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Kreise, Kreisfiguren und Tangenten an Kreisen konstruieren

Mit Kreisen kannst du sehr schöne Muster erzeugen. Weißt du noch, was ein Kreis ist? Hier erfährst du Vieles über Kreise und Kreisfiguren.

Einführung

Zunächst einmal klären wir, was ein Kreis ist und was eine Tangente ist.

Ein Kreis ist ein zweidimensionales Objekt, welches keine Ecken hat. Es besteht aus einem geschlossenen Kreisbogen und der, durch den Kreisbogen eingeschlossenen, Fläche. Alle Punkte auf dem Kreisbogen haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt $M$. Diesen Abstand nennt man Radius, oder kurz $r$.

1142_Kreis.jpg

Eine Tangente ist eine Gerade, aber nicht irgend eine Gerade. Der Name kommt aus dem lateinischen „tangere“ für „berühren“. Eine Tangente ist also eine Gerade die den Kreis an genau einem Punkt berührt.

Kreisfiguren (Mandalas)

Was bedeutet Mandala? Der Name kommt aus dem Indischen und steht für „Kreis“. Eine alte indische Methode, um Konzentration und Ruhe zu finden, ist das Zeichnen von Mandalas.

Wie zeichnest du ein Mandala? Du benötigst einen Zirkel, um einen Kreis zu zeichnen, sowie ein Geodreieck.

Die Konstruktion von Mandalas basiert auf Kreisen, die in gleichen Abständen zueinander in einen Kreis gezeichnet werden.

Hier siehst du ein Mandala. Einzelne Flächen sind bereits ausgemalt. Du kannst nun dieses Mandala auf ein Blatt übertragen und auch noch die verbleibenden Flächen ausmalen:

1085_Mandala.jpg

Konstruktion von Tangenten

Nun lernst du, wie du eine Tangente an einen Kreis konstruieren kannst.

  • Die Tangente berührt zum einen den Kreis in einem Punkt auf der Kreislinie.
  • Zum anderen steht die Tangente senkrecht zum Radius des Kreises.

Nun betrachtest du zwei verschiedene Fälle:

Die Tangente verläuft durch einen Punkt $B$ der Kreislinie.

  • Verbinde den Mittelpunkt $M$ des Kreises $k$ mit dem Punkt $B$. Die Strecke $\overline{MB}$ entspricht dem Radius des Kreises.
  • Fälle nun das Lot im Punkt $B$ auf die Gerade $g$, welche die Punkte $M$ und $B$ enthält.
  • Das so gefundene Lot entspricht der gesuchten Tangente $t$.

1085_Kreis_Tangente.jpg

Die Tangente verläuft durch einen Punkt $P$ außerhalb des Kreises.

Um eine solche Tangente an einen Kreis zu konstruieren, gehst du wie folgt vor:

  • Verbinde den Punkt $P$ mit dem Mittelpunkt $M$ des Kreises.
  • Bestimme nun den Mittelpunkt $H$ der Strecke $\overline{MP}$.

1085_Konstr_Tang_1.jpg

  • Zeichne einen Kreisbogen um $H$ mit dem Radius $\overline{HP}$.
  • Dieser Kreisbogen schneidet den Ausgangskreis in zwei Schnittpunkten $T_{1}$ sowie $T_{2}$.

1085_Konstr_Tang_2.jpg

  • Zuletzt verbindest du den Punkt $P$ mit jedem der beiden Schnittpunkte. So erhältst du die beiden Tangenten $t_{1}$ sowie $t_{2}$.

1085_Konstr_Tang_3.jpg

Gemeinsame Tangenten an zwei Kreise

Du kannst auch gemeinsame Tangenten von zwei Kreisen konstruieren. Hier siehst du zwei nebeneinander liegende Kreise. Der Abstand der beiden Mittelpunkte $M_{1}$ und $M_{2}$ ist größer als die Summe der beiden Radien.

1085_Zwei_Kreise.jpg

Gestrichelt ist die Gerade eingezeichnet, auf welcher sich die beiden Mittelpunkte befinden. Symmetrisch zu dieser liegt jeweils ein Paar von Tangenten:

  • Die beiden inneren Tangenten sind rot eingezeichnet. Der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten liegt auf der gestrichelten Geraden.
  • Die beiden äußeren Tangenten sind blau eingezeichnet. Auch deren Schnittpunkt liegt auf der gestrichelten Geraden.

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Kreise, Kreisfiguren und Tangenten an Kreisen konstruieren (2 Videos)

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