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Gesetz von Boyle-Mariotte 05:15 min

Textversion des Videos

Transkript Gesetz von Boyle-Mariotte

Hallo und herzlich willkommen. Heute beschäftigen wir uns mit dem Gesetz von Boyle-Mariotte. Nachdem wir kurz die Definition des Drucks wiederholen, wird es in diesem Video darum gehen, was mit dem Druck eines idealen Gases passiert, wenn man das Volumen ändert und die Temperatur konstant hält. Außerdem werden die Zusammenhänge mit dem Modell des idealen Gases auf mikroskopischer Ebene erklärt. Dass Volumen und Druck irgendwie zusammenhängen kann man leicht beobachten, wenn man eine große Spritze vorne zuhält und dann versucht den hinteren Teil ganz rein zu drücken. Das Volumen kann man an der Spritze ablesen. Umso höher der Druck in der Spritze ist, umso stärker musst du drücken. Man merkt, dass das Drücken immer schwerer wird, je weiter man nach vorne kommt. Das heißt der Druck nimmt zu, wenn das Volumen abnimmt. In seiner physikalischen Definition ist Druck gleich Kraft durch Fläche. Um das etwas genauer zu verstehen, schauen wir uns mal ein Gas an, das in einer Box eingeschlossen ist. Die Teilchen aus denen das Gas besteht bewegen sich. Sie stoßen untereinander und mit der Wand. Durch die Stöße mit der Wand wird eine Kraft auf diese übertragen. Die Summe der Kräfte, die durch die Stöße übertragen wird, geteilt durch die Fläche auf der die Stöße stattfinden, ergibt dann den Druck in der Box. Wird das Volumen nun verkleinert, stößt die sich bewegende Wand die Teilchen an. Sie werden schneller. Das heißt, die Temperatur steigt. Nach kurzer Zeit befindet sich das Gas allerdings wieder im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung. Das heißt, die Teilchen bewegen sich jetzt genauso schnell wie vor der Volumenverkleinerung. Da sie jetzt aber weniger Platz haben als vorher, stoßen sie öfters mit der Wand, wobei pro Stoß die gleiche Kraft übertragen wird wie vorher. Das heißt, die Kraft steigt während zusätzlich noch die Fläche abnimmt. Daraus folgt, dass der Druck steigt. Um das Ganze mathematisch beschreiben zu können, müssen wir einen Versuch durchführen und Messwerte aufnehmen. Dazu nehmen wir folgenden Versuchsaufbau: Wir haben einen Zylinder gefüllt mit einer gewissen Menge eines verdünnten Gases. Warum das Gas verdünnt sein muss sehen wir später. Das Volumen des Gases kann man ähnlich wie in einer Spritze verkleinern und das Volumen des eingeschlossenen Gases an einer Skala ablesen. Außerdem messen wir mit einem Barometer den Druck des Gases. Jetzt verkleinern wir das Volumen des Gases, indem wir mechanisch gegen den Kolben drücken. Die Bewegung sollte dabei möglichst langsam ablaufen, sodass sich das Gas an seine Umgebung anpassen kann und im thermischen Gleichgewicht ist. So erreicht man, dass die Temperatur konstant bleibt. Um den mathematischen Zusammenhang zu ermitteln, werden die Messwerte in ein VP-Diagramm eingetragen. Das Volumen wird dabei in Kubikzentimetern, der Druck in bar angegeben. Trägt man die Messwerte ein, so sieht man, dass der Druck umgekehrt proportional zum Volumen ist. Man kann auch sagen P mal V ist konstant. Außerdem gilt, dass der Quotient der Drücke eines Gases bei gleicher Temperatur gleich dem Quotienten der Volumina bei eben diesem Drücken ist. Dabei ist darauf zu achten, dass P1 / P2 = V2 / V1 ist, da der Zusammenhang umgekehrt proportional ist. Diese Zusammenhänge sind unter dem Namen „Gesetz von Boyle-Mariotte“ bekannt. Gefunden wurde es von Edme Mariotte und Robert Boyle. Die beiden kannten sich nicht, sie fanden das Gesetz unabhängig voneinander. Dabei hatte der Engländer Boyle die Nase leicht vorne. Er entdeckte den Zusammenhang so um 1662. Mariotte, der Franzose war, erst vier Jahre später. Bei diesen Formeln ist zu beachten, dass sie nur für ideale Gase gelten. Ein ideales Gas ist ein Gas, dessen Teilchen untereinander und mit der Wand nur über elastische Stöße wechselwirken und in dem das Eigenvolumen der Teilchen vernachlässigt wird. Das ist auch der Grund, warum im Versuch verdünnte Gase verwendet werden, da dann das Eigenvolumen der Teilchen und ihrer Wechselwirkungen untereinander nicht so sehr ins Gewicht fallen. Damit sind die Voraussetzungen für die Gültigkeit des Modells des idealen Gases näherungsweise erfüllt und die daraus abgeleiteten Vorhersagen stimmen mit dem Experiment überein. So, was haben wir Heute gelernt? Wenn ein Gas bei konstanter Temperatur gehalten wird, so sind Volumen und Druck umgekehrt proportional. Dabei gilt das Gesetz von Boyle-Mariotte. P mal V = konstant und P1 / P2 = V2 / V1 für konstante Temperatur. Das Gesetz gilt aber nur, wenn man den Versuch in einem näherungsweise idealen Gas durchführt. So, das war's auch schon zum Gesetz von Boyle-Mariotte. Ich hoffe, ihr habt etwas gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

1 Kommentar
  1. Sehr schönes Video! Das ideale Gas ist also eine "Light Version", d.h. es ist verdünnt. Somit besitzt es kaum noch Eigenvolumen.

    Von Green Spirit, vor etwa 6 Jahren

Gesetz von Boyle-Mariotte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gesetz von Boyle-Mariotte kannst du es wiederholen und üben.

  • Fasse die Aussagen des Gesetzes von Boyle-Mariotte mathematisch zusammen.

    Tipps

    In welchem mathematischen Zusammenhang stehen die Größen Druck und Volumen?

    Wie kann man diesen Zusammenhang in Formeln darstellen?

    Sind Druck und Volumen proportional oder umgekehrt proportional zueinander: Steigt der Druck mit zunehmendem Volumen oder nimmt er ab?

    Ist demnach das Produkt aus Druck und Volumen konstant oder deren Quotient?

    Wie verhalten sich die Drucke eines Gases bei unterschiedlichen Volumina? Ist der Druck des Gases bei kleinerem Volumen größer oder kleiner?

    Lösung

    Druck und Volumen eines idealen Gases verhalten sich umgekehrt proportional zueinander: $p \sim \frac 1V$.

    Das bedeutet, dass mit steigendem Volumen der Druck eines Gases abnimmt. Je mehr Platz die Teilchen haben, desto seltener übertragen sie Kräfte auf die begrenzenden Wände: Der Druck ist geringer. Umgekehrt nimmt der Druck zu, wenn sich das Volumen eines Gases verringert. Die Teilchen stoßen häufiger an die Wände und übertragen mehr Kraft auf eine kleinere Fläche.

    Je höher die eine Größe, desto geringer ist die andere Größe. Daher ist das Produkt aus Druck und Volumen konstant: $p \cdot V=\text {const.}$. In einem geringeren Volumen herrscht daher auch der höhere Druck und umgekehrt: $\frac {p_1} {p_2}=\frac {V_2} {V_1}$.

  • Gib die wesentlichen Eigenschaften eines idealen Gases wieder.

    Tipps

    Wechselwirkungen zwischen den Teilchen untereinander und mit den begrenzenden Wänden finden im idealen Gas nicht statt.

    Bei unelastischen Stößen wird Energie in innere Energie, zum Beispiel Wärme, umgewandelt. Bei elastischen Stößen nicht.

    Lösung

    Experimentell kann man ein ideales Gas natürlich nur näherungsweise herstellen. Das ideale Gas ist ein theoretisches Konstrukt, mit dessen Hilfe man Vorhersagen über das Druckverhalten bei Volumenänderung treffen kann.

    Diese theoretischen Vorhersagen können experimentell überprüft werden. Durch das Verwenden eines verdünnten Gases können dabei die idealen Bedingungen fast vollständig nachgebildet werden. So decken sich die experimentellen Ergebnisse zum Gesetz von Boyle-Mariotte in guter Näherung mit den theoretischen Vorhersagen.

  • Erschließe dir den Druck, der am Ende des Gedankenexperiments in dem idealen Gas herrscht.

    Tipps

    In jedem Schritt ändern sich Volumen und Druck des Gases.

    Die Volumen- oder Druckänderung in jedem Schritt bezieht sich immer auf die aktuell herrschenden Verhältnisse, nicht auf die ursprünglichen Werte zu Beginn des Experimentes.

    Lösung

    Auf die Volumen- und Druckveränderungen in dem idealen Gas kann das Gesetz von Boyle-Mariotte angewendet werden. So findet eine Verdopplung des Druckes des idealen Gases im ersten Schritt bei halbiertem Volumen statt.

    Bezeichnet man das ursprüngliche Volumen als $V_{Anfang}$ und den ursprünglichen Druck analog als $p_{Anfang}$, so kann man die Schritte wie folgt beschreiben:

    1.Schritt: $2p_{Anfang},~\frac 12 V_{Anfang}$

    2.Schritt: $12p_{Anfang},~\frac {1} {12} V_{Anfang}$

    3.Schritt: $4p_{Anfang},~\frac {1} {4} V_{Anfang}$

    4.Schritt: $2p_{Anfang},~\frac {1} {2} V_{Anfang}$

    So zeigt sich, dass der ursprüngliche Druck des Gases nach dem letzten Schritt verdoppelt wurde.

    Experimentell kann man ein ideales Gas nur näherungsweise herstellen. Das ideale Gas ist ein theoretisches Konstrukt, mit dessen Hilfe man Vorhersagen über das Druckverhalten bei Volumenänderung treffen kann.

    Diese theoretischen Vorhersagen können experimentell überprüft werden. Durch das Verwenden eines verdünnten Gases können dabei die idealen Bedingungen fast vollständig nachgebildet werden. So decken sich die experimentellen Ergebnisse zum Gesetz von Boyle-Mariotte in guter Näherung mit den theoretischen Vorhersagen.

  • Benenne die Bedingungen, unter denen das Gesetz von Boyle-Mariotte gültig ist.

    Tipps

    Wie kann sichergestellt werden, dass die Teilchen untereinander und mit den Wänden nur elastische Stöße ausführen?

    Soll das Verhalten von zwei Größen zueinander beschrieben werden, müssen weitere Zustandsgrößen des Gases konstant gehalten werden.

    Lösung

    Das Gesetz von Boyle-Mariotte gilt nur für ideale Gase. In solchen Gasen sollen volumenlose Teilchen nur elastische Stöße untereinander und mit den Wänden ausführen. Das bedeutet, dass beispielsweise keine Energie in Wärme umgewandelt wird. Dies wird experimentell durch ein Verdünnen des Gases näherungsweise ermöglicht. Die Art und Zusammensetzung der Teilchen kann aber unterschiedlich sein. So gilt das Gesetz auch für Gasgemische wie Luft.

    Soll der Zusammenhang zwischen den zwei physikalischen Größen Druck und Volumen eines Gases untersucht werden, so müssen andere Zustandsgrößen konstant gehalten werden. In diesem Fall ist das die Temperatur. Daher werden Veränderungen beim Gasvolumen experimentell möglichst langsam durchgeführt. Eine zu schnelle Volumenänderung würde zu unelastischen Stößen führen. Es würde kein ideales Gas mehr vorliegen.

  • Vergleiche die Drücke, die nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte in dem Neongas herrschen.

    Tipps

    Wie verhält sich der Druck, wenn das Volumen des Neongases halbiert, gefünftelt, gezehntelt wird?

    Zwischen welchen Volumen- und somit Druckwerten liegt das Volumen von $100~cm^3$?

    Lösung

    Für den beschriebenen Versuch kann zur Vorhersage das Gesetz von Boyle-Mariotte herangezogen werden. Das Neongas ist verdünnt und wird langsam zusammengedrückt, behält also eine konstante Temperatur. Damit verhält es sich (fast) wie ein ideales Gas.

    Halbiert man das Volumen des Neongases, so verdoppelt sich der Druck. Beträgt das Volumen nur noch ein Fünftel der ursprünglichen Größe, so verfünffacht sich der ursprüngliche Druck. Bei einem Volumen von einem Zehntel ist demnach der Druck zehnmal so hoch wie zu Beginn.

    Beträgt das Volumen nur noch zwei Fünftel des ursprünglichen Volumens, so steigt der Anfangsdruck um den Faktor fünf Halbe. Damit liegt er etwas höher als der Druck bei halbiertem Volumen.

  • Ermittle den Druck, der am Ende des beschriebenen Versuchs in der Spritze herrscht.

    Tipps

    Welche Größen sind gegeben, welche Größe ist gesucht?

    Welcher Zusammenhang aus dem Gesetz von Boyle-Mariotte setzt zwei verschiedenen Volumina (hier $V_{Anfang},~V_{Ende}$) zu den jeweilig herrschenden Drücken (hier $p_{Anfang},~p_{Ende}$) ins Verhältnis?

    Stelle nach der gesuchten Größe um und setze ein.

    Lösung

    Zum Anfang des Versuchs herrscht in der Spritze der Luftdruck, der auch außen vorliegt: $p_{Anfang}=1~\text{bar}$.

    Das Volumen in der Spritze verkleinert sich dann während des Versuchs von $V_{Anfang}=10~\text{mL}$ auf $p_{Ende}=4~\text{mL}$.

    Dann gilt für die gesuchte Größe $p_{Ende}$ wegen $\frac {p_{Anfang}} {p_{Ende}}=\frac {V_{Ende}} {V_{Anfang}}$:

    $p_{Ende}=\frac {p_{Anfang} \cdot V_{Anfang}} {V_{Ende}}=\frac {1~\text{bar} \cdot 10~\text{mL}} {4~\text{mL}}=2,5~\text{bar}.$

    Auf wie viel bar kannst du denn die Luft in einer Spritze (ohne Spitze!) mit deiner Hand zusammendrücken?