Zustandsgleichung idealer Gase

Zustandsgleichung idealer Gase Übung

• Bestimme, welche Eigenschaft zu den jeweiligen Gesetzen passt.

  Tipps

  Das ideale Gasgesetz setzt sich aus den anderen beiden Gesetzen zusammen.

  Lösung

  Das Gasgesetz $p\cdot V=const.$ ist das Boyle-Mariotte-Gesetz. Die Voraussetzung für dessen Gültigkeit ist, dass die Temperatur konstant ist.

  Das Gasgesetz $\frac V T=const.$ ist das Gay-Lussac-Gesetz. Hierbei ist die Voraussetzung für die Gültigkeit, dass der Druck konstant ist.

  Da bei den meisten Fällen in der Natur aber weder Druck noch Temperatur konstant sind, kann man beide Gesetze zu dem idealen Gasgesetz zusammenfassen (oder: Zustandsgleichung idealer Gase): $V\cdot \frac p T=const.$. Hierbei müssen Druck und Temperatur nicht konstant sein.

• Bestimme die Verhältnisse der Größen in den jeweiligen Gesetzen.

  Tipps

  Die Formel für das Gasgesetz nach Gay-Lussac lautet: $\frac V T=const.$

  Die Formel für das Gasgesetz nach Boyle-Mariotte lautet: $p\cdot V=const.$

  Die Formel für das ideale Gasgesetz lautet: $V\cdot \frac p T=const.$

  Lösung

  Am einfachsten ist es, wenn man sich die Formel zu dem passenden Gesetz anschaut: Was passiert, wenn das Volumen im Boyle-Mariotte-Gesetz größer wird? Da nach dem Boyle-Mariotte-Gesetz $p\cdot V$ immer dieselbe Konstante (innerhalb eines Systems) ergibt, muss der Druck p kleiner werden, damit das Ergebnis stimmen kann. Andererseits kann man sich das vielleicht auch vorstellen: Wenn man eine bestimmt Menge an Gas auf ein größeres Volumen verteilt, dann haben die Gasteilchen mehr "Platz" und der Druck ist somit kleiner.

• Berechne die Temperatur eines Kühlschranks mithilfe des Gasgesetztes von Gay-Lussac

  Tipps

  Das Gasgesetz von Gay-Lussac lautet $\frac V T=konst.$

  Stelle eine Beziehung mithilfe des Gesetzes von Gay-Lussac her bezüglich der Situation, bevor der aufgeblasene Luftballon in den Kühlschrank kommt (Zeitpunkt 1), und unmittelbar nachdem er aus dem Kühlschrank kommt (Zeitpunkt 2).

  Lösung

  Da wir, nachdem wir den Luftballon aufgeblasen haben, keine Luft mehr hinzufügen, ist unser Druck in dem Luftballon konstant. Damit dürfen wir das Gesetz von Gay-Lussac benutzen: $\frac V T=konst.$

  Zum Zeitpunkt 1 (vor dem Kühlen) haben wir ein Volumen $V_1=1dm^3$ und eine Temperatur $T_1=37°C=310,15K$. Zum Zeitpunkt 2 (direkt nach dem Kühlen) haben wir ein Volumen von $V_2=0,9dm^3$ und unsere Temperatur $T_2$ ist die unbekannte Kühlschranktemperatur.

  Da nun nach dem Gesetz von Gay-Lussac alle Temperatur/Volumen Wertepaare dieselbe Konstante ergeben, können wir unsere beiden Situationen gleichsetzen. Es gilt: $\frac{V_1} {T_1}= \frac{V_2}{T_2}$.

  Nach $T_2$ umgestellt und eingesetzt ergibt sich: $T_2=\frac{V_2}{V_1}\cdot T_1 =\frac{0,9dm^3}{1dm^3}\cdot 310,15K=279,135K\approx 6^\circ C$

• Berechne mit Hilfe des Gasgesetzes von Boyle-Mariotte, bei welchem Druck ein Luftballon platzt.

  Tipps

  Das Gesetz von Boyle-Mariotte lautet: $p \cdot V=konst.$

  Stelle eine Beziehung mithilfe des Gesetzes von Boyle-Mariotte her bezüglich des Zustandes bei dem normal aufgeblasenen Luftballon (Zustand 1) und bei einem, der kurz vor dem Platzen ist (Zustand 2).

  Lösung

  Da es keine Temperaturänderung gibt, ist die Temperatur in dem Luftballon konstant. Damit dürfen wir das Gesetz von Boyle-Mariotte benutzen: $p \cdot V=konst.$

  Im Zustand 1 (ganz normal aufgeblasen) haben wir ein Volumen $V_1=1,2dm^3$ und einen Druck $p_1=1013mbar$. Im Zustand 2 (kurz vor dem Platzen) haben wir ein Volumen von $V_2=2dm^3$ und einen Druck $T_2$, welcher der gesuchte Druck ist, ab dem der Luftballon platzt. Da nun nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte alle Druck/Volumen-Wertepaare dieselbe Konstante ergeben, können wir unsere beiden Zustände gleichsetzen. Es gilt: $p_1 \cdot V_1= p_2 \cdot V_2$.

  Nach $p_2$ umgestellt ergibt sich: $p_2=p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2}=1013mbar \cdot \frac{1,2dm^3}{2dm^3}=607,8mbar$.

• Bestimme, welche Aussagen für ein ideales Gas zutreffen.

  Tipps

  Das Modell des idealen Gases ist eine Vereinfachung der Realität, bei der man viel weniger berücksichtigen muss.

  Lösung

  Das Modell des idealen Gases nimmt vor allem an, dass die Gasmoleküle kein Eigenvolumen haben, sondern als ausdehnungslose Massepunkte angesehen werden. Das ist in der Realität natürlich nicht so: Die Moleküle sind zwar sehr klein, aber sie haben ein Eigenvolumen. Weiterhin nimmt das Modell an, dass es zwischen den Gasmolekülen und anderen Teilchen keine Kräfte bestehen und sich die Moleküle ganz frei bewegen. In der Realität ist dies auch nicht so, die Teilchen enthalten zum Beispiel Elektronen, die ja eine Ladung haben und sich deswegen gegenseitig anziehen, bzw. abstoßen. Das Modell des idealen Gases ist also nur eine Vereinfachung, damit es für uns nicht so kompliziert ist. Gase mit geringer Dichte entsprechen am besten dieser Näherung.

• Berechne, wie viel Luft beim Heizen einer Skihütte entweicht.

  Tipps

  Wir können davon ausgehen, dass der Druck innerhalb der Hütte und außerhalb der Hütte gleich ist. Damit dürfen wir das Gesetz von Gay-Lussac benutzen.

  Das Gesetz von Gay-Lussac lautet: $\frac V T=konst.$

  Stelle eine Beziehung mithilfe des Gesetzes von Gay-Lussac her bezüglich des Zustandes, bevor die Hütte aufgeheizt wird (Zustand 1) und nachdem sie aufgeheizt wurde (Zustand 2).

  Die entwichene Luft ist genau die Differenz der Volumen, welches die Luft bei 22°C einnimmt und welches sie bei -14°C einnimmt.

  Achte darauf, dass du die Temperaturen in der Einheit Kelvin einsetzt, da wir sonst (wegen der Minusgrade) ein falsches Ergebnis erhalten.

  Lösung

  Wir können davon ausgehen, dass der Druck innerhalb der Hütte und außerhalb der Hütte gleich ist. Damit dürfen wir das Gesetz von Gay-Lussac benutzen: $\frac V T=konst.$

  Die Idee ist, dass wir das Volumen berechnen, welches die Luft bei 22°C einnimmt (Zustand 2), also $T_2=22°C=295K$ und $V_2$ ist unser unbekanntes Volumen. Im Zustand 1 (vor dem Aufheizen) haben wir ein Volumen $V_1=100m^3$ und eine Temperatur $T_1=-14°C=259K$.

  Da nun nach dem Gesetz von Gay-Lussac alle Temperatur/Volumen Wertepaare dieselbe Konstante ergeben, können wir unsere beiden Situationen gleichsetzen. Dabei ist darauf zu achten, dass man die Temperaturen in der Einheit Kelvin einsetzt, da wir sonst (wegen der Minusgrade) ein falsches Ergebnis erhalten. Es gilt:

  $\frac{V_1} {T_1}= \frac{V_2}{T_2}$.

  Nach $V_2$ umgestellt ergibt sich: $V_2=\frac{T_2}{T_1}\cdot V_1 =\frac{295K}{259K}\cdot 100m^3=113,9m^3$.

  Also entweichen der Hütte genau $\Delta V=V_2-V_1=113,9m^3-100m^3=13,9m^3$ Luft.