Mittelpunkt einer Strecke berechnen

Mittelpunkt einer Strecke berechnen Übung

• Bestimme die Formel zur Berechnung des Mittelpunktes zwischen $2$ Punkten.

  Tipps

  Der Mittelpunkt halbiert die Strecke durch die beiden Punkte. Er befindet sich genau in der Mitte zwischen den Punkten.

  Hier ein anderes Beispiel: $P_1(2\vert 4)$; $P_2(4\vert 8)$; $M(3\vert 6)$.

  Mithilfe der Formel wird nicht der Abstand der Punkte vom Mittelpunkt berechnet.

  Lösung

  Der Mittelpunkt zwischen $2$ Punkten halbiert die Strecke. Um den Mittelpunkt bestimmen zu können, benötigt man die Mittelpunkte der $x$-Koordinaten und $y$-Koordinaten. Für den Mittelpunkt der $x$-Koordinaten addiert man die $x$-Koordinaten der beiden Punkte miteinander (dabei musst du immer auf die Vorzeichen achten) und halbiert diese anschließend.

  Für den $x$-Wert ergibt sich demnach folgende Formel:

  $x=\frac{x_1+x_2}2$.

  Für den $y$-Wert ergibt sich die Formel:

  $y=\frac{y_1+y_2}2$.

  Es folgt eine beispielhafte Rechnung für $P_1(1\vert 2)$ und $P_2(11\vert 8)$.

  Es gilt:

  $P_1(x_1\vert y_1)=P_1(1\vert 2)$ und

  $P_2(x_2\vert y_2)=P_2(11\vert 8)$.

  Wir setzen diese in die Formel ein:

  $x=\frac{x_1+x_2}2=\frac{1+11}2=\frac{12}2=6$ und

  $y=\frac{y_1+y_2}2=\frac{2+8}2=\frac{10}2=5$.

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M (x\vert y)=(6\vert 5)$ der Strecke $\overline{P_1P_2}$.

  Der Mittelpunkt liegt bei den Mittelwerten der $x$- und der $y$-Koordinaten der einzelnen Punkte. Aus diesem Grund addiert man zuerst die jeweiligen $x$- bzw. $y$-Koordinaten der Punkte miteinander, bevor man durch $2$ dividiert. Subtrahiert man die Werte voneinander so bekommt man die Länge des Abstandes der jeweiligen Werte vom Mittelpunkt.

  Die beiden Formeln:

  $x=\frac{x_1+x_2}2$ und

  $y=\frac{y_1+y_2}2$

  sind richtig. Wie bereits erklärt.

  Die beiden Formeln:

  $x=\frac{x_1\cdot x_2}2$ und

  $y=\frac{y_1\cdot y_2}2$

  sind falsch. Die einzelnen Koordinaten müssen addiert und nicht multipliziert werden.

  Die beiden Formeln:

  $y=\frac{2}{y_1+y_2}$ und

  $x=\frac{2}{x_1+x_2}$

  sind falsch, da sie Zähler und Nenner des korrekten Bruchs vertauschen.

• Berechne die gesuchten Mittelpunkte.

  Tipps

  Der Mittelpunkt einer Strecke zwischen $2$ Punkten befindet sich genau in der Mitte zwischen beiden Punkten. Um diesen zu erhalten, addiert man die beiden $x$- bzw. $y$-Koordinaten und halbiert das Ergebnis.

  Formel für die Berechnung der $x$-Koordinate:

  $x=\frac{x_1+x_2}{2}$.

  Beispielhafte Rechnung:

  $P_1(x_1\vert y_1)=(2\vert 3)$

  $P_2(x_2\vert y_2)=(5\vert 6)$

  $x=\frac{2+5}{2}=\frac{7}{2}=3,5$

  Die $x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $x=3,5$.

  $P_1(x_1\vert y_1)=(2\vert 6)$

  $P_2(x_2\vert y_1)=(2\vert 1)$

  $x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $x=2$.

  Lösung

  Der Mittelpunkt einer Strecke zwischen $2$ Punkten halbiert die Strecke genau in der Mitte. Die Punkte $P_1$ und $P_2$ haben vom Mittelpunkt denselben Abstand.

  Für die Berechnung des Mittelpunktes $M_1$ der sich zwischen $P_1$ und $P_2$ befindet, benötigen wir unsere Formeln zur Berechnung der Mittelpunkte der $x$- und $y$-Koordinaten:

  $x=\frac{x_1+x_2}2$ und $y=\frac{y_1+y_2}2$.

  Wir nehmen die $x$-Koordinate von:

  $P_1$ mit $P_1(x_1\vert y_1)=(1\vert 2)$ und

  $P_2$ mit $P_2(x_2\vert y_2)=(11\vert 8)$

  und setzen sie in unsere Formel ein:

  $x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1+11}2=\frac{12}{2}=6$.

  Wir erhalten die $x$-Koordinate $x=6$ von unserem Mittelpunkt $M_1$.

  Das Gleiche machen wir mit unseren $y$-Koordinaten:

  $y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$.

  Somit bekommen wir unseren Mittelpunkt $M_1(6\vert 5)$.

  Für $M_2$ wählen wir $P_2$ und $P_3$ aus mit:

  $P_2(x_1\vert y_1)=(11\vert 8)$ und

  $P_3(x_2\vert y_2)=(-3\vert 12)$.

  Beim Einsetzen der $x$-Koordinaten $x_1=11$ und $x_2=-3$ müssen wir das Vorzeichen beachten:

  $x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{11+ (-3)}2=\frac{8}{2}=4$

  und erhalten als Lösung den $x$-Wert:

  $x=4$.

  Nun berechnet man die $y$-Koordinate mit:

  $y_1=8$ und

  $y_2=12$.

  Wir setzen in die Formel ein und erhalten:

  $y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{8+12}{2}=\frac{20}{2}=10$.

  Die entsprechenden Koordinaten des Mittelpunktes $M_2$ lauten $M_2(4\vert 10)$.

  $P_3$ und $P_4$ haben dieselbe $x$-Koordinate, sodass wir diese einfach übernehmen können.

  $P_3(x_1\vert y_1)=(-3\vert 12)$ und

  $P_4(x_2\vert y_2)=(-3\vert 17)$

  Die $x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $x=-3$.

  Wir setzen in die Formel zur Berechnung der $y$-Koordinate ein:

  $y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{12+17}{2}=\frac{29}{2}=14,5$

  und erhalten:

  $y=14,5$.

  Die Koordinaten für den Mittelpunkt $M_3$ lauten $M_3(-3\vert 14,5)$.

• Ermittle die Mittelpunkte $M$ der Strecken $\overline{AB}$.

  Tipps

  Achte beim Einsetzen der Koordinaten auf die Vorzeichen!

  Formel für die Berechnung der $x$-Koordinate:

  $x=\frac{x_1+x_2}{2}$.

  Die Formel für die $y$-Koordinate kann analog aufgestellt werden.

  Beispiel:

  $P_1(x_1\vert y_2)=(2\vert 4)$

  $P_2(x_2\vert y_2)=(-6\vert -8)$

  $x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{2+(-6)}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

  Die $x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $-2$.

  Die $y$-Koordinate kann analog berechnet werden.

  Lösung

  Um den Mittelpunkt zwischen $2$ Punkten zu bestimmen, benötigen wir die beiden Formeln zur Bestimmung der Mittelpunkte der $x$- und $y$-Koordinaten:

  $x=\frac{x_1+x_2}2$ und

  $y=\frac{y_1+y_2}2$.

  Unsere ersten beiden Punkte lauten $A_1(x_1\vert y_2)=(1\vert 2)$ und $B_1(x_2\vert y_2)=(4\vert 10)$.

  Wir setzen $A_1$ mit $x_1=1$ und $B_1$ mit $x_2=4$ in die Formel ein:

  $x=\frac{1+4}2=\frac{5}{2}=2,5$.

  Für unseren $x$-Wert erhalten wir also $x=2,5$.

  Wir verfahren für den $y$-Wert genauso:

  $y_1=2$ und

  $y_2=10$.

  Wir setzen beide Werte ein und erhalten:

  $y=\frac{2+10}2=\frac{12}{2}=6$.

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(2,5\vert 6)$. Wichtig ist dabei, dass man die Koordinaten desselben Punktes als $x_1$ und $y_1$ wählt.

  Die anderen Mittelpunkte werden genauso bestimmt.

  Wir setzen $A_2(x_1\vert y_1)=(-2\vert 4)$ und $B_2(x_2\vert y_2)=(6\vert 8)$ in die Formel ein:

  Einsetzen der $x$-Koordinaten:

  $x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-2+6}2=\frac{4}2=2$ und

  Einsetzen der $y$-Koordinaten:

  $y=\frac{y_1+y_2}{2}\frac{4+8}2=\frac{12}2=6$

  Der Mittelpunkt lautet $M(2\vert 6)$.

  Wir setzen $A_3(x_1\vert y_1)=(-4\vert -3)$ und $B_3(x_2\vert y_2)=(-6\vert 5)$ in die Formel ein.

  Einsetzen der $x$-Koordinaten:

  $x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{(-4)+(-6)}2 =\frac{(-10)}2 =-5$ und

  Einsetzen der $y$-Koordinaten:

  $y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{(-3)+5}2 =\frac{2}2 =1$

  Der Mittelpunkt lautet $M(-5\vert 1)$.

  Wir setzen $A_4(x_1\vert y_1)=(11\vert 2)$ und $B_4(x_2\vert y_2)=(5\vert -2)$ in die Formel ein:

  Einsetzen der $x$-Koordinaten:

  $x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{11+5}2 =\frac{16}2 =8$ und

  Einsetzen der $y$-Koordinaten:

  $y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{2+(-2)}2 =\frac{0}2 =0$

  Der Mittelpunkt lautet $M(8\vert 0)$.

• Bestimme den Mittelpunkt der abgebildeten Punkte.

  Tipps

  Bei Punkt $P_1$ ist der $x$-Wert $2$ und der $y$-Wert $4$.

  Denke daran, dass der $x$-Wert auf der waagrechten Achse der vordere Eintrag beim Punkt $P$ ist.

  Lösung

  1.) Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab. Mit:

  $P_1(x_1\vert y_1)$ = $P_1(-1\vert 1)$ und

  $P_2(x_2\vert y_2)$=$P_2(1\vert 3)$.

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\frac{(-1)+1}2=\frac{0}2=0$ und

  $y=\frac{1+3}2=\frac{4}2=2$.

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(0\vert 2)$.

  2.) Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab. Mit:

  $P_1(x_1\vert y_1)$=$P_1(-1\vert -2)$ und

  $P_2(x_2\vert y_2)$=$P_2(3\vert 1)$.

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\frac{(-1)+3}2=\frac{2}2=1$ und

  $y=\frac{(-2)+1}2=\frac{-1}2=-0,5$.

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(1\vert -0,5)$.

  3.) Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab. Mit:

  $P_1(x_1\vert y_1)$=$P_1(4\vert 3)$ und

  $P_2(x_2\vert y_2)$=$P_2(-4\vert 0)$.

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\frac{4+(-4)}2=\frac{0}2=0$ und

  $y=\frac{3+0}2=\frac{3}2=-1,5$.

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(0\vert -1,5)$.

  4.) Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab. Mit:

  $P_1(x_1\vert y_1)$=$P_1(3\vert -3)$ und

  $P_2(x_2\vert y_2)$=$P_2(-3\vert 2)$.

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\frac{3+(-3)}2=\frac{0}2=0$ und

  $y=\frac{(-3)+2}2=\frac{-1}2=-0,5$.

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(0\vert -0,5)$.

• Beschreibe die Eigenschaften des Mittelpunktes einer Strecke.

  Tipps

  $M=(\frac{x_1+x_2}{2}\vert \frac{y_1+y_2}{2})$

  Lösung

  Der Mittelpunkt $M$ einer Strecke $\overline{AB}$ halbiert diese, da sich der Mittelpunkt genau in der Mitte zwischen den zwei Punkten $A$ und $B$ befindet. Deshalb sind die Strecken $\overline{AM}$ und $\overline{MB}$ gleich lang.

  Die Aussagen „Der Mittelpunkt einer Strecke halbiert die Strecke.“ und „Ist $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$, so sind die Strecken $\overline{AM}$ und $\overline{BM}$ gleich lang.“ sind richtig.

  Um die Koordinaten für den Mittelpunkt bestimmen zu können muss man die entsprechenden Koordinaten ($x$-Koordinaten bzw. $y$-Koordinaten) miteinander addieren und anschließend davon die Hälfte nehmen. Die Berechnung für den Mittelpunkt lautet $M(\frac{x_1+x_2}2\vert\frac{y_1+y_2}2)$.

  Die Aussagen „Die Formel zur Bestimmung des Mittelpunktes lautet $M(\frac{x_1+x_2}4\vert\frac{y_1+y_2}4)$“ und „Der Mittelpunkt einer Strecke viertelt die Strecke.“ sind falsch.

• Leite den Mittelpunkt der gegebenen Punkte her.

  Tipps

  Der Abstand von den beiden Punkten $P_5$ und $P_6$ zum Mittelpunkt $M$ ist gleich lang.

  Lösung

  1.) Der Lückentext liefert uns die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ mit:

  $P_1(x_1\vert y_1)$=$P_1(1\vert 1)$ und

  $P_2(x_2\vert y_2)$=$P_2(5\vert 3)$.

  Wir setzen diese in die Formel ein:

  $x=\frac{1+5}2=\frac{6}2=3$ und

  $y=\frac{1+3}2=\frac{4}2=2$.

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(3\vert 2)$ der Strecke $\overline{P_1P_2}$.

  2.) Der Lückentext liefert uns die beiden Punkte $P_3$ und $P_4$ mit:

  $P_3(x_1\vert y_1)$=$P_3(2\vert -2)$ und

  $P_4(x_2\vert y_2)$=$P_4(-3\vert 3)$.

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\frac{2+(-3)}2=\frac{-1}2=-0,5$ und

  $y=\frac{(-2)+3}2=\frac{1}2=0,5$.

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(-0,5\vert 0,5)$.

  3.) $P_4$ ist unser Startpunkt und $P_5$ unser Zielpunkt.

  $P_4(x_1\vert y_1)$=$P_4(-3\vert 3)$ und

  $P_5(x_2\vert y_2)$=$P_5(-1\vert 4)$.

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\frac{(-3)+(-1)}2=\frac{-4}2=-2$ und

  $y=\frac{3+4}2=\frac{7}2=3,5$.

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(-2\vert 3,5)$.

  4.) Der Startpunkt liegt bei $P_5(-1\vert 4)$ und der Mittelpunkt bei $M(-0,5\vert 2)$.

  Da $P_5$ und $P_6$ denselben Abstand vom Mittelpunkt $M$ haben müssen (Eigenschaften des Mittelpunktes – Ist M der Mittelpunkt der Strecke $\overline{P_5P_6}$, so sind die Strecken $\overline{P_5M}$ und $\overline{P_6M}$ gleich lang.).

  Der Abstand ($m_1$) bzw. die Differenz der $x$-Koordinaten von $P_5$ mit $x=-1$ und $M$ mit $x=-0,5$ beträgt $-0,5$:

  Rechnung: $m_1=-1-(-0,5)=-0,5$.

  Wir wissen nun, dass $x_6$ vom Punkt $P_6(x_6\vert y_6)$ bei $x = 0$ liegen muss:

  Rechnung: $x=0,5-0,5=0$.

  Wir ziehen von unserer $x$-Koordinate des Mittelpunktes ($x=0,5$) den vorher berechneten Betrag ($-0,5$) ab.

  Nun fehlt noch die $y$-Koordinate, auch hier schauen wir uns den Abstand ($m_2$)von $P_5$ zum Mittelpunkt $M(-0,5\vert 2)$ an:

  Rechnung: $m_2=4-2=2$.

  Der Abstand beträgt $2$, man subtrahiert den Abstand von $2$ von der $y$-Koordinate des Mittelpunktes und erhält den fehlenden $y$-Wert von $P_6$.

  Rechnung: $y=2-2=0$

  Punkt $P_6$ hat die Koordinaten $P_6(0\vert 0)$.