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Materiewellen 08:11 min

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Transkript Materiewellen

Hallo und herzlich willkommen. Ich gebe hier eine kurze Einführung in die Konzeption der Materiewellen, die durch Anwendung der Quantenhypothese und der speziellen Relativitätstheorie auf Elementarteilchen begründet wurde. Du solltest mit den Konzepten von Arbeit und Energie vertraut sein, die Grundaussagen der speziellen Relativitätstheorie verstehen, die Lichtquantenhypothese kennen und das Phänomen der Schwebung bei Interferenz von Wellen im Detail verstehen. Der Compton-Effekt hatte die Richtigkeit von Einsteins Lichtquantenhypothese belegt. Die Anwendung der Planckschen Beziehung zur Beschreibung der Portionierung der Strahlungsenergie verband mathematisch eindeutig zwei zuvor unvereinbare Aspekte der Wirklichkeit: eine diskrete Energiemenge und die Frequenz einer kontinuierlichen Welle. Aber nun konnte man wieder verstehen, warum die geometrische Optik lange Zeit erfolgreich war. Denn nun ließen sich die Lichtstrahlen als Wege von Photonen deuten. Der französische Physiker Louis de Broglie ging davon aus, dass ein systematischer Zusammenhang zwischen den Wellen und der angenommenen Photonenbahn existierte, nachdem die Wellenfronten senkrecht zu den Strahlen verliefen. Er nahm die spezielle Relativitätstheorie zur Hilfe, um die Relation von Teilcheneigenschaften und Wellenqualität tiefer zu verstehen. In der relativistischen Dynamik war die fundamentale Masse-Energie-Äquivalenz formuliert worden. Sie bedeutet, dass die Größe der dynamischen Masse der Energie des Objekts entspricht oder äquivalent ist. Für Bewegungen weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit war das nicht festzustellen und die Newtonsche Dynamik war dementsprechend beschränkt. Erst bei Bewegungen nahe der Lichtgeschwindigkeit ließ sich Beschleunigungsarbeit nicht mehr dadurch in kinetische Energie umsetzen, dass die Geschwindigkeit größer wurde. Weil die Lichtgeschwindigkeit Grenzgeschwindigkeit für Wirkungen ist und nicht überschritten wird. Stattdessen nimmt die dynamische Masse des beschleunigten Objekts in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit zu. Wenn die Veränderung des Energiezustandes aber die Masse des Objekts verändert, dann verändert die Energieänderung das Trägheitsverhalten des Objekts. Darum kann man nun von der Trägheit der Energie sprechen. De Broglie durchdachte die Konsequenzen des Umstandes, dass man wegen der allgemeinen Äquivalenz nicht nur jedem Objekt mit wägbarer Masse eine Energiegröße zuordnen konnte, sondern auch jeder charakteristischen Energie eines Objekts eine Masse. Also zum Beispiel auch den Photonen. Damit war aber eine eindeutige Korrespondenz zwischen einer Wellenfrequenz und einer diskreten Teilchenmasse hergestellt. Dass diese Überlegungen richtig waren, hatte sich gezeigt, als man 1919 die Voraussage der allgemeinen Relativitätstheorie experimentell bestätigen konnte, dass das Licht durch Gravitation abgelenkt wird. Louis de Broglie behauptete nun etwas, das auch den Formeln abzulesen, aber vollkommen unverständlich war. Jedem Objekt gehört nämlich nach ihm immer auch eine Frequenz zu. Das heißt, auch Elektronen, Protonen, ja ganze Atome hätten danach Welleneigenschaften. Er war sogar so kühn, die Beziehung zwischen Wellenlänge und Impuls, die man für Photonen ableiten konnte, einfach auf Teilchen zu übertragen. Man spricht darum heute von der sogenannten „De-Broglie-Wellenlänge“. Eine irritierende Konsequenz dieser Konzeption besteht darin, dass man, nach dem üblichen Verfahren der Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Welle, eine Geschwindigkeit über der Lichtgeschwindigkeit erhalten muss. Dieser Umstand erzwingt eine Interpretation, die schon damit nahegelegt ist, dass alle mikroskopischen Objekte als eine Art Energieklumpen mit Welleneigenschaften gedacht werden sollen. Erinnern wir uns an das Phänomen der Schwebung, das bei der Interferenz von Wellen verschiedener Frequenz auftreten kann. Nimmt man seine Modellierung zum Vorbild, kann die Fortbewegung der Mikroobjekte, als sich im Raum ausbreitende Schwebungen, und die hier berechnete Geschwindigkeit „u“, als die Phasengeschwindigkeit, innerhalb der resultierenden Amplitudenbäuche gedeutet werden. Ich will das noch einmal genauer wiederholen: Überlagern wir Wellen gleicher Frequenz und verschiedener Phasenlage, haben wir verschiedene Resultierende. Liegen beide Wellen gleichphasig, ergibt sich ein Maximum. Liegen die Phasendifferenzen zwischen 0 und 180 Grad, ergeben sich Resultatwerte, die kleiner als die Summe beider Amplituden sind. Betragen sie genau 180 Grad, löschen sich die beiden Wellen aus. Die Überlagerung von zwei Wellen mit verschiedenen Frequenzen lässt sich nun als der Vorgang verstehen, bei dem die Phasenlage der einen Welle sich kontinuierlich gegenüber der der anderen verschiebt. Die überlagerten Wellen bilden dann eine Resultante, bei der sich Zonen hoher und niedriger Amplituden kontinuierlich abwechseln. Es bilden sich dann erkennbar Gruppen von Wellenamplituden. Überlagern sich sehr viele Wellen, dann ist es immer möglich, dass deutlich voneinander getrennte Amplitudenbäuche entstehen. Hier haben wir ein plausibles Modell, in dem das Kontinuum einer Welle mit einer diskreten Begrenzung verbunden ist. Diese deutlich voneinander getrennten Gruppen nennen wir auch „Wellenpakete“. Übertragen wir also das Modell auf die Ausbreitung von Wellen im Raum: Die Interpolation über die Amplitudenwerte der Interferenzwelle ergibt selbst eine Welle, deren Wellenlänge und Frequenz sich berechnen lässt. Ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit ist ja die sogenannte Gruppengeschwindigkeit, wie aus den Standardmodellen von Schwingungen und Wellen bekannt ist. Da sie als die partielle Ableitung δω nach δκ berechnet wird, formulieren wir eine Funktion für die Winkelgeschwindigkeit ω in Abhängigkeit von der Wellenzahl. Nehmen wir ein Teilchen mit der Masse MT und der Geschwindigkeit VT an, haben wir Ausdrücke für seinen Impuls und seine Energie zur Verfügung. Und das sind ja die Größen, die wir quantenphysikalisch mit den Wellengrößen, Frequenz, Kreisfrequenz und Wellenlänge in Beziehung setzen können. Mit der Planckschen Beziehung können wir im Ausdruck für ω die Frequenz f ersetzen und mit der Formel zur Berechnung der De-Broglie-Wellenlänge den Impuls p. Dann können wir ω als Funktion von κ formulieren zu h mal κ2 durch 4π mal MT und können diesen Ausdruck nun nach κ ableiten, sodass wir für die Gruppengeschwindigkeit einen Ausdruck erhalten, der nach Rückersetzung von κ und λ genau der Geschwindigkeit unseres Teilchens entspricht. Ich fasse noch mal kurz zusammen, was ich hier vorgestellt habe. Louis de Broglie behauptete 1923, dass die Quantenhypothese des Lichts damit zu ergänzen sei, dass auch alle bekannten Teilchen zugleich Eigenschaften kontinuierlicher Wellen und diskreter Quanten hätten. Er formulierte eine Beziehung zur Berechnung einer Wellenlänge aus dem Impuls eines Teilchens. Seitdem werden Mikroteilchen als Resultanten der Überlagerung von Wellen verschiedener Frequenz modelliert. Gewissermaßen als sich durch den Raum bewegende Schwebungen. Denn unterstellt man eine hinreichend große Zahl von Wellen mit passend gemischten Frequenzen, erhält man ein isoliertes Wellenpaket, dessen Gruppengeschwindigkeit gerade der Teilchengeschwindigkeit gleich ist. Die Gruppengeschwindigkeit solcher Wellenpakete entspricht tatsächlich der Bahngeschwindigkeit des Teilchens im Raum. Nur die Phasengeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit der Interferenzwelle im Paket, scheint über der Lichtgeschwindigkeit zu liegen. Was es damit auf sich hat, kannst du aber im Video über die Elektronenbeugung am Doppelspalt erfahren. Viel Vergnügen beim Durchdenken. Und bis zum nächsten Video.

Materiewellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Materiewellen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib dein Wissen über Materiewellen wieder.

    Tipps

    Beim Fotoeffekt wird ein Elektron aus dem Valenzband gelöst, indem es ein Photon absorbiert.

    Lösung

    Im Bereich der Materiewellen haben wir De Broglie viel zu verdanken.

    De Broglies Erkenntnis, wie, dass die Masse frequenzabhängig ist, dass also jedes Teilchen eine Frequenz besitzt, wurde bestätigt durch den Beweis der allgemeinen Relativitätstheorie.

    Eine Neuerung war auch, dass die Masse eines Körpers nahe der Lichtgeschwindigkeit größer wird.

    Zudem erklärte er die geometrische Optik damit, dass die „Strahlen" senkrecht zu den Wellenfronten verlaufen.

  • Nenne die Neuigkeiten aus der Welt der Wellen und Teilchen.

    Tipps

    Bei der Compton-Streuung wurde mit Licht ein Elektron bewegt/angestoßen.

    Lösung

    Damals ging man davon aus, dass Licht eine Welle sei und sich auch nur wie eine solche verhält.

    Man konnte aber zeigen, dass Wellen (nicht nur Licht) auch Teilcheneigenschaften haben. Dies nennt man „Welle-Teilchen-Dualismus"

    Mit dem Beweis der Compton-Streuung galt dies ebenfalls als bewiesen, da bei der Compton-Streuung ein Teilchen, zum Beispiel ein Elektron, durch ein Photon angestoßen wurde. Dabei wurde ebenfalls wieder Licht frei.

    Licht konnte also ein Teilchen bewegen, und musste dadurch selbst ein Teilchen sein.

    Dass dies mit der geometrischen Optik vereinbar ist, erklärte De Broglie, indem er sagte: Die Strahlen, mit denen man in der geometrischen Optik arbeitete, verliefen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Wellenfronten.

  • Leite die Gruppengeschwindigkeit her.

    Tipps

    $x^{-1}$ bedeutet $\dfrac{1}{x}$.

    Lösung

    Wenn sich mehrere Schwingungen verschiedener Frequenzen überlagern, entstehen also Wellenpakete mit Gruppengeschwindigkeiten. Aber wie groß ist diese nun? Schließlich besteht sie aus vielen Frequenzen.

    Die Gruppengeschwindigkeit ist die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ nach der Wellenzahl $k$.

    Dabei ist :

    $\omega=2\pi\cdot f$

    $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$

    Haben wir also ein Teilchen mit Impuls

    $p=mv$

    und Energie

    $W=\dfrac{1}{2}\cdot mv^2$,

    können wir dieses mit der Energie für Wellen

    $W=\dfrac{p^2}{2m}$

    in Beziehung setzen.

    Mit der Planck'schen Beziehung

    $W=hf$

    und der De Broglie'schen Beziehung

    $P=\dfrac{1}{\lambda}\cdot h$

    kann nun für $\omega=2\pi f$ eingesetzt werden:

    $\omega=2\pi f=2\pi\dfrac{W}{h}=2\pi \dfrac{p²}{2hm}=\dfrac{2\pi}{2hm}\cdot\dfrac{h^2}{\lambda^2}$.

    Da wir nun wissen, wie $k$ aussieht, schreiben wir:

    $\omega=\dfrac{hk^2}{4\pi m}$.

    Das lässt sich nun nach $k$ ableiten. $k$ wieder einsetzen und kürzen ergibt.

    $v=\dfrac{\partial\omega}{\partial k}=2k \dfrac{h}{4\pi m}=2\cdot 2\pi\dfrac{h}{\lambda 4\pi m}$,

    also $v=\dfrac{p}{m}$.

    Diese Gruppengeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit für Teilchen. Die Geschwindigkeit der Wellenpakete ist also gleich der des Teilchens.

  • Beschreibe die dynamische Masse und die Trägheit.

    Tipps

    Bei einer Gleichung ähnlich $m\cdot v= z$ , wobei $v$ maximal ist, kann $z$ nur größer werden, wenn $m$ stattdessen wächst.

    Lösung

    Mit der dynamischen Masse wurde das Verständnis von Masse verändert.

    Masse war nicht länger eine Konstante, sondern eine Größe die sich bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit veränderte.

    Die Energiegleichung für die relativistische Energie

    $W=mc^2$

    zeigt, dass die Energie bei Lichtgeschwindigkeit nur noch von der Masse abhängig ist, bzw. andersherum steigende Energie eine steigende Masse zur Folge hat.

    Die Masse wird also auch geschwindigkeitsabhängig.

    Eine veränderte Masse sorgt dann auch für eine veränderte Trägheit, da Trägheit eben von der Masse abhängig ist.

  • Beschreibe De Broglies Erkenntnisse.

    Tipps

    Überlege, ob bei den Gleichungen gekürzt werden könnte, und ob sie dann noch stimmen.

    Welche neue Eigenschaft wurde Teilchen zugeordnet?

    Lösung

    De Broglie hat viele Entdeckungen gemacht, die zum Teil erst mit dem Beweis der allgemeinen Relativitätstheorie bewiesen wurden.

    Er fand heraus, dass die Energie eines Teilchens gleich der einer Welle ist

    $mc^2=hf$,

    und die Masse damit frequenzabhängig ist

    $m=\dfrac{hf}{c^2}$.

    Der entscheidende Beweis dafür wurde im Zuge der Relativitätstheorie geliefert, bei der nachgewiesen wurde, dass Licht durch Gravitation abgelenkt werden kann.

    Die Wellenlänge die De-Broglie-Teilchen zuordnete, nennt man De-Broglie-Wellenlänge $\lambda=\dfrac{h}{p}$, wobei $p$ der Impuls eines Photons $mc$ ist.

  • Beschreibe, was Wellenpakete sind und was eine Phasenverschiebung bewirkt.

    Tipps

    Überlege, wie die Y-Werte eines Wellendiagramms aussehen, wenn man 2 gleiche Wellen auf der X-Achse zueinander verschiebt. Daran kann man dann sehen, wie sie sich beeinflussen, wenn sie sich überlagern.

    Überlege, was wechselnde Phasenverschiebung mit der Amplitude macht.

    Lösung

    Überlagert man 2 oder mehr Wellen, so muss man aufpassen, mit welcher Phasenverschiebung dies geschieht.

    Sollen sich 2 Wellen gleicher Frequenz und Amplitude verstärken (addieren), müssen sie gleichphasig sein, d.h., Wellenberg muss auf Wellenberg stehen.

    Eine Auslöschung beider Wellen entsteht, wenn ihre Phasenverschiebung zueinander 180° beträgt, also Wellenberg auf Wellental steht.

    Liegt die Phasenverschiebung dazwischen, ist die resultierende Amplitude ebenfalls zwischen der Summe beider Amplituden und 0.

    Sind die Frequenzen unterschiedlich, wechselt die Phasenverschiebung ständig, da die Phasengeschwindigkeit der einen Welle größer ist als die der anderen (bei höheren Frequenzen sind die Wellenberge näher beieinander).

    Ist dies der Fall, so entstehen Gruppen von Amplituden größer 0 und Gruppen mit Amplitude=0, welche sich abwechseln.

    Die Gruppen mit Amplitude =0 gelten eher als Trennelemente zwischen den anderen Gruppen. Diese Gruppen, mit erst steigender, dann sinkender Amplitude, nennt man Wellenpakete.