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Temperaturausgleich (Übungsvideo)

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Physik Siggi
Temperaturausgleich (Übungsvideo)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Temperaturausgleich (Übungsvideo)

In diesem Video wird eine wichtige Aufgabe zum Thema Temperaturausgleich besprochen, d.h. welche Temperatur stellt sich ein, wenn man zwei Flüssigkeiten mischt. Dazu wird am Anfang ein wenig Theorie erklärt. Wovon hängt die Mischtemperatur ab? Ist die Mischtemperatur immer der Mittelwert der beiden Flüssigkeitstemperaturen vor dem Mischvorgang? Und was ist eigentlich die Wärmekapazität? Natürlich werden auch alle Formeln zur Berechnung solcher Aufgaben vorgestellt. Zum Schluss wird dann eine kleine Aufgabe vorgerechnet.

Transkript Temperaturausgleich (Übungsvideo)

Hallo, ich bin euer Physik-Siggi. Heute werdet ihr eine Aufgabe zum Thema Temperaturausgleich rechnen. Dafür werdet ihr kurz verstehen, was beim Temperaturausgleich eigentlich passiert. Wir werden dafür Begriffe der Wärme und der spezifischen Wärmekapazität verstehen. Zunächst müssen wir uns klar machen, dass ein heißer Körper an einen kalten Körper so lange Energie abgibt, bis beide Körper gleichwarm sind. Diese abgegebene Energie ist die Wärme. Mische ich nun zwei Flüssigkeiten, so gibt die erste Flüssigkeit, die wärmere, an die kältere Flüssigkeit, Wärmeenergie ab und wird dadurch kälter. Die kältere Flüssigkeit nimmt jedoch genau diese Wärmenergie auf, um ihrerseits wärmer zu werden. Im Endeffekt treffen sich beide Flüssigkeiten bei einer Mischtemperatur. Diese Temperatur muss jedoch nicht genau in der Mitte zwischen den beiden Anfangstemperaturen der Flüssigkeiten sein. Wenn ihr zum Beispiel in einen kalten See springt, dann hat der Körper, also ihr, etwa 37 °C. Der See dagegen hat nur 15 °C. Wenn ihr lange genug drinbleibt, dann kühlt ihr ab. Ihr werdet all eure Energie aufbringen, um warm zu bleiben. Aber irgendwann ist auch das letzte Gramm Fett verdaut und ihr könnt euren Körper nicht länger erwärmen. Dann schlägt der See zu und ihr kühlt ab. Der See jedoch behält seine 15 °C bei. Gut, seine Temperatur steigt vielleicht ein kleines bisschen, weil ihr für ihn genau wie ein Tauchsieder wart. Aber er wird sicher nicht auf lauschige 22 °C erwärmt werden, was genau die Temperatur zwischen euch und dem See gewesen wäre. Die Mischtemperatur ist also nicht genau die Temperatur zwischen den zwei Körpern. Warum? Weil die Masse ausschlaggebend ist. Der See hat viel mehr Masse als ihr. Also kann er auch viel mehr Wärme aufnehmen. Die Mischtemperatur bestimmt aber noch eine weitere Größe, die Wärmekapazität. Sie gibt an, wie viel Wärme ein bestimmter Stoff braucht, um 1g von ihm, um genau 1 K zu erwärmen. Eisen benötigt dafür zum Beispiel 0,45 J. Wasser dagegen ganze 4,2 J um 1 g, um genau 1 K zu erwärmen. Diese Kapazitäten könnt ihr für alle Stoffe in den Büchern finden. Es gibt eine Formel für die Wärme, die ein Stoff benötigt, damit man ihn um Delta T erwärmen kann. Die benötigte Wärme = der Masse des Stoffes × seiner Wärmekapazität × dem Temperaturunterschied (Q=m×c×Delta T). Diese Formel gilt, egal ob ein Körper sich erwärmt, also Wärme aufnimmt, oder ob er sich abkühlt, also Wärme abgibt. Hierzu nun eine ganz allgemeine Aufgabe. Man mischt Flüssigkeit 1 mit der Masse m1 und der Wärmekapazität c1 und der Temperatur T1 mit einer anderen Flüssigkeit mit den Eigenschaften m2, c2 und T2. Wie groß ist die Mischtemperatur Tm, die sich einstellt? Der wichtigste Gedanke bei dieser Aufgabe ist, dass die wärmere Flüssigkeit genau die Wärmeenergie abgibt, die die Kältere aufnimmt. Das heißt, dass sie genau gleich sind. Alles, was die warme Flüssigkeit abgibt, nimmt die kalte auf. Jetzt müssen wir nur noch die Formeln für die abgegebene und für die aufgenommene Wärme aufschreiben. Sagen wir, die 1.Flüssigkeit ist wärmer als die 2., dann gilt T1 > T2 und die Mischtemperatur liegt irgendwo dazwischen. Die Wärme, die die wärmere Flüssigkeit abgibt, ist demnach Qabg = m1×c1×Delta T1. Dieser ist genau die Anfangstemperatur - die gesuchte Mischtemperatur (= m1×c1×(T1-Tm)). Die Wärme, die die kältere Flüssigkeit aufnimmt Qauf=m2×c2×Delta T, dieser ist genau die Mischtemperatur - die kalte Temperatur T2 (=m2×c2×(T1-T2)). Nun wissen wir, dass die abgegebene Wärme gleich der aufgenommenen Wärme ist. Demnach können wir beide gleichsetzen. Schaut euch an, wie ich diese Gleichung nun langsam umstelle. Zunächst rechnen wir alle Klammern aus. Dann bringen wir die Summanden mit Tm auf eine Seite. Danach können wir Tm ausklammern. Wenn wir dann noch durch m2×c2+m1×c1 teilen, dann erhalten wir die gesuchte Mischtemperatur. Ihr könnt sie anhand dieser Formel ausrechnen: Tm=m1c1T1+m2c2T2/m2c2+m1c1. Nun könnt ihr für alle Flüssigkeiten mit beliebigen Massen und beliebigen Anfangstemperaturen die Mischtemperatur ausrechnen. Ihr müsst nur die Wärmekapazitäten der Flüssigkeiten nachschlagen. Zwei Spezialfälle zeige ich euch. Mischt ihr zum Beispiel Wasser mit Wasser, so ist c1=c2 und ihr könnt die Wärmekapazität ausklammern und danach heraus kürzen. Das vereinfacht die Formel. Der 2. Fall, wenn ihr Wasser mit Wasser mischt und auch die Mengen des Wassers gleich sind, dann könnt ihr auch noch die Massen ausklammern und genauso heraus kürzen, da m1=m2 ist. Nun habt ihr als Mischtemperatur tatsächlich die Mitte der Ausgangstemperaturen, nämlich Tm=T1+T2/2. Ihr seht, Mischaufgaben sind ganz leicht. Entscheidend war nur zu verstehen, dass die Wärme, die der warme Körper abgibt, genau die gleiche ist, die der kalte Körper aufnimmt. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Danke hat mir echt geholfen👍

    Von Nr0 1, vor fast 2 Jahren
  2. Hallo das Video ist super, danke!

    Von N Amrhein, vor etwa 5 Jahren
  3. Es wäre hilfreich wenn bei der Übung nochmal der Lösungsweg der Aufgabe erklärt wird.

    Von Annelen, vor fast 6 Jahren
  4. Etwas zu kompliziert für Mich....

    Von Sebastian Stutz, vor mehr als 6 Jahren
  5. Sehr kompliziert. Jetzt bräuchte man ein paar Beispiele, die das Ganze praktisch erklären. Zu schnell erklärt, wie in der Schule....

    Von Deleted User 42928, vor fast 7 Jahren
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Temperaturausgleich (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Temperaturausgleich (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie sich die Mischtemperatur ergibt.

    Tipps

    Wenn du ein Wärmekissen in deinen Händen hältst, welcher Körper wird dann wärmer und welcher kälter?

    Wärme fließt immer vom wärmeren zum kälteren Körper.

    Wenn du in einen kalten See springst, dann erwärmt sich der See ein bisschen und du kühlst ab. Aber liegt die Mischtemperatur genau in der Mitte zwischen deiner Temperatur und der des Sees?

    Lösung

    Es gilt beim Wärmeaustausch ein grundlegendes Gesetz:
    Wärme fließt immer vom wärmeren zum kälteren Körper

    Es nimmt also der kältere Körper immer die Wärme auf, die der wärmere Körper abgibt. Dabei erwärmt er sich.
    Der wärmere Körper kühlt dementsprechend ab.

    Die Mischtemperatur muss deswegen immer zwischen den beiden Anfangstemperaturen liegen. Ansonsten würde das Gesetz gebrochen werden und der wärmere Körper müsste sich zum Beispiel noch weiter erwärmen.
    Das wirst du aber niemals beobachten können.

    Auch muss die Temperatur nicht immer in der Mitte der Anfangstemperaturen liegen.
    Stell dir vor, du springst in einen großen, kalten See. Es passiert Folgendes:

    • Der See erwärmt sich etwas.
    • Du kühlst etwas ab.
    Jedoch wird die Mischtemperatur bestimmt nicht in der Mitte liegen, denn der See ist ja viel größer als du.
    Wo sich die Mischtemperatur befindet, hängt immer auch mit dem Mischverhältnis zusammen.
    Das heißt damit, wie viel von einem Stoff jeweils gemischt wird.

  • Nenne eine Formel zur Berechnung der benötigten Wärme, um einen Stoff um eine bestimmte Temperatur zu erwärmen.

    Tipps

    Es soll die Wärme angegeben werden. Sie muss demnach zumindest in der Gleichung vorhanden sein. Welches Formelzeichen wird für die Wärme genutzt?

    Der Stoff soll um eine bestimmte Temperatur erwärmt werden. Kann dann in der Formel eine absolute Temperatur angegeben werden oder muss es sich um eine Temperaturdifferenz handeln?

    Die zuzuführende Wärme ist bei jedem Stoff unterschiedlich und hängt von der spezifischen Wärmekapazität des Stoffes ab.

    Lösung

    Um einen Stoff zu erwärmen, müssen wir ihm Wärme zuführen. Dafür gibt es die verschiedensten Möglichkeiten, dir fallen sicher einige ein.

    Wir können auch ganz genau berechnen, wie viel Wärme einem Stoff zugeführt werden muss, um ihn um eine bestimmte Temperatur zu erwärmen.
    Anfangs- und Endtemperatur des Stoffes sind dabei egal, es geht nur um die Temperaturdifferenz $\Delta T$.
    Es muss also genauso viel Wärme zugeführt werden, wenn ein Stoff von 3 °C auf 13 °C erwärmt werden soll, wie wenn er von 80 °C auf 90 °C erwärmt werden soll. Der Stoff soll in beiden Beispielen um 10°C erwärmt werden.

    Die zuzuführende Wärme trägt immer das Formelzeichen $Q$. Sie ist je nach Stoff unterschiedlich. Dies spiegelt sich in der spezifischen Wärmekapazität $c$ wider.

    Weiter ist es auch relevant, wie viel eines Stoffes erwärmt werden soll. Es wird dabei die Masse $m$ betrachtet, denn während sich das Volumen mit zunehmender Erwärmung verändern kann, bleibt die Masse immer gleich.

  • Erkläre die Vorgehensweise zur Berechnung der Mischtemperatur.

    Tipps

    Stelle zuerst fest, was passiert, wenn zwei unterschiedlich warme Körper zusammengeführt werden. Wie ändert sich die Temperatur der Körper?

    Die aufgenommene und die abgegebene Wärme können mit sehr ähnlichen Formeln berechnet werden. Finde, nachdem du den Rechnungsansatz aufgestellt hast, die Formel, die als Grundlage dient.

    Lösung

    Es wird grundsätzlich angenommen, dass der Mischvorgang nicht mit der Umgebung interagiert.
    Das heißt, es wird keine Wärme an die Umgebung abgegeben oder durch die Körper von dieser aufgenommen.

    Wenn Körper mit unterschiedlichen Temperaturen gemischt werden, dann ergibt sich eine gemeinsame Mischtemperatur.
    Es ist dann ein einzelner Körper und der weist niemals mehr als eine Temperatur auf.

    Es ist daher sinnvoll, zuerst festzustellen, dass die abgegebene Wärme und die aufgenommene Wärme gleich groß sein müssen.

    Diese können grundlegend mit derselben Formel berechnet werden. Es gilt hier die Formel zum Erwärmen eines Körpers um eine bestimmte Temperatur.

    Als Nächstes kann festgestellt werden, wie die Formel für die einzelnen Größen $Q_{auf}$ und $Q_{abg}$ modifiziert werden muss und wo sich dort die Mischtemperatur findet.
    Stell dir dazu die Frage, wie sich diese Größen unterscheiden.

    Die Größe $\Delta T$ der Formel gibt eine Temperaturdifferenz an und muss damit positiv sein. Diese besteht immer aus der Ausgangstemperatur und der Endtemperatur. Diese entspricht genau der Mischtemperatur.
    Wie verhalten sich die Ausgangstemperaturen im Verhältnis zur Mischtemperatur?

    • Beim wärmeren Körper ist die Ausgangstemperatur $T_A$ größer. Es gilt $\Delta T= T_A - T_m$.
    • Beim kälteren Körper ist die Ausgangstemperatur kleiner. Es gilt $\Delta T=T_m - T_A$.
    Da die Wärmen gleich groß sein müssen, können die Formeln gleichgesetzt werden und nach der Mischtemperatur umgestellt werden. Dies ist der letzte Schritt.

  • Ermittle die Mischtemperatur.

    Tipps

    Mit dieser Formel können die abgegebene Wärme $Q_{abg}$ und die aufgenommene Wärme $Q_{auf}$ berechnet werden. Wie ergibt sich hierbei die Temperaturdifferenz $\Delta T$?

    Für die spezifischen Wärmekapazitäten gilt:

    • $c_{Ethanol}= 2,43~ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$
    • $c_{Wasser}=4,182~ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$

    Da die abgegebene Wärme der aufgenommenen Wärme entspricht, gilt folgende Formel:

    $m_w \cdot c_w \cdot (T_{w}-T_m) = m_k \cdot c_k \cdot (T_m-T_{k})$

    Der Index $w$ steht für den wärmeren Körper und $k$ für den kälteren. Wie kann damit die Mischtemperatur berechnet werden?

    Die zuvor genannte Formel wird nach der Mischtemperatur wie folgt umgestellt:

    $T_m=\dfrac{m_w \cdot c_w \cdot T_{w} + m_k \cdot c_k \cdot T_{k}}{m_k \cdot c_k + m_w \cdot c_w}$

    Lösung

    Mithilfe der Formel
    $Q= m \cdot c \cdot \Delta T$ können die abgegebene Wärme $Q_{abg}$ und die aufgenommene Wärme $Q_{auf}$ berechnet werden.

    Die Temperaturdifferenz $\Delta T$ entspricht hierbei immer der Differenz zwischen jeweiliger Anfangstemperatur und der Mischtemperatur $T_m$.

    Wärme fließt immer vom wärmeren zum kälteren Körper. Es ergeben sich folgende Aussagen:

    • Bei $Q_{abg}$ ist die Ausgangstemperatur $T_w$ (Temperatur des wärmeren Körpers) wärmer als die Mischtemperatur und es folgt $\Delta T=T_{w}-T_m$.
    • Bei $Q_{auf}$ ist die Ausgangstemperatur (Temperatur des kälteren Körpers) kälter als die Mischtemperatur und es folgt $\Delta T= T_m - T_{k}$.
    Also folgt:
    $Q_{abg}= m_w \cdot c_w \cdot (T_{w}-T_m)$
    $Q_{auf}=m_k \cdot c_k \cdot (T_m-T_{k})$

    Die abgegebene Wärme entspricht dabei der aufgenommenen Wärme. Darum folgt:
    $m_w \cdot c_w \cdot (T_{w}-T_m) = m_k \cdot c_k \cdot (T_m-T_{k})$

    Diese Formel wird nach der Mischtemperatur $T_m$ umgestellt und zuletzt können die gegebenen Werte eingesetzt werden.
    Die wärmere Flüssigkeit ist hierbei Ethanol.
    Die kältere Flüssigkeit ist hierbei Wasser.

    Es folgt:
    $\begin{align} && m_w \cdot c_w \cdot (T_{w}-T_m) &= m_k \cdot c_k \cdot (T_m-T_{k}) \\ &\Leftrightarrow& m_w \cdot c_w \cdot T_{w}- m_w \cdot c_w \cdot T_m &= m_k \cdot c_k \cdot T_m- m_k \cdot c_k \cdot T_{k} \\ &\Leftrightarrow& m_w \cdot c_w \cdot T_{w}+m_k \cdot c_k \cdot T_{k} &= m_k \cdot c_k \cdot T_m + m_w \cdot c_w \cdot T_m \\ &\Leftrightarrow& T_{m} \cdot (m_{k} \cdot c_{k} + m_{w} \cdot c_{w}) &=m_{w} \cdot c_{w} \cdot T_{w}+m_{k} \cdot c_{k} \cdot T_{k} \\ &\Leftrightarrow& T_m &= \dfrac{m_{w} \cdot c_{w} \cdot T_{w}+m_{k} \cdot c_{k} \cdot T_{k}}{m_{k} \cdot c_{k} + m_{w} \cdot c_{w}} \\ \end{align}$

    Mit eingesetzten Werten ergibt sich dann:
    $\begin{align} T_m&=\dfrac{1 ~\text{kg} \cdot 2,43 ~ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 293,15 ~ \text{K}+ 1,5 ~\text{kg} ~ \cdot 4,182 ~ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}~ \cdot 291,15 ~ \text{K}}{1,5 ~\text{kg} \cdot 4,182 \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}} + 1 ~ \text{kg} \cdot 2,43 ~ \dfrac{\text{kJ}}{\text{kg} \cdot \text{K}}} \\ &= 291,71 ~ \text{K} \end{align}$

    Die Temperaturen könnten hier auch in Celsius angegeben werden, da sich die restlichen Einheiten kürzen. Dies kannst du mit einer Einheitenrechnung überprüfen.

  • Nenne richtige Aussagen zum Temperaturausgleich.

    Tipps

    Du kannst zwei Flüssigkeiten ordentlich vermischen, indem du die eine zur anderen schüttest und sie anschließend noch etwas umrührst. Es ergibt sich dann eine neue Flüssigkeit, die eine Kombination der Ausgangsflüssigkeiten darstellt.
    Welche Aussagen kannst du über die Temperatur der Flüssigkeit treffen?

    Eine Flüssigkeit hat immer nur eine Temperatur. Können dann zwei Temperaturen existieren, wenn du zwei Flüssigkeiten miteinander vermischt hast?

    Wenn du einen warmen und einen kalten Körper aneinander hältst, ist es nicht möglich, dass der warme Körper noch wärmer und der kalte noch kälter wird. In welche Richtung muss die Wärme dann fließen?

    Lösung

    Du kannst viele Aussagen zum Temperaturausgleich selber überprüfen. Besonders einfach geht dies mit zwei Flüssigkeiten, die unterschiedlich warm sind.

    Indem du sie zusammen kippst und anschließend gut verrührst, kannst du sie ordentlich vermischen.
    Es ergibt sich eine neue Flüssigkeit, bestehend aus den Ausgangsflüssigkeiten.
    Eine Flüssigkeit kann dabei immer nur eine Temperatur haben. Deswegen muss sich immer eine Mischtemperatur bilden.
    Diese muss zwischen den Ausgangstemperaturen liegen.

    Das hängt mit einem erfahrungsbasierten Gesetz der Wärmelehre zusammen:

    • Wärme fließt immer vom wärmeren zum kälteren Körper.
    Ansonsten könnte bei Zusammenführung eines warmen und eines kalten Körpers der warme noch wärmer und der kalte noch kälter werden. Das geht aber nicht.

    Die Mischtemperatur muss nicht in der Mitte der Ausgangstemperaturen liegen.
    Das kannst du zum Beispiel feststellen, indem du viel warmes Wasser mit etwas kaltem Wasser vermischst.
    Es hängt also vom Volumen der Flüssigkeiten, beziehungsweise allgemein von der Masse der jeweiligen Mischkörper ab.

  • Bestimme die Mischtemperatur.

    Tipps

    Gehe wie beim Aufstellen der allgemeinen Formel zur Mischtemperatur vor und überlege, welche Größen du kürzen kannst.

    Die abgegebene Wärme entspricht der aufgenommenen Wärme. Es gilt:

    $m_w \cdot c_w \cdot (T_{w}-T_m) = m_k \cdot c_k \cdot (T_m-T_{k})$

    Bedenke, dass die Körper aus demselben Material sind. Auf welche Größe hat dies einen Einfluss?

    Wie kannst du die Masse des einen Körpers in Abhängigkeit von der des anderen ausdrücken?

    Lösung

    Wichtig ist die Angabe, dass die Körper aus demselben Material hergestellt sind.
    Dadurch gilt für die spezifischen Wärmekapazitäten:
    $c_1=c_2=c$

    Die Masse des einen kann in Abhängigkeit der Masse des anderen Körpers angegeben werden.

    Zum Auseinanderhalten sollten die Körper benannt werden.

    • Der Körper $w$ ist der wärmere. Es folgt $T_w=53 ~^\circ\text{C}$.
    • Der Körper $k$ ist der kältere. $T_k=35 ^\circ\text{C}$
    Der Körper $k$ soll doppelt so schwer sein wie der Körper $w$. Es gilt also:

    $m_k=2 \cdot m_w$

    Nun kommen die aus vorigen Aufgaben bekannten Überlegungen.
    Die abgegebene Wärme entspricht der aufgenommenen und es ergibt sich die Gleichung:

    $m_w \cdot c \cdot (T_{w}-T_m) = 2 \cdot m_w \cdot c \cdot (T_m-T_{k})$

    Hier kürzen sich $m_w$ und $c$ heraus. Die Formel wird anschließend nach der Mischtemperatur umgestellt.
    $\begin{align} && T_{w}-T_m&= 2 \cdot (T_m-T_{k}) \\ &\Leftrightarrow& T_w - T_m &= 2 \cdot T_m - 2 \cdot T_k& \\ &\Leftrightarrow& T_w+2 \cdot T_k &= 3 \cdot T_m \\ &\Leftrightarrow& T_m &= \frac{T_w + 2 \cdot T_k}{3} \end{align}$

    Wenn hier die gegebenen Werte eingesetzt werden folgt das Ergebnis:
    $T_m = \dfrac{53 ~ ^\circ\text{C} + 2 \cdot 35 ~^\circ\text{C}}{3}=41 ~ ^\circ\text{C}$

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