: $N_1(-\pi|0)$, $N_2(0|0)$ und $N_3(\pi|0)$. $N_2$ ist auch gleichzeitig der y-Achsenabschnitt, welchen man allgemein durch Einsetzen von $x=0$ in $f(x)$ erhält.
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Bestimme die Lösung der Gleichung.
TippsDie Nullstellen von $\cos(x)$ sind gegeben durch
$x=\frac{2k+1}2\cdot\pi ,~k\in\mathbb{Z}$.
Es gilt $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
$\tan(x)=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}4+k\cdot\pi ,~k\in\mathbb{Z}$.
LösungZu lösen ist die Gleichung $x(\sin(x)-\cos(x))=0$. Zunächst gilt, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, also ist
- entweder $x=0$
- oder $\sin(x)-\cos(x)=0$.
Hierbei ist zu beachten, dass $\cos(x)\neq 0$ sein muss, das heißt, die Nullstellen von $\cos(x)$ müssen ausgeschlossen werden. Diese sind $x=\frac{2k+1}2\cdot\pi,~k\in\mathbb{Z}$. Jedoch gilt für diese
$\sin\left(\frac{2k+1}2\cdot\pi\right)-\cos\left(\frac{2k+1}2\cdot\pi\right)=\sin\left(\frac{2k+1}2\cdot\pi\right)\neq 0$.
$\begin{align*} &&\sin(x)&=\cos(x) &|& :\cos(x) \\ &\Leftrightarrow&\frac{\sin(x)}{\cos(x)}&=1\\ &\Leftrightarrow&\tan(x)&=1, \end{align*}$
da $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ gilt.
Es ist $\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}4$.
Weitere Lösungen sind auf Grund der $\pi$-Periodizität gegeben durch
$x=\frac{\pi}4+k\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$.
Also existieren auf dem Intervall $I=[-\pi;\pi]$ die Lösungen $x_1=0$, $x_2=-\frac{3\pi}4$ und $x_3=\frac{\pi}4$.
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