Klammerrechnung – Wie vereinfachst du Terme mit Klammern?

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Klammerrechnung

In Termen ohne Klammern rechnest du von links nach rechts, wenn es sich um Strichrechnung (Addition und Subtraktion) handelt:

$1 + 2 + 3 - 4 = 2.$

Sobald eine Punktrechnung (Multiplikation und Division) vorkommt, wird diese vor der Strichrechnung ausgeführt. Es wird Punkt- vor Strichrechnung ausgeführt:

$\begin{array}{llll} 5 - 2 + 3\cdot 2&=&5 - 2 + 6\\ &=&3 + 6\\ &=&9 \end{array}$

Soll zuerst eine Strichrechnung ausgeführt werden, so setzt man Klammern:

$\begin{array}{lll} 10 : 5 + (3 - 2)\cdot (4 + 1)&=& 10:5 + 1\cdot 5\\ &=&2 + 5\\ &=&7 \end{array}$

Bei verschachtelten Termen werden Doppelklammern gesetzt:

$\begin{array}{lll} (16 : (2 + 6)) - 1&=&(16 : 8) - 1\\ &=&2 - 1\\ &=&1 \end{array}$

Für das Auflösen von Klammern wendet man das Distributivgesetz an:

$\begin{array}{lll} 5\cdot (2 - a + b)&=&5\cdot 2 - 5\cdot a + 5\cdot b\\ &=&10 - 5a + 5b \end{array}$

Dies funktioniert ebenso, wenn Klammerterme miteinander multipliziert werden:

$\begin{array}{lll} (a + 2)\cdot (b - 3)&=&ab - 3a + 2b - 6 \end{array}$

Dies lässt sich ebenso auf die Klammerrechnung mit Potenzen (erste und zweite binomische Formel) anwenden, die man auf das Ausmultiplizieren von Klammern zurückführen kann:

$\begin{array}{lll} (a + 3)^{2}&=&(a + 3)\cdot (a + 3)\\ &=&a\cdot a + a\cdot 3 + 3\cdot a + 3\cdot 3\\ &=&a^2 + 3a + 3a + 9\\ &=&a^2 + 6a + 9 \end{array}$