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Freier Fall (Übungsvideo) 07:15 min

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Transkript Freier Fall (Übungsvideo)

Hallo und herzlich Willkommen. In diesem Video wollen wir eine Aufgabe zum freien Fall besprechen. Bevor es los geht, wiederholen wir noch einmal kurz, was beim freien Fall passiert. Dann stellen wir eine Aufgabe zum freien Fall mit zwei Teilaufgaben. Diese werden wir nacheinander lösen. Los geht es also mit einer kleinen Wiederholung zum freien Fall.

Wenn wir einen Gegenstand hochhalten und loslassen, so fällt er zu Boden. Dies ist eine Folge der Erdanziehung. Dabei wird der Ball gleichmäßig beschleunigt, wobei die Beschleunigung a durch die Fallbeschleunigung auf der Erde klein g gleich 9 Komma 8 1 Meter pro Sekunde zum Quadrat gegeben ist. Abweichungen von diesem Wert sind auf der Erde relativ klein. Im Folgenden werden wir mit diesem Wert rechnen.

Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Das Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung besagt, dass der zurückgelegte Weg zum Zeitpunkt t gleich dem Anfangsweg s Null plus der Anfangsgeschwindigkeit v Null mal t plus Beschleunigung a Halbe mal t Quadrat ist. Für den freien Fall ist der zurückgelegte Weg natürlich eine Höhe h, sodass wir h von t schreiben.

Außerdem ist der Anfangsweg eine Anfangshöhe h Null, von der wir den Gegenstand loslassen. Da beim freien Fall ein Gegenstand einfach losgelassen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit v Null gleich Null. Deshalb fällt der Term v Null mal t weg. Wenn wir die Höhe messen, wirkt die Beschleunigung natürlich nach unten zum Boden. Deshalb ist die Beschleunigung negativ: Es gilt a ist gleich minus g.

Gesetz des freien Falles

Dies ergibt das Gesetz des freien Falles: h von t ist gleich h Null minus g Halbe mal t Quadrat. Dazu habe ich nun eine Aufgabe vorbereitet: Ein Junge lässt einen Stein von einem Brückengeländer in den Fluss fallen. Der Abstand zwischen Wasseroberfläche und Geländer beträgt drei Meter.

Übungsaufgabe 1 - Flugzeit

Hierzu haben wir zwei Teilaufgaben: Teil 1: Fertige eine Zeichnung an, wähle ein geeignetes Koordinatensystem, um das Fallgesetz anzuwenden, und zeichne die Anfangshöhe ein. Teil 2: Berechne die Flugzeit des Steins vom Loslassen bis zum Eintauchen ins Wasser mit dem Gesetz des freien Falls.

Fangen wir mit der ersten Teilaufgabe an, so müssen wir als erstes einmal das Problem skizzieren. Zeichnen wir also eine Brücke, die Wasseroberfläche, das Geländer und den Jungen. Im nächsten Schritt sollen wir ein Koordinatensystem wählen, um das Fallgesetz anzuwenden. Hierzu wählen wir die senkrechte Fluggerade des Steins. Jeder Punkt auf der Achse entspricht einer Höhe des Steins während des Falls. Als Nullpunkt wählen wir die Wasseroberfläche.

Nun müssen wir noch die Anfangshöhe einzeichnen: Diese entspricht dem Abstand zwischen Geländer und Wasseroberfläche. Wir nennen die Anfangshöhe h Null und zeichnen sie in unser Koordinatensystem.

Übungsaufgabe 2 - Gesetz des freien Falls

Was passiert, wenn wir den Stein loslassen? Er fällt nach unten und trifft kurz darauf auf die Wasseroberfläche. Damit kommen wir zum zweiten Aufgabenteil: Die Zeit zwischen Loslassen und Eintauchen ins Wasser, ist die Flugzeit. Diese müssen wir nun finden, indem wir das Gesetz des freien Falls anwenden.

Wir haben unser Koordinatensystem so gewählt, dass wir die Höhe des Steins von der Wasseroberfläche aus messen. Zu Beginn befindet er sich in der Höhe h Null am Geländer, das wir bereits eingezeichnet haben. Von hier aus fällt der Stein ins Wasser. Damit können wir die Formel des Fallgesetzes anwenden: Sobald der Junge den Stein loslässt, ist die Höhe h von t gleich h Null minus g Halbe mal t zum Quadrat.

Gleichung für t

Nun wollen wir aber die Fallzeit bis zur Wasseroberfläche finden. In unserem Koordinatensystem entspricht die Wasseroberfläche der Höhe h gleich Null. Wir suchen also nach der Zeit t, zu der h von t gleich Null ist. Dies liefert uns die benötigte Gleichung, um t zu finden: Wir wissen ja, dass Höhe h von t gleich h Null minus g Halbe mal t zum Quadrat ist und das soll gleich Null sein.

Gleichung nach t auflösen

Diese Gleichung müssen wir jetzt nach t auflösen: Wir subtrahieren h Null auf beiden Seiten. Wir teilen durch Minus g Halbe. Damit erhalten wir h Null mal 2 geteilt durch g ist gleich t zum Quadrat. Um jetzt t zu erhalten, müssen wir auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und erhalten damit: t ist gleich der Wurzel aus 2 h Null geteilt durch g.

Aus dem Mathematik Unterricht weißt du vielleicht das auch die negative Wurzel eine Lösung der quadratischen Gleichung ist. Eine negative Flugzeit macht aber physikalisch keinen Sinn, weshalb wir diese Lösung in der Physik nicht berücksichtigen.

Werte einsetzen

Deshalb können wir jetzt im vierten Schritt die gegebenen Werte einsetzen, um t tatsächlich auszurechnen. Wir setzen h Null gleich 3 Meter und g gleich 9 Komma 8 1 Meter pro Sekunde Quadrat ein. Die Meter kürzen sich. Übrigt bleibt Sekunde zum Quadrat. Wir benutzen einen Taschenrechner, um hieraus t gleich 0,782061887 Sekunden zu erhalten. Das müssen wir sinnvoll runden und erhalten für die gesuchte Flugzeit des Steines etwa 0 Komma 8 Sekunden.

Zusammenfassung zum freien Fall

Damit haben wir die Aufgabe vollständig gelöst. Zum Schluss wiederholen wir noch einmal die einzelnen Schritte. Zunächst haben wir in der ersten Teilaufgabe eine Skizze des Problems skizziert, ein Koordinatensystem festegelegt und die Anfangshöhe eingezeichnet. Dann haben wir in der zweiten Teilaufgabe unser physikalisches Gesetz angewandt.

Hieraus haben wir dann eine Formel für die gesuchte Größe abgeleitet, in die wir schließlich die gegebenen Werte eingesetzt haben. Runden nicht vergessen und die Aufgabe ist fertig gelöst. Das waren unsere Sachaufgaben zum freien Fall.

1 Kommentar
  1. Ich finde das Video sehr hilfreich, aber ich erhalte nach der wurzel aus 2*3 durch 9,81 nicht 0,78... sondern0,432...

    Von Stefanbog, vor fast 5 Jahren

Freier Fall (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Freier Fall (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall.

    Tipps

    Überlege dir, wofür die physikalischen Größen stehen. Was ist g?

    Wenn du das allgemeine Weg-Zeit-Gesetz der beschleunigten Bewegung kennst, kannst du das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall daraus herleiten.

    Lösung

    Wenn du das allgemeine Weg-Zeit-Gesetz der beschleunigten Bewegung kennst, kannst du das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall daraus herleiten.

    Allgemein lautet es:

    $s(t)=s_0+v_0\cdot t+ \frac{a}{2}\cdot t^2$

    Da wir beim freien Fall ganz bestimmte Strecken betrachten, die immer entlang der y-Achse verlaufen, nennen wir die Strecke auch Höhe $h$. Aus $s(t)$ und $s_0$ werden somit $h(t)$ und $h_0$. Die Beschleunigung a, die entlang dieser Höhe wirkt, wird auch Fallbeschleunigung g genannt. Da sie in die negative y-Richtung zeigt, bekommt sie ein negatives Vorzeichen.

    $h(t)=h_0- \frac{g}{2}\cdot t^2$

    Der Mittelterm fällt immer dann weg, wenn sich der fallende Körper am Anfang nicht in y-Richtung bewegt. Seine Anfangsgeschwindigkeit also null ist.

  • Finde heraus, welcher der Gegenstände die gleiche Fallzeit besitzt wie ein mittelgroßer Stein. Vernachlässige die Luftreibung.

    Tipps

    Erinnere dich an das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls.

    Welche Größen gehen in das Weg-Zeit-Gesetz ein?

    Lösung

    Das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall lautet:

    $h(t)=h_0- \frac{g}{2}\cdot t^2$

    Die Fallstrecke hängt also nur von der Zeit ab. Andersherum hängt die Fallzeit nur von der Fallstrecke ab. Diese ist in unserem Fall konstant und entspricht der Höhe der Brücke.

    g ist eine Konstante und für alle Objekte gleich groß. Sie ist nur abhängig davon, wo du dich auf der Erde befindest. Die Abweichungen sind aber so gering, dass man diese kleinen Unterschiede meist vernachlässigt.

    Der einzige Grund, weshalb wir den Eindruck haben, dass auf der Erde schwere Gegenstände schneller fallen als leichte, liegt an dem Einfluss der Luftreibung.

    Bei sehr leichten Gegenständen ist die Beschleunigung zwar genauso groß wie bei schweren, die Gewichtskraft F=m$\cdot$g hingegen ist jedoch klein, da die Masse m klein ist. Die Kraft, die von der Luftreibung hervorgerufen wird, ist nicht von der Masse, sondern der Oberfläche abhängig.

    Es spielt jedoch nicht nur die Größe der Oberfläche eine Rolle, sondern auch die Form, da sie die Aerodynamik beeinflusst. Die Aerodynamik ist ein Bereich der Physik, der sich unter anderem mit dem Verhalten von bewegten Körpern in der Luft beschäftigt.

    Du kennst vielleicht die Samen des Ahornbaumes, die sich beim Herunterfallen wie Hubschrauberblätter drehen und somit sehr langsam fallen, obwohl sie eine kleine Blattoberfläche besitzen. Durch diese Effekte fällt eine Feder viel langsamer als ein Anspitzer.

    Im Vakuum hingegen, dem luftleeren Raum, gibt es keine Reibungskraft und eine Feder fällt tatsächlich genauso schnell wie ein Anspitzer.

  • Berechne die Zeit t, die eine Brotscheibe benötigt, um von einem Tisch der Höhe 75 cm zu fallen.

    Tipps

    Wende das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall an.

    Lösung

    Das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall lautet: $h(t)=h_0- \frac{g}{2}\cdot t^2$

    Je nachdem, wie wir unser Koordinatensystem legen, beträgt $h_0=0,75 \, m$ und $h(t)=0 \, m$ oder alternativ $h_0=0 \, m$ und $h(t)=-0,75 \, m$

    Es macht keinen Unterschied, welches der beiden Wertepaare man in die Gleichung einsetzt.

    $h(t)=0=h_0- \frac{g}{2}\cdot t^2$

    Nach t umformen:

    $ \begin{align*} -h_0&=- \frac{g}{2}\cdot t^2 \qquad |\cdot (-\frac{2}{g})\\ \frac{2}{g}\cdot h_0&= t^2 \qquad \qquad~~ |\sqrt{~}\\ \sqrt{\frac{2}{g}\cdot h_0}&= t \\ t&=\sqrt{\frac{2}{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\cdot 0,75\,\text{m}}\\ &\approx 0,4\, \text{s} \end{align*} $

  • Ermittle die Abstände der Schrauben einer Schraubenschnur, wenn diese beim Zubodenfallen ein regelmäßiges Geräusch machen soll.

    Tipps

    Manchmal wird $g\approx10\,\frac{m}{s^2}$ etwas vereinfacht. Rechne hier aber mit dem genaueren Wert von $g\approx9,81\,\frac{m}{s^2}$

    Überlege dir, ob der Abstand zwischen allen Schrauben gleich oder unterschiedlich sein muss.

    Lösung

    Auch wenn die unterste Schraube bereits auf dem Boden aufkommt, werden die darüber liegenden Schrauben weiter beschleunigt. Daher muss der Abstand der weiter oben befestigten Schrauben immer größer werden, wenn der zeitliche Abstand zwischen zwei Aufschlägen jeweils gleich sein soll.

    In der Aufgabe ist gegeben, dass der Abstand der untersten beiden Schrauben $h_1=1,23 \, \text{cm}$ beträgt. Daraus können wir das Zeitintervall $\Delta t$ bestimmen, das zwischen den Aufschlägen der ersten beiden Schrauben vergeht.

    Dafür setzen wir $t_0=0$ und müssen nur noch $t_1$ bestimmen, da $\Delta t= t_1-t_0$ ist.

    $ \begin{align*} -h_1&=- \frac{g}{2}\cdot t_1^2 \qquad |\cdot (-\frac{2}{g})\\ \frac{2}{g}\cdot h_1&= t_1^2 \qquad \qquad~~ |\sqrt{~}\\ \sqrt{\frac{2}{g}\cdot h_1}&= t_1 \\ t_1&=\sqrt{\frac{2}{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\cdot 0,0123\,\text{m}}\\ &\approx 0,05 \, \text{s} =50 \, \text{ms} \end{align*} $

    Nun ist der erste Teil geschafft und wir können die Fallhöhen $h_2$ und $h_3$ bestimmen, da wir wissen, dass $t_2=100 \, \text{ms}$ und $ t_3=150 \, \text{ms}$ beträgt. Der Unterschied muss schließlich immer $\Delta t=50 \, \text{ms}$ betragen.

    Um diese Höhen zu bestimmen, formen wir einmal das Weg-Zeit-Gesetz nach der Zeit um und setzen am Ende $t_2$ und $t_3$ ein.

    $ \begin{align*} h(t)=0&=h- \frac{g}{2}\cdot t^2\qquad |-h\\ -h&=- \frac{g}{2}\cdot t^2 \qquad ~~~\,|\cdot (-1)\\ h&= \frac{g}{2}\cdot t^2 \\ \\ h_2&= \frac{g}{2}\cdot t_2^2 \\ &=\frac{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{2}\cdot (0,10\,\text{s})^2\\ &\approx 0,0491 \,\text{m} \\ \\ h_3&= \frac{g}{2}\cdot t_3^2 \\ &=\frac{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{2}\cdot (0,15\,\text{s})^2\\ &\approx 0,01104 \,\text{m} \end{align*} $

  • Entscheide dich für die richtigen Koordinatensysteme.

    Tipps

    Du hast immer mehr als eine Möglichkeit, dein Koordinatensystem zu legen.

    In der Richtung, die im Koordinatensystem mit einem Pfeil gekennzeichnet ist, werden die Werte größer.

    Lösung

    Um das Koordinatensystem zu einer Aufgabe zu finden, musst du Folgendes beachten:

    • Bei einer Fallaufgabe muss die Achse senkrecht, also in Fallrichtung, liegen.
    • Jede Achse hat genau einen Pfeil. Die Werte müssen entlang des Pfeils größer werden.
    • Es gibt an der Achse zwei interessante Punkte: Anfangs- und Endwert.
    • Entweder $h_0=0$ und $h(t)=-h$ ist negativ oder $h_0=h$ und $h(t)=0$.
    Praktisch gesehen hat man leider keinen Zugang bis zur Spitze des Fernsehturms und könnte daher gar nichts von ganz oben fallen lassen. Den Umstand vernachlässigen wir in dieser Aufgabe jedoch und nehmen an, dass wir den Arm so weit ausstrecken können, dass der Stein nicht die Kuppel trifft.

  • Bestimme die Tiefe h eines Brunnens, indem du einen Stein hineinfallen lässt und die Zeit t = 3 s misst.

    Tipps

    Mache eine Skizze und wende dann das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall an.

    Wie kannst du dein Koordinatensystem legen?

    Lösung

    Das Weg-Zeit-Gesetz für den freien Fall lautet:

    $h(t)=h_0- \frac{g}{2}\cdot t^2$

    Je nachdem, wie wir unser Koordinatensystem legen, beträgt $h_0=h$ und $h(t)=0$ oder alternativ $h_0=0 $ und $h(t)=-h \, m$

    Es macht wieder keinen Unterschied, welches der beiden Wertepaare man in die Gleichung einsetzt. Wir entscheiden uns diesmal für das zweite Wertepaar, da es uns einen Umformungsschritt erspart.

    $h(t)=-h=0- \frac{g}{2}\cdot t^2$

    Diesmal muss die Gleichung nicht nach t, sondern nach h umgeformt werden:

    $ \begin{align*} -h&=- \frac{g}{2}\cdot t^2 \qquad |\cdot (-1)\\ h&= \frac{g}{2}\cdot t^2 \\ &=\frac{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{2}\cdot (3\,\text{s})^2\\ &\approx 44\,\text{m} \end{align*} $

    Wichtig ist bei physikalischen oder mathematischen Fragestellungen in der Regel auch ein Antwortsatz.