Logarithmusgesetze – Übungen

Hi! In diesem Video üben wir ein paar Logarithmusaufgaben, ganz ohne Taschenrechner. Wir brauchen dafür einmal die drei Gesetze:   * aus Mal wird Plus * aus Geteilt wird Minus * und aus Hoch wird Mal   Außerdem müssen wir noch wissen, dass wenn Numerus und Basis übereinstimmen, also zum Beispiel bei Logarithmus von a zur Basis a, dann erhalten wir immer gleich 1. Und jetzt ist noch wichtig, dass der Logarithmus von 2 zur Basis 10 gleich 0,301 usw., also ungefähr 0,3 ergibt. Wir werden die Aufgaben jetzt nämlich so aufteilen, dass wir immer gleichen Numerus und gleiche Basis haben und zusätzlich noch den Logarithmus von 2 zur Basis 10. Ich zeige es euch gleich.   Kommen wir direkt zur ersten Aufgabe: Logarithmus von 200 zur Basis 10. Wir haben hier die Basis 10, also müssen wir das irgendwie auf 10 und am besten auch auf 2 aufteilen, wir wissen ja, Logarithmus von 2 zur Basis 10 ist ungefähr 0,3. Machen wir zuerst einmal 2×100 aus 200, denn jetzt können wir ein Logarithmusgesetz anwenden. Aus × innen, wird + außen. Im nächsten Schritt machen wir aus 100 10×10. Den Teil schreiben wir ab, und hier wird wieder aus × +. Also als Logarithmus von 10×10 zur Basis 10, wird Logarithmus von 10 zur Basis 10 + Logarithmus von 10 zur Basis 10. Genauso wie hier: aus Logarithmus von 2×100 zur Basis 10, wurde Logarithmus von 2 zur Basis 10 + Logarithmus von 100 - 10×10 - zur Basis 10. Dann bleibt jetzt nur noch ein Schritt: Logarithmus von 2 zur Basis 10 macht 0,3, das war einfach vorgegeben, das wissen wir jetzt. Und Logarithmus von 10 zur Basis 10 ist 1, denn Numerus und Basis stimmen überein. Das gleiche hier. Also lautet unsere Lösung 2,3. Ganz formal gehört hier noch ein Rundungszeichen hin, denn Logarithmus von 2 zur Basis 10 ist ja nur ungefähr 0,3.   Kommen wir zur nächsten Aufgabe: Logarithmus von 5 zur Basis 10. Wenn wir das lösen wollen und keinen Taschenrechner zur Hand haben, dann müssen wir dafür sorgen, dass der Numerus irgendetwas Bekanntes wird, also irgendetwas mit 10, denn dann wären Numerus und Basis identisch oder am Besten irgendetwas mit 2, denn das wissen wir ja, Logarithmus von 2 zur Basis 10 war ungefähr 0,3. Und aus der 5 können wir ja einfach 10/2 machen, und da wir jetzt ein / im Logarithmus haben, können wir daraus ein - außerhalb machen. Also Logarithmus von 10/2 zur Basis 10 = Logarithmus von 10 zur Basis 10 - (aus Geteilt wird Minus) Logarithmus von 2 zur Basis 10. Identisch, also 1-0,3. Macht also 0,7. Nicht vergessen, ist ja ein bisschen gerundet.   Kommen wir zur nächsten Aufgabe: Für die müssen wir jetzt schon ein bisschen kreativ werden. Logarithmus von 80 zur Basis 10. Zuallererst machen wir aus der 80 10×8. Hier haben wir ein ×, dann kommt wieder ein Logarithmusgesetz zum Einsatz. Das heißt, aus Logarithmus von 10×8 zur Basis 10 wird Logarithmus von 10 zur Basis 10 + Logarithmus von 8 zur Basis 10. Aus × innen wird + außen. Logarithmus von 10 zur Basis 10 ergibt 1, aber was machen wir aus Logarithmus von 8 zur Basis 10? Die 8 stört uns noch. Wir wissen, dass wenn Numerus und Basis übereinstimmen, wir daraus 1 machen können, so wie hier. Und wir wissen auch, was der Logarithmus von 2 zur Basis 10 ist. Also müssen wir irgendwie aus der 8 etwas mit einer 2 machen. Und 8 ist nichts anderes als 2³. 2³ ist ja 2×2×2. 2×2 ergibt 4, ×2 ergibt 8. Und auch hier können wir wieder ein Logarithmusgesetz anwenden. Aus Hoch innerhalb wird × außerhalb. Na, das sieht doch ganz gut aus! Wir wissen ja, dass Logarithmus von 2 zur Basis 10 ungefähr 0,3 ergibt, also 1+ 3×0,3 liefert uns das Ergebnis 1,9.   Kommen wir zur letzten Aufgabe für dieses Video: Logarithmus von 0,05 zur Basis 10. lg, dekadischer Logarithmus. Logarithmus zur Basis 10. Zuallererst wandeln wir 0,05 in einen Bruch um. Als Zähler haben wir 5 und als Nenner eine 1, mit zwei Nullen, also 100. Dann kommt auch schon wieder ein Logarithmusgesetz zum Einsatz: Aus Geteilt wird Minus! Logarithmus von 5 zur Basis 10 und Logarithmus von 100 zur Basis 10, haben wir schon gelöst. 5 wandeln wir in 10/2 um und 100 in 10². Jetzt wieder an die Logarithmusgesetze denken: Aus / wird - und aus Hoch wird ×. Dann hätten wir es auch schon fast. Wir haben den Logarithmus jetzt wieder so umgewandelt, dass wir einsetzen können. Logarithmus von 10 zur Basis 10 ergibt 1, Logarithmus von 2 zur Basis 10 war 0,3 und 2×Logarithmus von 10 zur Basis 10 ergibt 2, mit dem jeweiligen Rechenzeichen natürlich. Und unser Ergebnis lautet: -1,3, aber, da wo wir runden, dürfen wir das Rundungszeichen nicht vergessen!   Tja, das war's dann auch! Danke fürs Zusehen und bis zum nächsten Mal! Tschau!