Vektorgröße – Geschwindigkeit
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Grundlagen zum Thema Vektorgröße – Geschwindigkeit
Geschwindigkeit als Vektor
Der Vektorcharakter der Geschwindigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Physik, das uns hilft, die Bewegung von Objekten zu verstehen. Die Geschwindigkeit $v$ beschreibt allgemein, wie schnell sich ein sich bewegender Körper bewegt, und wird normalerweise als Strecke $s$ pro Zeit $t$ angegeben, zum Beispiel in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ oder $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das sowohl eine Größe als auch eine Richtung hat. Im Fall der Geschwindigkeit gibt uns der Vektorcharakter Informationen darüber, in welche Richtung sich ein Objekt wie schnell bewegt.
Zum Beispiel kann ein Auto mit einer Geschwindigkeit von $\pu{60 km//h}$ nach Osten fahren, während ein anderes Auto mit der gleichen Geschwindigkeit nach Norden fährt. Obwohl beide die gleiche Geschwindigkeit haben, bewegen sie sich in unterschiedliche Richtungen.
Um den Vektorcharakter der Geschwindigkeit zu verstehen, müssen wir eine Methode verwenden, um die Größe und Richtung darzustellen. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist die Modellierung durch Pfeile. Der Anfangspunkt des Pfeils repräsentiert den Ausgangsort des Objekts, während die Länge und Richtung des Pfeils die Größe und Richtung der Geschwindigkeit repräsentieren.
Sachaufgaben zum Vektorcharakter der Geschwindigkeit
Am Beispiel von Billardkugeln berechnen wir den
Streckenvektor
Geschwindigkeitsvektor
Geschwindigkeitsbetrag
Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe. Sie wird in einem Koordinatensystem als Pfeil eingezeichnet. Der Betrag des Vektors entspricht der Länge des Pfeils. Ein Vektor hat mehrere Spalten, die eine Richtung repräsentieren, in die sich das Objekt bewegen kann, die senkrecht zueinander stehen. Im zweidimensionalen Koordinatensystem hat der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ eine $x$- und $y$-Komponente:
$ \vec{v}=\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} $
$ \left|\vec{v}\right| = \sqrt{v_x^2+v_y^2} $
Eine solche Bewegung in zwei Richtungen findet z. B. beim Billard statt. In der Aufgabe betrachten wir einen Tisch der Breite von $\pu{1,50 m}$ und $\pu{2,50 m}$ Länge.
Streckenvektor
Eine Billardkugel wird diagonal von unten links nach oben rechts über den Tisch gespielt. Wie sieht dazu der Streckenvektor aus? Da sich die Kugel nicht nach oben bewegt, betrachten wir zwei Richtungen.
$ \vec{s}=\begin{pmatrix} s_x \\ s_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pu{2,5m} \\ \pu{1,5m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \pu{m} $
Geschwindigkeitsvektor
Die zweite Aufgabe besteht darin, den Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ zu bestimmen. Dafür benötigen wir die Zeit, die die Kugel für die Strecke benötigt hat. Die Kugel hat $\pu{2 s}$ benötigt, um von unten links nach oben rechts zu gelangen.
Der Geschwindigkeitsvektor ist gleich dem Streckenvektor geteilt durch die Zeit!
$ \vec{v}=\dfrac{\vec{s}}{t} $
$ \vec{v}=\begin{pmatrix} v_x \\ \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\pu{2,5m}}{\pu {2s}} \\ \\ \frac{\pu{1,5m}}{\pu{2 s}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pu{1,25 m//s} \\ \\ \pu{ 0,75 m//s} \end{pmatrix} $
Geschwindigkeitsbetrag
In der dritten Aufgabe berechnen wir den Betrag der Geschwindigkeit. Mit dem Satz des Pythagoras berechnen wir den Betrag mit den Quadraten der senkrecht zueinander stehenden Richtungskomponenten und ziehen die Wurzel:
$ \left|\vec{v}\right| = \sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(1{,}25)^2 \pu{m2//s2}+(0{,}75)^2 \pu{m2//s2}}= \pu{1,46 m//s} $
Alternativ dazu lässt sich der Geschwindigkeitsbetrag auch direkt aus
$ \left|\vec{v}\right| = \dfrac{\left|\vec{s}\right|}{t} =\dfrac{\sqrt{((2{,}5)^2 + (1{,}5)^2) \pu{m2}}}{\pu{2 s}} = \pu{1,46 m//s} $
berechnen.
Es ist wichtig, zu beachten, dass die Geschwindigkeit Änderungen erfahren kann. Wenn ein Objekt seine Geschwindigkeit ändert, ändert sich auch der Vektor der Geschwindigkeit. Zum Beispiel könnte eine Kugel, die in gerader Linie rollt, plötzlich die Richtung ändern. In diesem Fall ändert sich auch die Richtung des Geschwindigkeitsvektors.
Der Vektorcharakter der Geschwindigkeit kann auch verwendet werden, um die relative Bewegung zwischen Objekten zu beschreiben. Wenn zwei Objekte in verschiedene Richtungen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, können wir die Vektoren dieser Geschwindigkeiten addieren, um die relative Geschwindigkeit zwischen den Objekten zu finden. Dies kann hilfreich sein, um Kollisionen oder Begegnungen zwischen Objekten zu analysieren.
Zusammenfassung – Geschwindigkeit als Vektor
- Die Geschwindigkeit $\vec{v}$ ist eine vektorielle Größe. Das bedeutet, dass sie eine Größe und eine Richtung hat.
- Die Richtung wird durch den Vektor $\vec{v}$ angegeben, während der Betrag des Vektors $\lvert \vec{v} \rvert$ die Größe der Geschwindigkeit angibt.
- Der Geschwindigkeitsvektor $\vec{v}$ ist gleich dem Streckenvektor $\vec{s}$ geteilt durch die Zeit $t$:
$\vec{v}=\dfrac{\vec{s}}{t}$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Geschwindigkeit als Vektor
Transkript Vektorgröße – Geschwindigkeit
Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video beschäftigen wir uns mit dem Vektorcharakter der Geschwindigkeit. Am Ende des Videos wirst du gelernt haben, dass Geschwindigkeit mehr ist als nur ein Zahlenwerk mit Einheit und dass das auch für andere physikalische Größen der Fall ist. Um das zu verstehen, werden zuerst die Begriffe Skalar und Vektor erklärt. Außerdem wirst du sehen, welche physikalischen Größen als Vektoren dargestellt werden. Dann wird die Geschwindigkeit als vektorielle Größe eingeführt. Du wirst sehen, was das bedeutet und welche Unterschiede es zu dem gibt, was man umgangssprachlich als Geschwindigkeit bezeichnet. Und damit kann es auch schon losgehen. In der Physik unterscheidet man, ob eine Größe als Skalar oder als Vektor dargestellt wird. Ein Skalar ist eine ungerichtete Größe und wird durch einen Zahlenwert, den man zusätzlich noch mit einer Einheit versieht, dargestellt. Skalare sind dir in der Physik sicherlich schon begegnet. Die Masse ist ein Skalar, die du schon kennst. Um zu wissen, wie schwer etwas ist, reicht es aus, eine Zahl und eine Einheit anzugeben, da das Gewicht keine Richtung hat. Gerichtete physikalische Größen werden durch Vektoren dargestellt. Ein Vektor wird durch zwei Dinge charakterisiert: Zum einen durch den Betrag. Der Betrag gibt an, wie groß die betrachtete physikalische Größe ist. Außerdem hat ein Vektor eine Richtung. Die Richtung gibt an, in welche Richtung die Größe zeigt. Ein Beispiel für einen Vektor ist die Kraft. Sie wird allgemein mit F abgekürzt. Um klar zu machen, dass es sich um eine gerichtete Größe, also einen Vektor handelt, versieht man alle vektoriellen Größen mit einem Pfeil über dem Buchstaben. Meint man nur den Betrag einer vektoriellen Größe, so setzt man Betragsstriche darum oder verzichtet auf den Pfeil über dem Formelzeichen. Auf einem Schwerefeld der Erde wirkt die Gewichtskraft. Sie greift zum Schwerpunkt des Körpers an und zeigt nach unten. Vektoren werden als Pfeile dargestellt. Die Länge des Pfeils gibt dabei den Betrag der Kraft an. Das heißt, er gibt an, wie groß sie ist, zum Beispiel 20 Newton. Die Richtung, in die der Pfeil zeigt, ist die gleiche, in die die Kraft wirkt. Der Angriffspunkt ist in diesem Fall der Schwerpunkt. Weitere Beispiele für physikalische Größen, die als Vektoren angegeben werden, sind: die Beschleunigung, der Drehimpuls und die Geschwindigkeit. Dennoch, die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe und hat als solche einen Betrag und eine Richtung. Das kann man sich an einer Billardkugel auf einem Billardtisch klarmachen. Stößt man sie mit einem Queue an, so bewegt sie sich. Angenommen, ein Freund will Dir genau erklären, was passiert, wenn du den Tisch nicht sehen kannst. Wenn er dir sagt, dass sich die Kugel mit einem Meter pro Sekunde bewegt, also er Tempo angibt, dann weißt du zwar, wie schnell sie ist, aber du weißt nicht, welche Kugel sie als nächstes treffen wird. Um die Bewegung der Kugel komplett zu beschreiben, muss man also auch noch die Richtung der Bewegung angeben. Die Länge des Pfeils gibt dabei an, welchen Zahlenwert die Geschwindigkeit hat. Und die Richtung des Pfeils gibt an, in welche Richtung sich der Körper bewegt. Die Geschwindigkeit besteht also aus einem Zahlenwert mit Einheit, den man Betrag der Geschwindigkeit nennt und einer Richtung. Daraus folgt, dass sich die Geschwindigkeit als vektorielle Größe ändert, wenn sich die Richtung ändert. Das hört sich jetzt vielleicht erst einmal etwas komisch an. Die Geschwindigkeit ist im physikalischen Sinne also etwas anderes als das, was man im Alltag unter dem Begriff versteht. Um das eindeutiger zu machen, könnte man auch Tempo anstatt Geschwindigkeit sagen, wenn man den Geschwindigkeitsbetrag ohne Richtung meint. Wenn zum Beispiel ein Auto in eine Kurve fährt und dabei nicht langsamer wird, also das Tempo sich nicht ändert, so würde man denken, die Geschwindigkeit ändert sich nicht. In der Kurve ändert sich aber die Richtung der Geschwindigkeit. Da die Geschwindigkeit aus Betrag und Richtung besteht, ändert sich also die Geschwindigkeit, wenn sich die Richtung ändert. Somit ändert sich die Geschwindigkeit in einer Kurve immer, Auch wenn das Auto nicht langsamer wird. So, was hast du eben gelernt? In der Physik gibt es Skalare und Vektoren. Skalare sind richtungsunabhängige Größen und werden durch einen Zahlenwert mit einer Einheit dargestellt. Vektoren sind gerichtete Größen und werden durch Betrag und Richtung charakterisiert. Die Formelzeichen von Vektoren oder auch vektoriellen Größen werden durch einen Pfeil darüber gekennzeichnet. Zum Beispiel wird das Formelzeichen der Kraft, F, mit einem Pfeil darüber angegeben, um zu zeigen, dass es sich um einen Vektor handelt. Meint man nur den Betrag, so setzt man Betragsstriche darum oder verzichtet auf den Pfeil. Der Betrag eines Vektors gibt an, wie groß die betrachtete Größe ist. Er wird mit einem Zahlenwert und einer Einheit angegeben. Vektoren können mit Pfeilen dargestellt werden. Die Länge des Pfeils ist ein Maß für den Betrag des Vektors. Seine Richtung gibt die Richtung der physikalischen Größe an und sein Angriffspunkt stimmt mit dem Angriffspunkt der Größe überein. Auch die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe, denn jede Bewegung hat eine Richtung. Der Betrag der Geschwindigkeit gibt das Tempo der Bewegung an. Der Betrag kann gleich bleiben, auch wenn sich die Richtung des Vektors und damit die Geschwindigkeit ändert. Fährt man zum Beispiel mit dem Auto mit gleichbleibendem Tempo um die Kurve, so bleibt der Betrag der Geschwindigkeit gleich. Man wird nicht schneller oder langsamer, doch die Geschwindigkeit ändert sich in diesem Fall, da man die Richtung ändert. Das war es zu dem Thema: Vektorcharakter der Geschwindigkeit. Ich hoffe, du hast etwas gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.
Vektorgröße – Geschwindigkeit Übung
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Beschreibe den Unterschied zwischen Skalar und Vektor.
TippsOb es sich um eine vektorielle oder eine skalare Größe handelt, hängt davon ab, ob man für sie auch eine Richtung angeben kann.
LösungOft genügt es nicht, nur den Betrag einer Größe anzugeben, um diese vollständig zu beschreiben. Als Beispiel kann man hier die Beschleunigung nennen. Stell dir z.B. einen Apfel vor, der von einem Baum fällt. Die Erdbeschleunigung beträgt etwa 10 $m/s^2$. Man kann also mit der Angabe dieser Betragsgröße sagen, dass der Apfel, sobald sein Stiel vom Ast gebrochen ist, mit 10 $m/s^2$ beschleunigt wird. Nun hat die Erfahrung gezeigt, dass dies auf einer geradlinigen Bahn nach unten passiert. Diese Information ist aber in der Betragsgröße noch nicht enthalten. Der Apfel könnte nach dieser Angabe genauso gut in Richtung Himmel beschleunigt werden. Vektorielle Größen sind daher in der Physik, z.B. bei der vollständigen Beschreibung von Bewegungen, unverzichtbar.
So ist auch die vektorielle Größe der Erdbeschleunigung in Richtung des Erdmittelpunktes gerichtet.
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Nenne Beispiele für skalare und vektorielle Größen.
TippsFür eine vektorielle Größe kann immer eine Richtung angegeben werden.
LösungDie Kraft (Einheit $N$), die Geschwindigkeit ($m/s$), die Beschleunigung ($m/s^2$), der Impuls ($N\cdot s$) und der Drehimpuls ($\frac{kg\cdot m^2}{s}$) sind Größen, für die man einen Betrag und eine Richtung angeben kann.
Der Wert der Temperatur (°$C$), der Masse ($kg$), der Zeit ($s$) und des Volumens ($m^3$) kann hingegen nur als Betrag angegeben werden. Es handelt sich daher um skalare Größen. So kann zwar z.B. der Wert der Temperatur auch negative Werte annehmen (z.B. -2 °$C$). Das bedeutet aber noch nicht, dass hier auch eine Richtung vorgegeben ist! Es sei noch erwähnt, dass die Zeit im Rahmen der Relativitätstheorie eine besondere Rolle einnimmt. In der klassischen Physik kann sie aber als skalare Größe betrachtet werden.
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Schätze den Betrag der Geschwindigkeit der Billardkugeln ab.
TippsMit der Pfeildarstellung von Vektoren lassen sich zwei Eigenschaften des Vektors darstellen. Die Richtung des Pfeils verdeutlicht die Richtung der Geschwindigkeit.
LösungUm die Bewegung einer Billardkugel auf dem Tisch genau erklären zu können, muss man angeben, wie groß der Betrag ihrer Geschwindigkeit ist und in welche Richtung sich die Kugel mit der Geschwindigkeit bewegt. Eine vektorielle Größe beinhaltet beide dieser Angaben. Es bietet sich daher an, Vektoren mit Pfeilen darzustellen. Die Richtung des Pfeils zeigt hierbei die Richtung der Bewegung an. Die Länge des Pfeils ist ein Maß für den Betrag der Geschwindigkeit. Man kann auch sagen, dass die Länge des Pfeils das Tempo der Kugel angibt. Hieraus ergibt sich die Reihenfolge der Billardkugeln: Je länger der Pfeil, desto höher der Betrag der Geschwindigkeit beziehungsweise das Tempo der Kugel.
Die Richtung der Pfeile war für die Beantwortung der Aufgabe unwichtig. Bedenke aber, dass auf die Angabe der Richtung einer vektoriellen Größe nicht verzichtet werden kann. In der Abbildung sind hierfür nochmal zwei Kugeln dargestellt. Sie haben das gleiche Tempo, ihre vektoriellen Geschwindigkeiten unterscheiden sich dennoch aufgrund der verschiedenen Richtungen, in die sie sich bewegen. Es gilt also $\overrightarrow{v}_{blau}\neq \overrightarrow{v}_{rot}$.
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Nenne Beispiele, bei denen eine Änderung der vektoriellen Größe Geschwindigkeit auftritt.
TippsDie vektorielle Größe Geschwindigkeit hat einen Betrag und eine Richtung.
Man kann von einer Geschwindigkeitsänderung sprechen, wenn sich Betrag oder Richtung verändern.
LösungBei der Geschwindigkeit handelt es sich um eine vektorielle Größe, denn jede Bewegung hat eine Richtung.
Um entscheiden zu können, ob eine Geschwindigkeitsänderung in den genannten Beispielen vorliegt, musst du also immer jeweils entscheiden, ob sich der Betrag der Geschwindigkeit verändert und ob es zu einer Änderung der Richtung der Bewegung kommt. Trifft eines von beidem zu, so kann man sagen, dass sich die Geschwindigkeit verändert.
Man kann sich hierfür das Beispiel mit dem Mond, der sich auf einer Kreisbahn um die Erde bewegt, noch einmal genauer anschauen. Nimmt man die Geschwindigkeit als skalare Größe an, betrachtet also nur ihren Betrag, dann kann man sagen, dass hier keine Geschwindigkeitsänderung vorliegt. Die Geschwindigkeit als vektorielle Größe verändert sich auf einer Kreisbahn jedoch zu jeder Zeit. So steht der Geschwindigkeitsvektor in jedem Punkt, in dem sich der Mond gerade befindet, tangential auf seiner Kreisbahn.
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Nenne physikalische Formelzeichen, die für eine vektorielle oder skalare Größe stehen.
TippsEin Vektor ist eine gerichtete Größe. Dies wird auch bei Betrachtung der Formelzeichen deutlich.
LösungUm zu verdeutlichen, dass es sich um eine vektorielle Größe handelt, wird das Formelzeichen mit einem Pfeil versehen. Die Verwendung eines Pfeils soll verdeutlichen, dass es sich bei Vektoren um gerichtete Größen handelt. Wenn man nur den Betrag einer vektoriellen Größe und nicht die dazugehörige Richtung angeben möchte, dann kann man auf den Pfeil über dem Formelzeichen verzichten. Eine alternative Darstellung ist, das vektorielle Formelzeichen in Betragsstriche zu setzen. Gibst du also z.B. die Geschwindigkeit als Betragsgröße an, so solltest du das Formelzeichen $v$ oder $|\overrightarrow{v}|$ verwenden. Meinst du die vektorielle Größe, die eine Angabe der Richtung der Geschwindigkeit einschließt, dann solltest du das Formelzeichen $\overrightarrow{v}$ verwenden.
In der Physik gibt es unzählige Formelzeichen, die z.T. sogar nicht ganz einheitlich verwendet werden. Hier sind daher nochmal die Formelzeichen aus der Aufgabe zusammen mit ihrer Bedeutung aufgelistet.
Die vektoriellen Größen:
$\overrightarrow{a}$: die Beschleunigung
$\overrightarrow{v}$: die Geschwindigkeit
$\overrightarrow{L}$: der Drehimpuls
$\overrightarrow{p}$: der Impuls
Die skalaren Größen:
$m$: die Masse
$V$: das Volumen
$T$: die Temperatur
$t$: die Zeit
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Analysiere die Windvorhersage für Nordeuropa.
TippsWenn du die genannten Orte auf der Karte nicht erkennst, dann nimm dir einen Atlas zur Hand.
Links = Westen, Oben = Norden, Rechts = Osten, Unten = Süden.
LösungDurch die Pfeile, die in die Karte eingezeichnet wurden, sind an jedem dargestellten Ort Aussagen über die Windgeschwindigkeiten möglich. An der Richtung und der Länge der Pfeile können sowohl die Windrichtungen als auch die Beträge der Windgeschwindigkeiten abgeschätzt werden. Wenn auf einer größeren Fläche oder auch in einem Volumen physikalische Größen durch Vektorpfeile dargestellt werden, dann spricht man auch von einem Vektorfeld. Vektorfelder haben zum Beispiel auch bei der Betrachtung von Meeresströmungen und elektrischen und magnetischen Feldern eine Bedeutung.
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"..., da das Gewicht keine Richtung hat." :P haha