Zweite Kombinationsregel – Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge

Hallo! Wir sind bei einer weiteren Grundsituation hier bei unserer 4er-Tafel, die ja zu unterscheiden ist von der 4-Felder-Tafel, die 4-Felder-Tafel ist ganz was anderes. Wir sind bei den Grundsituationen der Kombinatorik, die wir brauchen, um Laplace-Wahrscheinlichkeiten schnell und einfach berechnen zu können und auch noch für viele weitere Dinge. Jetzt kommt diese Situation dran: n über k, man kann sagen das ist die 2. Kombinationsregel und das ist eine Grundsituation, die kann man beschreiben mit "Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge" oder die andere Grundsituation: Verteilen von nicht unterscheidbaren Teilchen auf Boxen mit begrenztem Fassungsvermögen. Beides mache ich jetzt ein mal vor und um das jetzt zu erklären, muss ich ein bisschen ausholen. Mal angenommen das ist eine Box und da sind diese 20 Zettel mit den Zahlen von 1-20 drin. Angenommen wir wollen 3 mal ziehen und wie ziehen mit Reihenfolge, dann wissen wir schon, wie viele Möglichkeiten es gibt, nämlich 20!/(20-3)!, habe ich schon gezeigt. Das ist aber Ziehen mit Reihenfolge. Ich möchte jetzt zeigen, wie ist es ohne Reihenfolge. Um das zu verstehen, kann man sich nun Folgendes vorstellen: Wir schreiben alle Möglichkeiten auf, die es gibt wenn man 3 mal zieht, von 20 Zetteln mit Reihenfolge zunächst mal. Dann könnten wir also ziehen (1,2,3). Wir könnten aber auch ziehen (1,3,2), das ist alles mit Reihenfolge, das müssen wir unterscheiden hier. Wir könnten ziehen (2,1,3) oder auch (2,3,1) oder auch (3,1,2) oder auch (3,2,1). Dann könnten wir ziehen (1,2,4); (1,4,2); da kommen überall Kommata hin, (2,1,4) und so weiter, ich glaube du hast verstanden, wie das weitergeht. Wenn wir das jetzt alles aufgeschrieben haben, haben wir dann alle Möglichkeiten 3 mal Ziehen aus 20 mit Reihenfolge. Jetzt wollen wir es aber ohne Reihenfolge haben und dann soll also z. B. bei den ersten 3 Zahlen nur interessant sein, haben wir jetzt diese 3 Zahlen gezogen, egal in welcher Reihenfolge, das ist wie beim Kartenspielen, da ist es nicht interessant in welcher Reihenfolge hat man die Karten bekommen, sondern welche Karten hat man auf der Hand. Habe ich hier die 1, 2 und die 3 oder habe ich hier die 1, 2 und die 4 oder die 1, die 4 und die 5, das ist nur interessant, das ist ohne Reihenfolge jetzt. Ich kann mir ja angucken, wie oft kommen denn die Zahlen oder Karten 1, 2, 3 in dieser Liste vor. Sie kommen 6 mal vor. Die Zahlen 1, 2 und 4 kommen auch 6 mal vor. Die Zahlen 18, 11 und 9, also diese 3er Menge hier, die wird auch 6 mal vorkommen. Was kann ich also machen? Ich nehme also die Anzahl der Möglichkeiten ohne Zurücklegen mit Reihenfolge und teile durch 6 und dann habe ich die Anzahl der Möglichkeiten, Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge. Die 6 kommt nicht von ungefähr, die 6 ist die Anzahl der Möglichkeiten diese 3 Elemente zu kombinieren. Es ist also die Anzahl der Permutationen, diese berechnet man mit 3!, haben wir schon gemacht, zeige ich jetzt an der Stelle nicht. Das bedeutet, ich nehme also 6!/(6-3)! das ist "Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge" und dann muss ich noch teilen durch die Anzahl der Permutationen, also die Anzahl der verschiedenen Anordnungen, denn die möchte ich jetzt nicht berücksichtigen. Also muss ich durch 6 teilen und das ist 3! Anzahl der Anordnungen von 3 Elementen ist 3! und wenn ich jetzt diesen Bruch hier noch mal durch 3! teile, dann muss ich ja nur noch mal 3! in den Nenner schreiben. Ich hoffe das bringt dich jetzt nicht durcheinander, das macht man in der Bruchrechnung so und das erkläre ich jetzt hier auch nicht. So, und allgemein kann man dann Folgendes dazu sagen: Wir haben n Teile, n Lose, n Objekte in einer Box und wir ziehen k mal und müssen dann eben rechnen: n!/((n-k)!×k!). Und weil das so häufig vorkommt und auch noch aus vielen anderen Gründen, gibt es hierfür eine andere Schreibweise und die sieht so aus: n über k und so wird sie auch gesprochen, n über k. Das ist kein Bruch, das ist nur n über k. n über k ist genau so definiert und das ist die Lage zum "Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge". Ist übrigens hier diese Lottosituation, ich möchte es eben zeigen, es wird jetzt laut, das Lottogerät hier ist laut. Also, es wird gemischt und dann wird eine Kugel gezogen, noch eine, noch eine. Das waren jetzt 7, eine muss wieder zurück und jetzt ist es hierbei eben nicht interessant, in welcher Reihenfolge sind die Kugeln gezogen worden, sondern es ist nur interessant, welche Kugeln sind gezogen worden. Es sind also hier die 41 und die 26, die 8, ja ich weiß, wie Lotto geht, ich zeige das jetzt nicht von Nahem hier, das ist ja 11, ich wollte es nur eben kurz vorgemacht haben und 30. Also letzten Endes ist eben interessant, hast du diese Zahlen angekreuzt oder nicht und nicht in welcher Reihenfolge sind sie gezogen worden. Man zieht übrigens ohne Zurücklegen, die Kugeln werden ja zwischendurch nicht wieder zurückgelegt. Also das ist diese Lottosituation. Dann möchte ich gerne die Grundsituation vorstellen, des Verteilens von nicht unterscheidbaren Teilchen auf Boxen mit begrenztem Fassungsvermögen und das mache ich hier mal mit diesen Gläsern. Das sind Boxen mit begrenztem Fassungsvermögen, da kann immer nur ein Teil rein. Als Teile habe ich mir hier diese Bällchen ausgesucht und jetzt passiert Folgendes: Ich nehme also den 1. Ball und suche mir etwas aus, darf es irgendwo reinlegen, da zum Beispiel. Jetzt ist hier voll, da kann ich nichts mehr reinlegen. Da kann ich was reinlegen, und da, und da, zum Beispiel. Also, ich habe jetzt 4 Bälle auf 7 Boxen verteilt und die Frage ist, wie viele Möglichkeiten gibt es dafür. Das sind 7 über 4. Ich stelle es mal ein bisschen weiter weg, dann kannst du besser sehen, was ich hier geschrieben habe. Das ist 7!/((7-4)!×4!) und da brauchst du auch nicht unbedingt den Taschenrechner dafür, das kann man fast so ausrechnen. Ich werde das mal eben probieren, wir haben 7×6×5×4, das ist dann 7!/(7-4)! und das muss ja jetzt noch geteilt werden durch 4!, also geteilt durch 4×3×2×1 und wenn du jetzt ein bisschen kürzen kannst, bitte, hier ist die 4, die wird gekürzt, 3×2 ist 6, es bleibt übrig 35. Da habe ich mich jetzt nicht angestrengt bei 7×5. Ich sage das nur deshalb, du kannst auch hier ruhig was ohne Taschenrechner rechnen, um die grauen Zellen da nicht einschlafen zu lassen. Für diese Grundsituation ist es noch ganz nützlich, sich vorzustellen, was sind denn die Ergebnisse? Es sind Siebentupel und bei diesen Siebentupeln ist nur interessant, ist da was drin, oder ist nichts drin? Das heißt, wir haben eine Folge von Einsen und Nullen und das ist ein sehr, sehr wichtiger Fall. Und weil er so wichtig ist, deshalb wollte ich das hier noch mal ganz plakativ mit den Bällen und den Gläsern vormachen. Dieser Fall, wie viele Möglichkeiten gibt es, ein n-Tupel, z. B. hier ein Siebentupel, also 7 Positionen mit Nullen und Einsen zu füllen? Diese Fragestellung ist eine sehr, sehr wichtige Fragestellung und deshalb hier das Anschauungsobjekt und jetzt kommt das, wie es dann aussieht. Naja, das sind halt Folgen von Nullen und Einsen, endliche Folgen. Ach so, jetzt habe ich immer eine 1, eine 0, fällt mir jetzt erst auf. 1, 0, 1, so. 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, das ist das, was ich hier fast zufällig, so zufällig, wie es mir möglich war, gewählt habe. Ja, und das war dieser Fall "Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge". Viel Spaß damit, tschüss!