Volumen – Einheiten und Beispiele

Volumen – Einheiten und Beispiele Übung

• Gib an, wie die Standardeinheit des Volumens definiert ist.

  Tipps

  Welches Objekt dient aufgrund seiner einfachen Form als Basis für die Standardeinheit des Volumens?

  Welche Kantenlänge hat dieses Objekt?

  Wie berechnet man das Volumen dieses Objektes? Und welche Einheit ergibt sich damit?

  Lösung

  Als Standardeinheit für das Volumen wurde der Kubikmeter eingeführt. Es wurde festgelegt, dass ein Würfel mit der Kantenlänge von einem Meter das Volumen von einem Kubikmeter besitzen soll.

  In der Grundeinheit taucht daher die Strecke von einem Meter auf. Da zur Bestimmung eines Volumens drei Dimensionen nötig sind (bei einem Würfel Länge, Breite und Höhe), erhält das Meter eine Drei als Potenz. Insgesamt werden drei Strecken (und damit auch dreimal die Einheit Meter) für das Standardvolumen multipliziert. Kurz geschrieben verwendet man in Rechnungen daher statt Kubikmeter die Schreibweise $1~m^3$.

  Ein Kubikmeter ist gemessen an unseren Alltagsgegenständen ein großes Volumen. Das ist auch verständlich, wenn du dir einen Würfel mit der Kantenlänge von einem Meter verdeutlichst. Noch klarer wird es , wenn du dir die Masse von einem Kubikmeter Wasser vor Augen führst. Die beträgt nämlich eine ganze Tonne! Dagegen ist das Volumen einer Flasche Cola wirklich klein und wird daher in der Regel in eine anschaulichere Volumeneinheit umgerechnet.

• Fasse dein Wissen über die Volumeneinheit Liter zusammen.

  Tipps

  Wann ist die Verwendung der Umrechnung in Liter für ein Volumen praktisch beziehungsweise üblich?

  Wie ist ein Liter an einem Würfel über die Kantenlänge definiert?

  Es gilt allgemein: $1~m=10~dm=100~cm$ beziehungsweise $0,1~m=1~dm=10~cm$.

  Wie viele Literwürfel passen in einen Würfel mit dem Volumen von einem Kubikmeter?

  Lösung

  Mittlere Volumen von Flüssigkeiten und Gasen wie bei der Colaflasche gibt man häufig in Litern an. Das ist übersichtlicher als die Verwendung des Kubikmeters.

  Ein Liter entspricht dem Volumen, das ein Würfel mit einer Kantenläge von 10 Zentimetern beziehungsweise einem Dezimeter besitzt. Darum kann man die Einheit Liter beispielsweise für feste Körper auch so schreiben: $1~l=1~dm^3$.

  Von solchen Literwürfeln passen sehr viele in einen Würfel von einem Meter Kantenlänge, also einem Kubikmeter Volumen, nämlich $10\cdot 10\cdot 10$ Stück, also insgesamt tausend Stück! Um einen Würfel von einem Kubikmeter zu füllen, bräuchtest du die Flüssigkeit von Tausend Literflaschen Cola.

• Vergleiche die genannten Volumina miteinander.

  Tipps

  Die Objekte lassen sich in Bezug auf ihr Volumen schwer vergleichen, da die Einheiten unterschiedlich sind.

  Rechne alle Volumina in eine Einheit um, z.B. in Liter.

  $1000~ml=1~l$

  $1~cm^3=1~ml$

  $1~dm^3=1~l$

  $1~m^3=1000~l$

  Lösung

  Um die Volumina vergleichen zu können, müssen sie in eine gemeinsame Einheit umgerechnet werden. Dies erfolgt hier am Beispiel der Umrechnung in Liter. Dafür gelten folgende Zusammenhänge:

  $1000~ml=1~l$

  $1~cm^3=1~ml$

  $1~dm^3=1~l$

  $1~m^3=1000~l$

  Mit Hilfe dieser Zusammenhänge werden die gegebenen Volumen in Liter umgerechnet (siehe rechts). Somit ergibt sich folgende Reihenfolge für das Volumen der einzelnen Körper:

  $150~ml$ (kleines Trinkglas) $\to~900~cm^3$ (dickes Buch) $\to~5,2~dm^3$ (Fußball) $\to~150~l$ (Aquarium)$\to~30~m^3$ (Wohnraum)

  In Klammern stehen jeweils Beispiele für das jeweilige Volumen.

• Berechne die Volumina der gezeigten Würfel.

  Tipps

  Verwende die im Video gezeigte Formel zur Berechnung des Volumens eines Würfels.

  Achte neben dem richtigen Zahlenwert auch auf die korrekte Einheit.

  Zur Bestimmung des Volumens müssen Länge, Breite und Höhe des Würfels miteinander multipliziert werden.

  Lösung

  Das Volumen eines Würfels kannst du mit der Formel

  Volumen = Länge x Breite x Höhe

  berechnen.

  Du musst also zum einen die Zahlenwerte von Breite, Länge und Höhe miteinander multiplizieren (zum Beispiel $2\cdot 2\cdot 2=8$) als auch die jeweilige Einheit (zum Beispiel $cm\cdot cm\cdot cm=cm^3$). Dann erhältst du das Volumen des jeweiligen Würfels.

  Da bei einem Würfel Länge, Breite und Höhe gleich lang sind, also die Seitenlänge $a$ beträgt, kannst du auch mit der folgenden kürzeren Formel zur Berechnung des Volumens $V$ arbeiten:

  $V=a^3$.

• Gib an, mit welcher Formel das Volumen eines Würfels berechnet werden kann.

  Tipps

  Addieren oder Subtrahieren kann Strecken verlängern oder verkürzen.

  Multiplizieren macht aus zwei Strecken eine Fläche, aus drei Strecken ein Volumen.

  Lösung

  Das Volumen erfasst die räumliche Ausdehnung eines Körpers, beschreibt ihn also in drei Dimensionen.

  Dafür müssen bei einem Würfel insgesamt drei geeignete Strecken (Länge, Breite und Höhe) miteinander durch Multiplikation verbunden werden.

  Volumen = Länge x Breite x Höhe

  Bei zwei Strecken würde man lediglich eine Fläche erhalten (zwei Dimensionen). Beim Addieren und Subtrahieren von Strecken bleibt man in einer Dimension, verlängert oder verkürzt somit lediglich Strecken.

  Wenn du dich gut mit den Einheiten des Volumens vertraut gemacht hast, kannst du dir die Formel auch dort ableiten: Um die Einheit $m^3$ für das Volumen zu erhalten, müssen drei Strecken durch Multiplikation, also $m\cdot m\cdot m$, miteinander verbunden werden.

• Berechne die Wassermenge im Pool.

  Tipps

  Berechne das Volumen des Wassers.

  Der Pool besitzt die Form eines Quaders.

  Welche Größen sind gegeben und welche Formel kannst du damit für die Berechnung verwenden?

  Achte bei der Berechnung darauf, dass alle Größen dieselbe Einheit besitzen.

  Lösung

  Der Pool besitzt die Form eines Quaders. Das Volumen des Wassers kann mit der Formel

  Volumen = Länge x Breite x Höhe

  berechnet werden.

  Einsetzen der Größen Länge $=6~m$; Breite $=2~m$; Höhe $=150~cm = 1,5~m$ (!) ergibt somit für das Volumen:

  $V=6~m\cdot 2~m\cdot 1,5~m=18~m^3$.