Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Übung

• Beschreibe eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

  Tipps

  Überlege dir, was eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ausmacht: Was ergibt sich rein aus der Bezeichnung für die physikalischen Größen?

  Überlege dir auch Folgendes: Du sitzt in einem Auto. Die fahrende Person drückt nun das Gaspedal bis zum Ende durch. Das Auto wird gleichmäßig beschleunigt und zwar von $0$ $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ auf $100$ $\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

  Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung erfährt das Auto also immer die gleiche Beschleunigung und wird dadurch natürlich immer schneller. Überlege dir, was dies für die zurückgelegte Strecke bedeutet, wenn du immer schneller wirst.

  Lösung

  Wenn ein Körper gleichmäßig beschleunigt wird, dann heißt das, dass er immer schneller wird. Seine Geschwindigkeit erhöht sich also fortlaufend. Eines verändert sich dabei allerdings nicht: die Beschleunigung. Bei der Erdbeschleunigung sind das rund $9{,}81~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. So ergibt sich ${\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$ als Einheit der Beschleunigung.

  Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung gibt es eine konstante Beschleunigung ${\color{#99CC00}{\mathbf{a}}}$. Die Geschwindigkeit ${\color{#99CC00}{\mathbf{v}}}$ steigt mit der Zeit ${\color{#99CC00}{\mathbf{t}}}$ an. Die zurückgelegte Strecke ${\color{#99CC00}{\mathbf{s}}}$ wächst quadratisch mit der Zeit und ist ebenfalls von $a$ abhängig.

  Für die Geschwindigkeit $v$ ergibt sich:

  $v=a \cdot t$

  Für die zurückgelegte Strecke gilt:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$

  Gibt es eine Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ und eine Anfangsstrecke $\color{#99CC00}{\mathbf{s_{0}}}$, müssen diese in die Formeln mit einbezogen werden. Diese lauten dann wie folgt:

  $v=a \cdot t+v_{0}$

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_{0}\cdot t+s_{0}$

• Berechne die Zeit, die das Auto zum Beschleunigen braucht.

  Tipps

  Die Formel für die Geschwindigkeit lautet:

  $v=a\cdot t$

  Stelle sie nach der gewünschten Größe um.

  Bedenke, dass die Geschwindigkeit in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben ist. Das Ergebnis soll jedoch in Sekunden berechnet werden: Überlege, wie du es umrechnen kannst.

  Lösung

  Um die Zeit zu berechnen, die das Auto benötigt, musst du alle gegebenen Werte in die Formel einsetzen und umstellen. Die Formel lautet:

  $v=a\cdot t$

  Da die Zeit $t$ gesucht ist, muss die Formel nach $t$ umgestellt werden. Dazu bringen wir $a$ auf die andere Seite, indem wir durch $a$ dividieren:

  $v=a\cdot t$ $\quad | :a$

  Daraus ergibt sich:

  $t= \dfrac{v}{a}$

  In diese Formel können wir nun alle Werte einsetzen. Wir haben eine Geschwindigkeit von $100~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und eine Beschleunigung von $6{,}5~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ gegeben:

  $v=100~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

  $a=6{,}5~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

  Setzen wir diese Werte in die Formel ein, erhalten wir:

  $t= \dfrac{100~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}}{6{,}5~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$

  Da die Beschleunigung $a$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ und die Geschwindigkeit in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben ist, müssen wir die Einheit der Geschwindigkeit umrechnen. Wir rechnen also von $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ um.
  Dies können wir, indem wir die Geschwindigkeit $v$ geteilt durch $3{,}6$ rechnen:

  $t= \dfrac{100 : 3{,}6~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{6{,}5~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}$

  Danach können wir ausrechnen und kommen zu folgendem Ergebnis:

  $t= 4{,}27~\text{s}$

• Untersuche die Szenarien der gleichmäßig beschleunigten Bewegungen.

  Tipps

  Überlege dir, in welcher Einheit die jeweiligen physikalischen Größen angegeben werden.

  Die Zeit $t$ wird zum Beispiel in Sekunden, Minuten oder auch Stunden angegeben. Wenn also in den Aufgaben von Sekunden ($\text{s}$), Minuten ($\text{min}$) oder von Stunden ($\text{h}$) die Rede ist, dann handelt es sich bei diesen Angaben immer um die Zeit $t$.

  Die Geschwindigkeit $v$ wird in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ oder auch $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben. Wenn also diese Einheiten in den Aufgaben auftauchen, ist stets die Geschwindigkeit $v$ gemeint.

  Die Strecke $s$ wird in Zentimeter ($\text{cm}$), Meter ($\text{m}$) oder Kilometer ($\text{km}$) angegeben. Wenn also diese Einheiten in der Aufgabe erwähnt werden, ist immer die Strecke $s$ gemeint.

  Die Beschleunigung $a$ wird in der Einheit $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ angegeben. Taucht also diese Einheit in einer Aufgabe auf, ist von der Beschleunigung die Rede.

  Lösung

  Anhand der Einheiten von physikalischen Größen lässt sich immer gut bestimmen, um welche physikalische Größe es sich bei der Angabe handelt.

  • Die Zeit $t$ wird in Sekunden ($\text{s}$), Minuten ($\text{min}$) oder auch Stunden ($\text{h}$) angegeben.
  • Die Geschwindigkeit $v$ wird in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ oder auch $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben.
  • Die Strecke $s$ wird in Zentimeter ($\text{cm}$), Meter ($\text{m}$) oder Kilometer ($\text{km}$) angegeben.
  • Die Beschleunigung $a$ wird in der Einheit $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ angegeben.

  Mit diesem Wissen werden nun die verschiedenen Szenarien untersucht:

  1. Ein Fahrzeug beschleunigt mit $\color{#99FF32}{5~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}$ aus dem Stand in $\color{#F3DB00}{10~\text{Sekunden}}$ auf $\color{#66D8FF}{50~\frac{\text{m}}{\text{s}}}$.

  2. Ein Fahrzeug weist eine Geschwindigkeit von $\color{#66D8FF}{13~\frac{\text{m}}{\text{s}}}$ auf und beschleunigt dann mit $\color{#99FF32}{2~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}$ für eine Dauer von $\color{#F3DB00}{2{,}5~\text{Sekunden}}$. Dabei legt es $\color{#FF66FF}{38{,}75~ \text{Meter}}$ zurück.

  3. Ein Fahrzeug beschleunigt aus dem Stand mit einer Beschleunigung von $\color{#99FF32}{4{,}3~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}$. Es benötigt $\color{#F3DB00}{11{,}63~\text{Sekunden}}$, um auf $\color{#66D8FF}{50~\frac{\text{m}}{\text{s}}}$ zu beschleunigen.

  4. Eine Person auf dem Fahrrad startet an einer Kreuzung bei Grün und erreicht nach $\color{#F3DB00}{4~\text{Sekunden}}$ eine Geschwindigkeit von $\color{#66D8FF}{30~\frac{\text{m}}{\text{s}}}$. Die Person beschleunigt mit $\color{#99FF32}{2{,}31~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}$.

• Bestimme die Strecke, die das Fahrzeug in der Zeit der Beschleunigung zurücklegt.

  Tipps

  Setze alle gegebenen Werte in die Formel ein, in der die Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigt wird.

  Die Formel lautet:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2 + v_{0}\cdot t $

  Setze dort alle Werte ein und berechne.

  Du kannst der Aufgabe folgende Werte entnehmen:

  • $v_0=11~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
  • $a=3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
  • $t=3{,}5~\text{s}$

  Lösung

  Bei der Aufgabe geht es um ein Fahrzeug, welches eine bestimme Anfangsgeschwindigkeit hat und dann für eine gewisse Zeit beschleunigt. Hier ist zu berechnen, welche Strecke es in dieser Zeit zurückgelegt hat.

  Der Aufgabe können wir folgende Größen entnehmen:

  • $v_0=11~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$
  • $a=3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$
  • $t=3{,}5~\text{s}$

  Die Formel lautet:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2 + v_{0}\cdot t +s_{0}$

  In dieser Aufgabe gibt es keine Anfangsstrecke $s_{0}$, da nur die Strecke betrachtet wird, wo die Beschleunigung beginnt. Dieser Wert fällt am Ende also weg und es ergibt sich:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2 + v_{0}\cdot t$

  Das Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot 3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot (3{,}5~\text{s})^2 +11\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 3{,}5~\text{s}$

  $s=\color{#99CC00}{\mathbf{56{,}88~\text{m}}}$

• Gib an, was auf eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung zutrifft.

  Tipps

  Überlege dir, was eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ausmacht.

  Beispiel:

  Beim freien Fall handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

  Beim freien Fall wird ein Objekt in Richtung des Erdmittelpunkts beschleunigt. Die Geschwindigkeit ändert sich die ganze Zeit und das Objekt fällt immer schneller.

  Lösung

  Wenn ein Körper in eine Richtung gleichmäßig beschleunigt wird, dann heißt das, dass er immer schneller wird. Seine Geschwindigkeit erhöht sich also fortlaufend. Also ist diese Aussage richtig:

  • Die Geschwindigkeit des bewegten Objekts ändert sich gleichmäßig und das Objekt bewegt sich in eine Richtung.

  Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung kann sich aber auch die Richtung ändern. Es ist also nicht notwendig, dass sich die Geschwindigkeit ändert. Eine gleichförmige Kreisbewegung, in der sich die Richtung gleichmäßig ändert, aber die Geschwindigkeit nicht, ist auch eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Demanch ist diese Aussage ebenfalls richtig:

  • Die Richtung eines beschleunigten Objekts kann sich ändern.

  Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine Bewegung, die mit einer Geschwindigkeitsänderung oder einer Richtungsänderung zusammenhängt: Das Objekt wird sich nie in Ruhe befinden und ist somit in Bewegung. Folglich ist diese Aussage falsch:

  • Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung bewegt sich der Gegenstand nicht.

  Beim Fahren einer Achterbahn beschleunigt der Wagen immer unterschiedlich: Am Anfang erfahren wir meist eine kleinere Beschleunigung als zum Beispiel in der Mitte der Fahrt. Deswegen ist diese Aussage auch falsch:

  • Beim Fahren mit einer Achterbahn handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

• Ermittle, wie lang die Strecke ist, die nach $1{,}5$ Sekunden zurückgelegt wurde.

  Tipps

  Überlege dir, welche physikalischen Größen du der Wertetabelle und dem Diagramm entnehmen kannst und was genau du berechnen sollst.

  Dem Diagramm kannst du die Zeit $t$ und die Geschwindigkeit $v$ entnehmen. Gesucht ist die Strecke $s$: Überlege dir, wie du mit einem Zwischenschritt zur gesuchten Länge kommen kannst.

  Lösung

  Du suchst die Strecke, die nach $1{,}5$ Sekunden zurückgelegt wurde.

  Die Angabe $1{,}5$ Sekunden steht für die Zeit $t$. Diese ist in der rechten Spalte der Tabelle dargestellt.

  In der linken Spalte der Tabelle kannst du die Geschwindigkeit $v$ ablesen. Der Wert, der neben der Zeit $t$ von $1{,}5$ Sekunden steht, ist der zugehörige Wert der Geschwindigkeit $v$. Zu den $1{,}5$ Sekunden gehören also die $3~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

  Du hast somit folgende Werte gegeben:

  • $t=1{,}5~\text{s}$
  • $v=3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Gesucht ist die Strecke $s$. Diese können wir mit dieser Formel ermitteln:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$

  Um die Formel verwenden zu können, benötigen wir noch die Beschleunigung $a$. Sie lässt sich berechnen mit $t$ und $v$:

  Es ergibt sich:

  $v=a\cdot t$ $\quad | :t$

  $\dfrac{v}{t}=a$

  Setzen wir jetzt die Werte für die Geschwindigkeit $v$ und die Zeit $t$ ein, erhalten wir:

  $a= \dfrac{3~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}{1{,}5~\text{s}} = 2~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

  Mithilfe von $a$ kann nun die gesuchte Länge $s$ ermittelt werden:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot 2~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot (1{,}5~\text{s})^2$

  $s=2{,}25~\text{m}$