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Bewegungen – vektorielle Darstellung

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Bewegungen – vektorielle Darstellung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Bewegungen – vektorielle Darstellung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bewegungen – vektorielle Darstellung kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne Eigenschaften und Unterschiede der 3 Dimensionen.

    Tipps

    Eine Ebene ist eine Fläche.

    Lösung

    Wir unterscheiden oft in Dimensionen, aber wo liegen dabei die Unterschiede?

    Eigentlich sind sie gar nicht so groß, denn die Koordinatenachsen stehen immer senkrecht aufeinander und es kommt für jede Dimension einfach eine Achse dazu.

    So kann man in 1-D nur Geraden bilden, in 2-D Flächen oder Ebenen, und in 3-D Würfel, Kugeln etc.

    Es ist aber auch möglich, Flächen in 3-D darzustellen, allerdings nicht andersherum.

  • Vervollständige die Gleichung.

    Tipps

    Die $1$ im Dreidimensionalen entspräche dem Vektor $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$.

    Lösung

    Wie multipliziert man nun ein Skalar mit einem Vektor? An welche Komponente soll das $t$? Oder muss der Vektor eindimensional gemacht werden? Nein.

    Das Skalar wirkt auf jede Komponente, also werden a, b und c jeweils mit t multipliziert:

    $\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right)\cdot t=\left(\begin{array}{c} a\cdot t \\ b\cdot t \\ c\cdot t \end{array}\right)$.

    Vektor mal Skalar ist also wieder ein Vektor.

  • Addiere oder subtrahiere die Vektoren.

    Tipps

    Vektoren werden komponentenweise addiert.

    Lösung

    Wenn 2 Vektoren auf etwas wirken bzw. 2 Kräfte, so addiert man sie und bekommt einen neuen Vektor. Dieser gibt dann an, wohin sich das Objekt tatsächlich bewegt.

    Fliegt ein Wattebausch gerade nach vorn und man pustet von der Seite, so fliegt es weder weiter nach vorn noch direkt zur Seite, sondern eine Mischung aus beiden.

    Hier eine einfache Gleichung zu Veranschaulichung der Aufgabe:

    $\left(\begin{array}{c} 1 \\2 \\ 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 9 \end{array}\right)$.

    Es werden also einfach x-, y-, z-Komponenten jeweils addiert oder subtrahiert.

  • Berechne den Betrag der Vektoren.

    Tipps

    Der Betrag ergibt sich über den Satz des Pythagoras.

    Je nachdem, ob du erst addierst und dann die Wurzel ziehst, oder zuerst die einzelnen Wurzeln ziehst und dann addierst, ergeben sich zwei unterschiedliche Ergebnisse.

    Lösung

    Der Betrag eines Vektors ist praktisch seine Länge. Damit kann man aus einem Längenvektor eine Länge ohne Richtung machen bzw. aus einem Geschwindigkeitsvektor eine Geschwindigkeit usw.

    Der Vorteil des Vektors ist, dass er eine Richtung angibt. Dies entfällt beim Betrag. Dafür bekommen wir aber wieder eine Länge, mit der wir etwas anfangen können.

    Die Lösungen sind: $\vert v_1\vert=8,7$ $\vert v_2\vert=24,9$ $\vert v_3\vert=7$.

  • Beschreibe, was ein Vektor beschreibt.

    Tipps

    Schaue dir einen Vektor geschrieben an: $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$. Was sagt er dir über die Anzahl der Dimensionen?

    Lösung

    Was machen Vektoren denn nun?

    Sie beschreiben Länge und Richtung einer Geraden o.ä. im Raum, also auch in mehreren Dimensionen.

    Addiert man sie zu einem neuen Vektor, so kann man z.B. mehrere Kräfte verrechnen, um die neue Bewegung bzw. den neuen Vektor zu erhalten.

    Dazu wird x- mit x-, y- mit y-Komponente usw. addiert.

  • Berechne, wie schnell das Boot trotz Strömung ist.

    Tipps

    Die Vektoraddition geschieht komponentenweise.

    Lösung

    Hier ein praktisches Beispiel für das, was wir bisher lernten, nämlich die Flussüberquerung mit einem Boot.

    Für den resultierenden Vektor der Bewegung des Bootes müssen wir die Vektoren des Bootes und die der Strömung addieren:

    $\vec{v}_{b2}=\left(\begin{array}{c} v_{b1} \\ 0 \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} 0 \\ v_W \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} v_{b1} \\ v_W \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array}\right) $,

    mit der z-Komponente 0, da das Boot ja auf dem Wasser fährt, also alles auf einer Fläche stattfindet.

    Für die effektive Geschwindigkeit berechnen wir den Betrag dieses Vektors:

    $\vert v_{b2}\vert=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}=11,18~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}=11,2~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

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