Mittelpunkt einer Strecke berechnen
Beschreibung Mittelpunkt einer Strecke berechnen
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Mittelpunkt einer Strecke im Koordinatensystem zu berechnen.
Zunächst lernst du, mit welcher Beziehung du den Mittelpunkt einer Strecke unter bekannten Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt der Strecke berechnen kannst. Anschließend übst du die Berechnung an einigen Beispielen. Abschließend lernst du, was du beachten musst, wenn zum einen Koordinaten mit unterschiedlichen Vorzeichen und zum anderen identische Koordinaten vorliegen.
Lerne, wie du den Mittelpunkt einer Strecke in einem Koordinatensystem berechnen kannst, indem du Imke begleitest.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Mittelpunkt einer Strecke, Koordinaten, Vorzeichen und identische Koordinaten.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnest und abliest.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Berechnung des Abstands zweier Punkte zu lernen.
Transkript Mittelpunkt einer Strecke berechnen
Imke ist eine passionierte Bergsteigerin und eine Hobbyornithologin. Du weißt schon: Sie mag Vögel. Imke möchte einen sehr seltenen Vogel beobachten, der am Mount Massive in Colorado gesichtet wurde. Ein mühevoller Aufstieg, den Imke genau planen muss. Der Weg zum Nest ist in drei Abschnitte eingeteilt. Für den Aufstieg braucht Imke Karabiner, um damit ihr Seil an verschiedenen Punkten entlang des Weges zu sichern. Um diese Stellen zu bestimmen, kann Imke die Mittelpunkte von Strecken berechnen. Schauen wir uns eine Karte der Strecke an. Siehst du das Koordinatensystem? Wir haben die Koordinaten für den Startpunkt und für drei Aussichtspunkte. Auf zum ersten Abschnitt! Imke möchte entlang des Wegs drei Punkte mit den gleichen Abständen für ihre Karabiner bestimmen. Der Startpunkt liegt in P1 bei (1|2). Der erste Aussichtspunkt in P2 bei (11|8). Oder, etwas abstrakter: Die Koordinaten der Punkte sind (x1|y1) und (x2|y2). Den Mittelpunkt zwischen den Punkten berechnest du so: Addiere die beiden x-Werte der Punkte und teile die Summe durch 2, um die x-Koordinate zu erhalten. Addiere die beiden y-Werte und teile wieder die Summe durch 2, für die y-Koordinate des Mittelpunktes. Wir setzen die Koordinaten von P1(1|2) und P2(11|8) für x1, x2, y1 und y2 ein. Das vereinfachst du nun, um den Mittelpunkt des ersten Abschnitts zu finden. Imke sollte ihren Karabiner im Punkt M (6|5) befestigen. Um den Mittelpunkt zwischen M und dem Startpunkt P1 zu berechnen, bezeichnen wir M nun mit P2, also dem Endpunkt der Strecke. Wir wissen ja, dass der Startpunkt P1 die Koordinaten (1|2) hat. Also setzten wir die x- und y-Werte des Startpunktes und des neuen Endpunktes ein: (1|2) und (6|5). Wir vereinfachen. Imke muss einen Karabiner im Punkt M (3,5|3,5) anbringen. Wo muss Imke den letzten Karabiner in diesen Abschnitt anbringen? Unser zuerst berechneter Mittelpunktes ist jetzt unser Startpunkt P1, der erste Aussichtspunkt unser Endpunkt P2. Wir müssen also die Koordinaten (6|5) und (11|8) nutzen, um den letzten Mittelpunkt zu berechnen. Jetzt noch ausrechnen… Der dritte Karabiner muss im Punkt M (8,5|6,5) befestigt werden. Toll! Wir haben die Position von drei Punkten, die im gleichen Abstand zueinander liegen, berechnet. Zunächst haben wir die Strecke halbiert und dann die beiden Hälften nochmal halbiert. Imke weiß jetzt genau, wo die Karabiner angebracht werden müssen. Sie hat vor, die Nacht exakt in der Mitte zwischen dem ersten und dem zweiten Aussichtspunkt zu verbringen. Der erste Aussichtspunkt liegt in P1 bei (11|8), der Zweite in P2 bei (-3|12).Den Platz für Imkes Nachtlager kannst du ganz einfach herausfinden; setze die Koordinaten der beiden Aussichtspunkte in die Formel ein. Achte auf die Vorzeichen! Süße Träume bei M (4|10), Imke. Imke fühlt sich frisch wie der junge Morgen und kann den letzten Abschnitt in Angriff nehmen. Das Nest liegt genau in der Mitte zwischen dem zweiten Aussichtspunkt in P1 bei (-3|12) und dem Punkt P2 (-3|17). Imke kann wieder die Formel für die Berechnung des Mittelpunktes benutzen. Dieses Mal sind aber zwei Koordinaten identisch. Beide Punkte haben den gleichen x-Wert, also wird auch der Mittelpunkt diesen x-Wert haben, nämlich -3. Imke muss also nur den y-Wert berechnen, nämlich den Mittelwert von 12 und 17, und der ist 14,5. Endlich, Imke hat es fast geschafft... Nur noch … einen kleines… Stück… Oh!!! Kleine Babyvögel. Sind die nicht niedlich? Oh nein!!! Es ist die Mutter. Und sie scheint alles andere als erfreut zu sein.
Mittelpunkt einer Strecke berechnen Übung
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Bestimme die Formel zur Berechnung des Mittelpunktes zwischen $2$ Punkten.
TippsDer Mittelpunkt halbiert die Strecke durch die beiden Punkte. Er befindet sich genau in der Mitte zwischen den Punkten.
Hier ein anderes Beispiel: $P_1(2\vert 4)$; $P_2(4\vert 8)$; $M(3\vert 6)$.
Mithilfe der Formel wird nicht der Abstand der Punkte vom Mittelpunkt berechnet.
LösungDer Mittelpunkt zwischen $2$ Punkten halbiert die Strecke. Um den Mittelpunkt bestimmen zu können, benötigt man die Mittelpunkte der $x$-Koordinaten und $y$-Koordinaten. Für den Mittelpunkt der $x$-Koordinaten addiert man die $x$-Koordinaten der beiden Punkte miteinander (dabei musst du immer auf die Vorzeichen achten) und halbiert diese anschließend.
Für den $x$-Wert ergibt sich demnach folgende Formel:
$x=\frac{x_1+x_2}2$.
Für den $y$-Wert ergibt sich die Formel:
$y=\frac{y_1+y_2}2$.
Es folgt eine beispielhafte Rechnung für $P_1(1\vert 2)$ und $P_2(11\vert 8)$.
Es gilt:
$P_1(x_1\vert y_1)=P_1(1\vert 2)$ und
$P_2(x_2\vert y_2)=P_2(11\vert 8)$.
Wir setzen diese in die Formel ein:
$x=\frac{x_1+x_2}2=\frac{1+11}2=\frac{12}2=6$ und
$y=\frac{y_1+y_2}2=\frac{2+8}2=\frac{10}2=5$.
Wir erhalten den Mittelpunkt $M (x\vert y)=(6\vert 5)$ der Strecke $\overline{P_1P_2}$.
Der Mittelpunkt liegt bei den Mittelwerten der $x$- und der $y$-Koordinaten der einzelnen Punkte. Aus diesem Grund addiert man zuerst die jeweiligen $x$- bzw. $y$-Koordinaten der Punkte miteinander, bevor man durch $2$ dividiert. Subtrahiert man die Werte voneinander so bekommt man die Länge des Abstandes der jeweiligen Werte vom Mittelpunkt.
Die beiden Formeln:
$x=\frac{x_1+x_2}2$ und
$y=\frac{y_1+y_2}2$
sind richtig. Wie bereits erklärt.
Die beiden Formeln:
$x=\frac{x_1\cdot x_2}2$ und
$y=\frac{y_1\cdot y_2}2$
sind falsch. Die einzelnen Koordinaten müssen addiert und nicht multipliziert werden.
Die beiden Formeln:
$y=\frac{2}{y_1+y_2}$ und
$x=\frac{2}{x_1+x_2}$
sind falsch, da sie Zähler und Nenner des korrekten Bruchs vertauschen.
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Berechne die gesuchten Mittelpunkte.
TippsDer Mittelpunkt einer Strecke zwischen $2$ Punkten befindet sich genau in der Mitte zwischen beiden Punkten. Um diesen zu erhalten, addiert man die beiden $x$- bzw. $y$-Koordinaten und halbiert das Ergebnis.
Formel für die Berechnung der $x$-Koordinate:
$x=\frac{x_1+x_2}{2}$.
Beispielhafte Rechnung:
$P_1(x_1\vert y_1)=(2\vert 3)$
$P_2(x_2\vert y_2)=(5\vert 6)$
$x=\frac{2+5}{2}=\frac{7}{2}=3,5$
Die $x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $x=3,5$.
$P_1(x_1\vert y_1)=(2\vert 6)$
$P_2(x_2\vert y_1)=(2\vert 1)$
$x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $x=2$.
LösungDer Mittelpunkt einer Strecke zwischen $2$ Punkten halbiert die Strecke genau in der Mitte. Die Punkte $P_1$ und $P_2$ haben vom Mittelpunkt denselben Abstand.
Für die Berechnung des Mittelpunktes $M_1$ der sich zwischen $P_1$ und $P_2$ befindet, benötigen wir unsere Formeln zur Berechnung der Mittelpunkte der $x$- und $y$-Koordinaten:
$x=\frac{x_1+x_2}2$ und $y=\frac{y_1+y_2}2$.
Wir nehmen die $x$-Koordinate von:
$P_1$ mit $P_1(x_1\vert y_1)=(1\vert 2)$ und
$P_2$ mit $P_2(x_2\vert y_2)=(11\vert 8)$
und setzen sie in unsere Formel ein:
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1+11}2=\frac{12}{2}=6$.
Wir erhalten die $x$-Koordinate $x=6$ von unserem Mittelpunkt $M_1$.
Das Gleiche machen wir mit unseren $y$-Koordinaten:
$y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$.
Somit bekommen wir unseren Mittelpunkt $M_1(6\vert 5)$.
Für $M_2$ wählen wir $P_2$ und $P_3$ aus mit:
$P_2(x_1\vert y_1)=(11\vert 8)$ und
$P_3(x_2\vert y_2)=(-3\vert 12)$.
Beim Einsetzen der $x$-Koordinaten $x_1=11$ und $x_2=-3$ müssen wir das Vorzeichen beachten:
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{11+ (-3)}2=\frac{8}{2}=4$
und erhalten als Lösung den $x$-Wert:
$x=4$.
Nun berechnet man die $y$-Koordinate mit:
$y_1=8$ und
$y_2=12$.
Wir setzen in die Formel ein und erhalten:
$y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{8+12}{2}=\frac{20}{2}=10$.
Die entsprechenden Koordinaten des Mittelpunktes $M_2$ lauten $M_2(4\vert 10)$.
$P_3$ und $P_4$ haben dieselbe $x$-Koordinate, sodass wir diese einfach übernehmen können.
$P_3(x_1\vert y_1)=(-3\vert 12)$ und
$P_4(x_2\vert y_2)=(-3\vert 17)$
Die $x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $x=-3$.
Wir setzen in die Formel zur Berechnung der $y$-Koordinate ein:
$y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{12+17}{2}=\frac{29}{2}=14,5$
und erhalten:
$y=14,5$.
Die Koordinaten für den Mittelpunkt $M_3$ lauten $M_3(-3\vert 14,5)$.
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Ermittle die Mittelpunkte $M$ der Strecken $\overline{AB}$.
TippsAchte beim Einsetzen der Koordinaten auf die Vorzeichen!
Formel für die Berechnung der $x$-Koordinate:
$x=\frac{x_1+x_2}{2}$.
Die Formel für die $y$-Koordinate kann analog aufgestellt werden.
Beispiel:
$P_1(x_1\vert y_2)=(2\vert 4)$
$P_2(x_2\vert y_2)=(-6\vert -8)$
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{2+(-6)}{2}=\frac{-4}{2}=-2$
Die $x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $-2$.
Die $y$-Koordinate kann analog berechnet werden.
LösungUm den Mittelpunkt zwischen $2$ Punkten zu bestimmen, benötigen wir die beiden Formeln zur Bestimmung der Mittelpunkte der $x$- und $y$-Koordinaten:
$x=\frac{x_1+x_2}2$ und
$y=\frac{y_1+y_2}2$.
Unsere ersten beiden Punkte lauten $A_1(x_1\vert y_2)=(1\vert 2)$ und $B_1(x_2\vert y_2)=(4\vert 10)$.
Wir setzen $A_1$ mit $x_1=1$ und $B_1$ mit $x_2=4$ in die Formel ein:
$x=\frac{1+4}2=\frac{5}{2}=2,5$.
Für unseren $x$-Wert erhalten wir also $x=2,5$.
Wir verfahren für den $y$-Wert genauso:
$y_1=2$ und
$y_2=10$.
Wir setzen beide Werte ein und erhalten:
$y=\frac{2+10}2=\frac{12}{2}=6$.
Wir erhalten den Mittelpunkt $M(2,5\vert 6)$. Wichtig ist dabei, dass man die Koordinaten desselben Punktes als $x_1$ und $y_1$ wählt.
Die anderen Mittelpunkte werden genauso bestimmt.
Wir setzen $A_2(x_1\vert y_1)=(-2\vert 4)$ und $B_2(x_2\vert y_2)=(6\vert 8)$ in die Formel ein:
Einsetzen der $x$-Koordinaten:
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-2+6}2=\frac{4}2=2$ und
Einsetzen der $y$-Koordinaten:
$y=\frac{y_1+y_2}{2}\frac{4+8}2=\frac{12}2=6$
Der Mittelpunkt lautet $M(2\vert 6)$.
Wir setzen $A_3(x_1\vert y_1)=(-4\vert -3)$ und $B_3(x_2\vert y_2)=(-6\vert 5)$ in die Formel ein.
Einsetzen der $x$-Koordinaten:
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{(-4)+(-6)}2 =\frac{(-10)}2 =-5$ und
Einsetzen der $y$-Koordinaten:
$y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{(-3)+5}2 =\frac{2}2 =1$
Der Mittelpunkt lautet $M(-5\vert 1)$.
Wir setzen $A_4(x_1\vert y_1)=(11\vert 2)$ und $B_4(x_2\vert y_2)=(5\vert -2)$ in die Formel ein:
Einsetzen der $x$-Koordinaten:
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{11+5}2 =\frac{16}2 =8$ und
Einsetzen der $y$-Koordinaten:
$y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{2+(-2)}2 =\frac{0}2 =0$
Der Mittelpunkt lautet $M(8\vert 0)$.
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Bestimme den Mittelpunkt der abgebildeten Punkte.
TippsBei Punkt $P_1$ ist der $x$-Wert $2$ und der $y$-Wert $4$.
Denke daran, dass der $x$-Wert auf der waagrechten Achse der vordere Eintrag beim Punkt $P$ ist.
Lösung1.) Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab. Mit:
$P_1(x_1\vert y_1)$ = $P_1(-1\vert 1)$ und
$P_2(x_2\vert y_2)$=$P_2(1\vert 3)$.
Wir setzen in die Formel ein:
$x=\frac{(-1)+1}2=\frac{0}2=0$ und
$y=\frac{1+3}2=\frac{4}2=2$.
Wir erhalten den Mittelpunkt $M(0\vert 2)$.
2.) Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab. Mit:
$P_1(x_1\vert y_1)$=$P_1(-1\vert -2)$ und
$P_2(x_2\vert y_2)$=$P_2(3\vert 1)$.
Wir setzen in die Formel ein:
$x=\frac{(-1)+3}2=\frac{2}2=1$ und
$y=\frac{(-2)+1}2=\frac{-1}2=-0,5$.
Wir erhalten den Mittelpunkt $M(1\vert -0,5)$.
3.) Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab. Mit:
$P_1(x_1\vert y_1)$=$P_1(4\vert 3)$ und
$P_2(x_2\vert y_2)$=$P_2(-4\vert 0)$.
Wir setzen in die Formel ein:
$x=\frac{4+(-4)}2=\frac{0}2=0$ und
$y=\frac{3+0}2=\frac{3}2=-1,5$.
Wir erhalten den Mittelpunkt $M(0\vert -1,5)$.
4.) Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab. Mit:
$P_1(x_1\vert y_1)$=$P_1(3\vert -3)$ und
$P_2(x_2\vert y_2)$=$P_2(-3\vert 2)$.
Wir setzen in die Formel ein:
$x=\frac{3+(-3)}2=\frac{0}2=0$ und
$y=\frac{(-3)+2}2=\frac{-1}2=-0,5$.
Wir erhalten den Mittelpunkt $M(0\vert -0,5)$.
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Beschreibe die Eigenschaften des Mittelpunktes einer Strecke.
Tipps$M=(\frac{x_1+x_2}{2}\vert \frac{y_1+y_2}{2})$
LösungDer Mittelpunkt $M$ einer Strecke $\overline{AB}$ halbiert diese, da sich der Mittelpunkt genau in der Mitte zwischen den zwei Punkten $A$ und $B$ befindet. Deshalb sind die Strecken $\overline{AM}$ und $\overline{MB}$ gleich lang.
Die Aussagen „Der Mittelpunkt einer Strecke halbiert die Strecke.“ und „Ist $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$, so sind die Strecken $\overline{AM}$ und $\overline{BM}$ gleich lang.“ sind richtig.
Um die Koordinaten für den Mittelpunkt bestimmen zu können muss man die entsprechenden Koordinaten ($x$-Koordinaten bzw. $y$-Koordinaten) miteinander addieren und anschließend davon die Hälfte nehmen. Die Berechnung für den Mittelpunkt lautet $M(\frac{x_1+x_2}2\vert\frac{y_1+y_2}2)$.
Die Aussagen „Die Formel zur Bestimmung des Mittelpunktes lautet $M(\frac{x_1+x_2}4\vert\frac{y_1+y_2}4)$“ und „Der Mittelpunkt einer Strecke viertelt die Strecke.“ sind falsch.
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Leite den Mittelpunkt der gegebenen Punkte her.
TippsDer Abstand von den beiden Punkten $P_5$ und $P_6$ zum Mittelpunkt $M$ ist gleich lang.
Lösung1.) Der Lückentext liefert uns die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ mit:
$P_1(x_1\vert y_1)$=$P_1(1\vert 1)$ und
$P_2(x_2\vert y_2)$=$P_2(5\vert 3)$.
Wir setzen diese in die Formel ein:
$x=\frac{1+5}2=\frac{6}2=3$ und
$y=\frac{1+3}2=\frac{4}2=2$.
Wir erhalten den Mittelpunkt $M(3\vert 2)$ der Strecke $\overline{P_1P_2}$.
2.) Der Lückentext liefert uns die beiden Punkte $P_3$ und $P_4$ mit:
$P_3(x_1\vert y_1)$=$P_3(2\vert -2)$ und
$P_4(x_2\vert y_2)$=$P_4(-3\vert 3)$.
Wir setzen in die Formel ein:
$x=\frac{2+(-3)}2=\frac{-1}2=-0,5$ und
$y=\frac{(-2)+3}2=\frac{1}2=0,5$.
Wir erhalten den Mittelpunkt $M(-0,5\vert 0,5)$.
3.) $P_4$ ist unser Startpunkt und $P_5$ unser Zielpunkt.
$P_4(x_1\vert y_1)$=$P_4(-3\vert 3)$ und
$P_5(x_2\vert y_2)$=$P_5(-1\vert 4)$.
Wir setzen in die Formel ein:
$x=\frac{(-3)+(-1)}2=\frac{-4}2=-2$ und
$y=\frac{3+4}2=\frac{7}2=3,5$.
Wir erhalten den Mittelpunkt $M(-2\vert 3,5)$.
4.) Der Startpunkt liegt bei $P_5(-1\vert 4)$ und der Mittelpunkt bei $M(-0,5\vert 2)$.
Da $P_5$ und $P_6$ denselben Abstand vom Mittelpunkt $M$ haben müssen (Eigenschaften des Mittelpunktes – Ist M der Mittelpunkt der Strecke $\overline{P_5P_6}$, so sind die Strecken $\overline{P_5M}$ und $\overline{P_6M}$ gleich lang.).
Der Abstand ($m_1$) bzw. die Differenz der $x$-Koordinaten von $P_5$ mit $x=-1$ und $M$ mit $x=-0,5$ beträgt $-0,5$:
Rechnung: $m_1=-1-(-0,5)=-0,5$.
Wir wissen nun, dass $x_6$ vom Punkt $P_6(x_6\vert y_6)$ bei $x = 0$ liegen muss:
Rechnung: $x=0,5-0,5=0$.
Wir ziehen von unserer $x$-Koordinate des Mittelpunktes ($x=0,5$) den vorher berechneten Betrag ($-0,5$) ab.
Nun fehlt noch die $y$-Koordinate, auch hier schauen wir uns den Abstand ($m_2$)von $P_5$ zum Mittelpunkt $M(-0,5\vert 2)$ an:
Rechnung: $m_2=4-2=2$.
Der Abstand beträgt $2$, man subtrahiert den Abstand von $2$ von der $y$-Koordinate des Mittelpunktes und erhält den fehlenden $y$-Wert von $P_6$.
Rechnung: $y=2-2=0$
Punkt $P_6$ hat die Koordinaten $P_6(0\vert 0)$.
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4 Kommentare
lol
Warsehrhilfreichdanke
danke jetzt hab ich es verstanden mein mathelehrer hat es nicht geschaft
Sehr gut erklärt, danke! 😄👍