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Bewegungen – vektorielle Darstellung 11:00 min

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Transkript Bewegungen – vektorielle Darstellung

Hallo und herzlich willkommen bei Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute, aus dem Gebiet Mechanik, mit der vektoriellen Darstellung von Bewegungen. Wir lernen heute: Wann und warum überhaupt ich Bewegungen vektoriell rechnen sollte? Welche Regeln dabei gelten? Und wie das Ganze an einer Beispielaufgabe aussehen kann. Ihr wisst wahrscheinlich schon: Bewegungen in mehr als nur einer Dimension lassen sich mit Hilfe von Vektoren darstellen. Bis jetzt haben wir meistens nur in einer Dimension gerechnet, also eine Bewegung entlang einer Linie. Dann gibt es nur diese eine Geschwindigkeit entlang dieser Linie, wir nennen sie mal Vx, und das ist dann auch schon die Gesamtgeschwindigkeit. Eine Bewegung in zwei Dimensionen beschreibt eine Bewegung innerhalb einer Ebene. Ein Beispiel für eine solche Bewegung wäre ein Schwimmer, der versucht einen Fluss zu überqueren. Er bewegt sich mit der Geschwindigkeit Vx vorwärts und wird mit der Geschwindigkeit Vy, die im rechten Winkel dazu steht, abgetrieben. Ich kann eine solche Bewegung also durch einen zweidimensionalen Vektor darstellen, dessen beide Komponenten, die zueinander senkrecht stehenden Geschwindigkeiten Vx und Vy sind. Richtig kompliziert wird das Ganze, wenn wir jetzt in drei Dimensionen vordringen. Wir betrachten zum Beispiel mal einen angeschnittenen Freistoß beim Fußball. Ich kann die Bewegung des Balles durch drei separate Bewegungen in den einzelnen, zueinander senkrecht stehenden, Raumrichtungen x, y und z ausdrücken. Die Geschwindigkeit wird dann zu einem Vektor, der aus drei Komponenten besteht, die ebenfalls aufeinander senkrecht stehen. V3D=(VxVyVz). Aber warum mach ich das Ganze? Viele Gesetze der Physik lassen sich durch die Verwendung von Vektoren allgemeingültiger formulieren. Und so manche Aufgabenstellung, das interessiert Euch sicher mehr, zum Beispiel eben die Überlagerung von Bewegungen, vereinfacht sich durch die Verwendung von Vektoren stark. Voraussetzung dafür ist natürlich, dass man die Rechenregeln der Vektorrechnung kennt. Und deshalb wollen wir uns die im nächsten Kapitel noch mal genauer ansehen. Der erste Schritt der Vektorrechnung ist ganz einfach. In allen Formeln werden Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung durch die entsprechenden Vektoren s mit Pfeil, v mit Pfeil und a mit Pfeil ersetzt. Ich werde in diesem Kapitel alle Regeln für drei Dimensionen aufschreiben. Wollt Ihr nur in zwei rechnen, so könnt Ihr einfach bei allen Vektoren die letzte Zeile, also die Z-Komponente weglassen. Sowohl Ort, als auch Beschleunigung und Geschwindigkeit bestehen natürlich aus drei Komponenten. Der Vektor meines Ortes S besteht also aus S=(Sx,Sy,Sz), der Vektor von V=(Vx,Vy,Vz) und der Vektor von a=(ax, ay,az). Wir betrachten das Ganze mal am Beispiel der einfachen Formel: Weg(s)=Geschwindigkeit(v)×Zeit(t). Ich setze für s und v die gerade definierten Vektoren ein und sehe: (Sx,Sy,Sz)=(Vx,Vy,Vz)×t. Und damit sind wir schon bei der ersten Rechenregel. T ist kein Vektor, sondern ein Skalar. Einen Vektor und einen Skalar multipliziere ich, indem ich jede Komponente des Vektors einzeln mit dem Skalar multipliziere. Ich erhalte also: (Vxt,Vyt,Vzt) Der Hauptvorteil der Vektorrechnung ist, dass ich Vektoren mit verschiedener Richtung ganz einfach addieren kann. Wie das geht, wollen wir uns jetzt ansehen. Links im Bild seht Ihr zwei Vektoren und den daraus resultierenden Gesamtvektor Vg. Va istVax, Vay, Vaz und Vb ist Vbx, Vby, Vbz. Ich kann die Summe der beiden bilden, in dem ich einfach die einzelnen x-, y-, z-Komponenten addiere. Mein Ergebnis für Vg ist also: Vg=(Vax+Vbx, Vay+Vby, Vaz+Vbz). Will ich nicht addieren, sondern subtrahieren, so tausche ich einfach das Plus durch ein Minus aus. Und das war auch eigentlich schon alles, was wir brauchen. Aber bevor wir zur Beispielaufgabe weiter schreiten, vorsieht, eine Warnung! Die Multiplikation von Vektoren erfolgt nicht einfach nach dem gleichen Schema. Wollt Ihr mehr dazu wissen, dann schaut Euch die Videos zum Skalarprodukt und dem Kreuzprodukt an. Wir wollen folgende Aufgabe rechnen. Ein Schiff fährt mit 20 km/h Richtung Norden und wird dabei von einer Meeresströmung um 5km/h nach Westen abgetrieben. Aufgabe a) Welche Gesamtgeschwindigkeit misst eine verankerte Boje für das Schiff? Aufgabe b) Es kommt ein Wind auf, der das Schiff um 3km/h nach Südosten abtreibt. Wie hoch ist nun die Gesamtgeschwindigkeit? Dann wollen wir mal. Gegeben sind zwei Geschwindigkeiten. Eine Richtung Norden und eine Richtung Westen. Die beiden stehen im rechten Winkel zueinander, also können wir die eine gleich Vx und die andere Vy nenne. Wir malen schnell ein kleines Schiff und einen Kompass, damit wir nicht die Übersicht verlieren. Richtung Norden ist Vx, also die 20 km/h mit denen sich das Schiff fortbewegt, und Richtung Westen ist die Geschwindigkeit der Meeresströmung Vy, die das Schiff mit 5 km/h abtreibt. Unsere Geschwindigkeit V hat also den Vektor(Vx,Vy)und der ist (20 km/h, 5 km/h). Die Gesamtgeschwindigkeit, die die Boje betrachtet, ist nun der Betrag des Vektors. Und den, die beiden stehen ja senkrecht aufeinander, kann ich mit Pythagoras ausrechnen. Der Betrag von V=\sqrtVx²+Vy² und das ergibt ungefähr 20,6 km/h. In Aufgabe b) wird das Ganze schon ein wenig komplizierter. Wir erhalten die Windrichtung, die auch die Richtung unseres Vektors ist, nämlich Südost und seinen Betrag. Insgesamt wird das Schiff um 3km/h abgetrieben. Wir müssen uns also erst einmal den Vektor, der vom Wind verursachten Geschwindigkeit Vw ausrechnen. Dazu benutzt wird die Formel von oben: \sqrtVwx²+Vwy²=3km/h. Da der Wind genau in Richtung Südost dreht, also genauso stark nach Süden wie nach Osten, können wir schon mal sagen. Der Betrag von Vwx ist genauso groß wie der Betrag von Vwy. Außerdem sehen wir, beide Komponenten von Vw, also Vwx und Vwy, zeigen in die entgegengesetzte Richtung von Vx bzw. Vy. Sie müssten also ein Minus als Vorzeichen haben. Wir quadrieren die Formel von oben und da wir inzwischen wissen, dass Vwx genau gleich Vwy ist, können wir einfach schreiben: 2Vwx²=2Vwy²=9km²/h². Nun muss ich nur noch durch 2 teilen und die Wurzel ziehen und ich habe meine beiden Komponenten ausgerechnet. Vwx=Vwy=-3÷\sqrt2km/h. Nun kann ich endlich die neue Gesamtgeschwindigkeit Vg ausrechnen. Ich schreibe Vg=V+Vw und das ergibt 20km/h-3÷\sqrt2km/h und 5km/h-3÷\sqrt2km/h. Durch den Taschenrechner gejagt und gerundet ergibt das 17,9km/h und 2,9 km/h. Nun rechne ich den Betrag von Vg aus, um die neue Gesamtgeschwindigkeit zu erhalten. Das ist \sqrt17,9²+2,9²km/h und das ergibt die neue Gesamtgeschwindigkeit nach einsetzen des Windes ist 18,1 km/h. Im Vergleich zur Boje hatte das Schiff vor dem Einsetzen des Windes eine Geschwindigkeit von 20,6 km/h, danach waren es nur noch 18,1km/h. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Bewegungen in mehr als einer Dimension lassen sich durch Vektoren ausdrücken. Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung werden dabei einfach durch Vektoren ersetzt. Die wichtigsten Rechenregeln dafür sind: Die Addition zweier Geschwindigkeiten erfolgt durch die Addition der einzelnen Komponenten. Bei der Subtraktion ist es genauso und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, ergibt sich durch die jeweils einzelne Multiplikation der Komponenten mit dem Skalar. Zu guter Letzt. Die Berechnung der Länge oder des Betrages eines Vektors. Für die Geschwindigkeit zum Beispiel ist der Betrag von V die Höhe der Gesamtgeschwindigkeit. Ich berechne den Betrag, in dem ich die einzelnen Komponenten des Vektors quadriere, zusammenzähle und dann daraus die Wurzel ziehe. So das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle.

Bewegungen – vektorielle Darstellung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bewegungen – vektorielle Darstellung kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne Eigenschaften und Unterschiede der 3 Dimensionen.

    Tipps

    Eine Ebene ist eine Fläche.

    Lösung

    Wir unterscheiden oft in Dimensionen, aber wo liegen dabei die Unterschiede?

    Eigentlich sind sie gar nicht so groß, denn die Koordinatenachsen stehen immer senkrecht aufeinander und es kommt für jede Dimension einfach eine Achse dazu.

    So kann man in 1-D nur Geraden bilden, in 2-D Flächen oder Ebenen, und in 3-D Würfel, Kugeln etc.

    Es ist aber auch möglich, Flächen in 3-D darzustellen, allerdings nicht andersherum.

  • Beschreibe, was ein Vektor beschreibt.

    Tipps

    Schaue dir einen Vektor geschrieben an: $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$. Was sagt er dir über die Anzahl der Dimensionen?

    Lösung

    Was machen Vektoren denn nun?

    Sie beschreiben Länge und Richtung einer Geraden o.ä. im Raum, also auch in mehreren Dimensionen.

    Addiert man sie zu einem neuen Vektor, so kann man z.B. mehrere Kräfte verrechnen, um die neue Bewegung bzw. den neuen Vektor zu erhalten.

    Dazu wird x- mit x-, y- mit y-Komponente usw. addiert.

  • Vervollständige die Gleichung.

    Tipps

    Die $1$ im Dreidimensionalen entspräche dem Vektor $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$.

    Lösung

    Wie multipliziert man nun ein Skalar mit einem Vektor? An welche Komponente soll das $t$? Oder muss der Vektor eindimensional gemacht werden? Nein.

    Das Skalar wirkt auf jede Komponente, also werden a, b und c jeweils mit t multipliziert:

    $\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right)\cdot t=\left(\begin{array}{c} a\cdot t \\ b\cdot t \\ c\cdot t \end{array}\right)$.

    Vektor mal Skalar ist also wieder ein Vektor.

  • Berechne, wie schnell das Boot trotz Strömung ist.

    Tipps

    Die Vektoraddition geschieht komponentenweise.

    Lösung

    Hier ein praktisches Beispiel für das, was wir bisher lernten, nämlich die Flussüberquerung mit einem Boot.

    Für den resultierenden Vektor der Bewegung des Bootes müssen wir die Vektoren des Bootes und die der Strömung addieren:

    $\vec{v}_{b2}=\left(\begin{array}{c} v_{b1} \\ 0 \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} 0 \\ v_W \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} v_{b1} \\ v_W \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array}\right) $,

    mit der z-Komponente 0, da das Boot ja auf dem Wasser fährt, also alles auf einer Fläche stattfindet.

    Für die effektive Geschwindigkeit berechnen wir den Betrag dieses Vektors:

    $\vert v_{b2}\vert=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}=11,18~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}=11,2~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

  • Addiere oder subtrahiere die Vektoren.

    Tipps

    Vektoren werden komponentenweise addiert.

    Lösung

    Wenn 2 Vektoren auf etwas wirken bzw. 2 Kräfte, so addiert man sie und bekommt einen neuen Vektor. Dieser gibt dann an, wohin sich das Objekt tatsächlich bewegt.

    Fliegt ein Wattebausch gerade nach vorn und man pustet von der Seite, so fliegt es weder weiter nach vorn noch direkt zur Seite, sondern eine Mischung aus beiden.

    Hier eine einfache Gleichung zu Veranschaulichung der Aufgabe:

    $\left(\begin{array}{c} 1 \\2 \\ 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 7 \\ 9 \end{array}\right)$.

    Es werden also einfach x-, y-, z-Komponenten jeweils addiert oder subtrahiert.

  • Berechne den Betrag der Vektoren.

    Tipps

    Der Betrag ergibt sich über den Satz des Pythagoras.

    Je nachdem, ob du erst addierst und dann die Wurzel ziehst, oder zuerst die einzelnen Wurzeln ziehst und dann addierst, ergeben sich zwei unterschiedliche Ergebnisse.

    Lösung

    Der Betrag eines Vektors ist praktisch seine Länge. Damit kann man aus einem Längenvektor eine Länge ohne Richtung machen bzw. aus einem Geschwindigkeitsvektor eine Geschwindigkeit usw.

    Der Vorteil des Vektors ist, dass er eine Richtung angibt. Dies entfällt beim Betrag. Dafür bekommen wir aber wieder eine Länge, mit der wir etwas anfangen können.

    Die Lösungen sind: $\vert v_1\vert=8,7$ $\vert v_2\vert=24,9$ $\vert v_3\vert=7$.