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Unbestimmtheitsrelation

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Kalo
Unbestimmtheitsrelation
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Unbestimmtheitsrelation Übung

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  • Gib die Probleme an, die sich aus dem „Welle-Teilchen-Dualismus“ in der Physik der Mikroobjekte ergeben.

    Tipps

    Die Untersuchung von Mikroobjekten zeigte, dass sie sich auf zwei üblicherweise nicht vereinbare Arten verhalten können.

    Lösung

    Einstein konnte 1905 den äußeren Photoeffekt damit erklären, dass er Licht-Teilchen einführte (Photonen). Zugleich zeigt Licht eindeutig Wellencharakter.

    De Broglie behauptete 1924 und Davisson/Germer zeigten 1927 experimentell, dass Elementarteilchen (wie Elektronen) Welleneigenschaften besitzen. Zugleich verhalten sie sich immer wieder wie kompakte Teilchen.

    Diese Einheit klassisch unvereinbarer Aspekte wird oft „Welle-Teilchen-Dualismus" genannt.

  • Benenne das Problem, das zur Einführung der Konzeption führt.

    Tipps

    Wellen sind als in Raum und Zeit sich unendlich ausbreitende Schwingungen modellierbar, Teilchen nur als zusammenhängende Materie begrenzter Abmessungen.

    Lösung

    Wenn Objekte Welleneigenschaften haben, müssen sie als in Raum und Zeit ausgebreitete Schwingungen dargestellt werden. Wenn Objekte Teilcheneigenschaften haben, müssen sie als geometrisch begrenzte Körper modelliert werden können. Man braucht etwas wie eine in Raum und Zeit begrenzte Schwingung als Modell.

  • Erkläre das Modell, mit dem Wellencharakter und Lokalisierbarkeit zugleich beschrieben werden können.

    Tipps

    Überlagert man Wellen verschiedener Frequenz, ergeben sich manchmal resultierende Wellen mit schwankender Amplitude, die sich zu sog. Schwingungsbäuchen formen.

    Lösung

    Bei der Überlagerung von Wellen verschiedener Frequenzen aus einem endlich großen Frequenzband ergeben sich Überlagerungsfiguren mit deutlich abgesetzten Wellengruppen. Überlagert man alle Wellen aus dem Kontinuum eines begrenzten Frequenzbandes, bildet sich eine einzelne solche Wellengruppe in Raum und Zeit aus (auch „Wellenknoten" oder „Wellenpaket" genannt).

  • Leite die Heisenberg'sche Relation aus dem Modell ab.

    Tipps

    Du musst die Frequenz-Wellenlängen-Beziehung für Wellen und die de-Broglie-Beziehung für Materiewellen für Unschärfe-Bedingungen formulieren, in die Formel der akustischen Umschärfe einsetzen und das Resultat mit der Geschwindigkeits-Zeit-Beziehung vereinfachen.

    Lösung

    Mit der Ableitung wird sichtbar, wie aus zwei klassisch erklärbaren Voraussetzungen unter Annahme der de-Broglie-Beziehung die nicht-klassische Konsequenz folgt. Man geht am besten folgendermaßen vor:

    1. Man notiert die Formel für die akustische Unschärfe $\Delta{f} \cdot \Delta{t} = \frac{1}{2}$ (1).
    2. Man ergänzt die Frequenz-Wellenlängen-Beziehung $f = \frac{v}{\lambda}$ (2a) und die de-Broglie-Beziehung für Materiewellen $p = \frac{h}{\lambda}$ (2b).
    3. Man formuliert (2) für die Unschärfe-Bedingung um und erhält $\Delta{f} = \frac{v}{\Delta\lambda}$ (3a) bzw. $\Delta{p} = \frac{h}{\Delta\lambda}$ (3b).
    4. Man setzt (3a) in (1) ein und erhält $\frac{v}{\Delta\lambda} \cdot \Delta{t} = \frac{1}{2}$ (4), das
    5. man zweckmäßig auf beiden Seiten mit $h$ multipliziert: $\frac{h \cdot v}{\Delta\lambda} \cdot \Delta{t} = \frac{1}{2} \cdot h$ (5), denn das kann man leicht
    6. mithilfe von (3b) umformen in $\Delta{p} \cdot v \cdot \Delta{t} = \frac{1}{2} \cdot h$ (6), was dann
    7. mit der Geschwindigkeit-Zeit-Beziehung zu $\Delta{p} \cdot \Delta{x} = \frac{h}{2}$ wird.
    Rekapituliert man diesen Gang, sieht man, dass das intuitiv nicht fassbare Resultat wesentlich von der einen nicht-klassischen Voraussetzung bestimmt ist: der de-Broglie-Beziehung $p=\frac{h}{\lambda}$.

  • Nenne die Formel der Unschärfe- oder Unbestimmtheits-Relation.

    Tipps

    Unschärfe heißt, die Messwerte bestimmter Größen können nicht punktgenau bestimmt werden, sondern nur annähernd. Man muss mit Werten aus einem gewissen Bereich rechnen.

    Lösung

    Unschärfe heißt hier, dass man die Messwerte nicht präzise vorausberechnen kann. Man kann nur gewisse mögliche Intervalle angeben.

    Heisenbergs Konzept besagt, dass das Produkt der Intervalle für je zwei sog. komplementäre Größen (Ort und Impuls, Energie und Zeit) nicht kleiner als eine bestimmte untere Grenze werden kann.

  • Begründe die genauere Bestimmung der Unschärfegrenze.

    Tipps

    Empirisch plausibel ist die Annahme, dass sich die Einhüllende der Wellengruppe am besten mit der Gaußschen Normalverteilung beschreiben lässt. Es ist eine in der Natur häufig auftretende Wahrscheinlichkeitsverteilung.

    Lösung

    Setzen wir als Form der Hüllkurve der Wellengruppe, mit der unser Wellen-Teilchen-Objekt modelliert wird, die Gauß'sche Normalverteilung über einem mittleren Ort $x=0$ und mit einer Standardabweichung von $\sigma=\frac{1}{\sqrt{2}}$ an, also etwa $f(x)=e^{-x^{2}}$, erhalten wir aus der Lösung der Schrödingergleichung:

    $\Delta{\omega}\cdot\Delta{t}=\frac{h}{2}$ oder $\Delta{f}\cdot\Delta{t}=\frac{\hbar}{2}$,

    woraus $\Delta{p}\cdot\Delta{x}=\frac{\hbar}{2}$ folgt.

    Dass sich die Verteilung von messbaren Größen in der Natur oft einer Gauß'schen Normalverteilung fügt, ist eine empirisch bestätigte Beobachtung.

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