Total elastischer Stoß

Hallo und herzlich willkommen zu diesem Video! Es geht um total elastische Stöße. 'Total' deswegen, weil wir nur den Fall betrachten wollen, wo wirklich gar keine Energie bei dem Stoß verloren geht. Der Zusammenstoß zweier Billardkugeln beispielsweise kommt dem Idealfall eines total elastischen Stoßes ziemlich nah. Es wird dabei nämlich kaum Energie in andere Energieformen umgewandelt als in kinetische Energie. Ich möchte mich in diesem Video aber nur mit dem Problem im Eindimensionalen beschäftigen, und daher eignen sich diese Autos, die zentral zusammenstoßen, besser also Modell eines elastischen Stoßes. Vorne an den Autos befindet sich jeweils eine Feder, die während des Stoßes zusammengedrückt wird und danach wieder ihre Ausgangsform annimmt. Durch den Stoß wird also keine kinetische Energie in andere Energieformen, wie zum Beispiel Wärmeenergie, Verformung der Körper oder potenzielle Energie, umgewandelt. Die gesamte Bewegungsenergie, also kinetische Energie der Autos bleibt erhalten. Bei einem elastischen Stoß gilt also neben dem Impulserhaltungssatz auch noch der Energieerhaltungssatz. Das ist das Wichtigste, was ihr euch zu elastischen Stößen merken müsst. Damit kann man nämlich nun alles errechnen. Nehmen wir nun zum Beispiel an, wir kennen die Massen der beiden Autos. Das kleine wiegt 1000 kg und das große 2000 kg. Außerdem wissen wir, wie schnell und in welche Richtung die beiden Autos vor dem Stoß fahren: Das große Auto bewegt sich mit 2 m/s nach rechts, und das kleine Auto bewegt sich mit 4 m/s nach links; das sagt das Minuszeichen. Gesucht sind nun die beiden Geschwindigkeiten der Autos nach dem Stoß, also V1' und V2'. So, ich werde jetzt die Formel, die man dafür benötigt, mit dem Energie- und mit dem Impulserhaltungssatz herleiten. Das ist relativ mühselig und nicht immer ganz einfach, daher würde ich euch raten, ab und zu mal den Pausenknopf zu drücken und den Schritt noch mal genau nachzuvollziehen. Wenn ihr die Formel schon kennt, könnt ihr auch einfach weiter spulen und euch nur das Ende des Films angucken. Beginnen wir also links mit dem Energieerhaltungssatz. Dieser besagt ja, dass die Gesamtenergie vor dem Stoß genauso groß sein muss wie die Gesamtenergie nach dem Stoß. Und die Gesamtenergie vor dem Stoß setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie des ersten Wagens + der kinetischen Energie des zweiten Wagens, und das ist genauso groß wie Ekin' vom ersten Wagen +Ekin' vom zweiten Wagen. Ja, und ich denke mal, die Formel für die kinetische Energie dürfte euch auch bekannt sein, das ist ja ½mv². Das können wir jetzt hier einsetzen, natürlich immer mit den jeweiligen Massen m1 und m2 und den Geschwindigkeiten v1, v2, v1' und v2'...Wir können jetzt die gesamte Gleichung mit 2 multiplizieren, dann fallen alle diese Faktoren hier weg. Als nächstes bringen wir die Terme, in denen die gleiche Masse vorkommt, auf eine Seite. Dann erhalten wir also m1×v1², und jetzt -m1×v1'², ist dasselbe wie m2×v2'²-m2×v2². So, und jetzt kommt ein entscheidender Schritt, mit dem wir die Quadrate loswerden können. Wenn wir auf der linken Seite das m1 ausklammern, bleibt übrig: v1²-v1'², und das können wir mit der 3. binomischen Formel auch anders schreiben, nämlich so: m1(v1-v1')(v1+v1'). Und auf der rechten Seite machen wir das gleiche noch mal, also m² klammern wir aus und den Rest formen wir um mit der 3. binomischen Formel: m2(v2'-v2)(v2'+v2). So, jetzt lassen wir den Ansatz mit der Energieerhaltung mal kurz ruhen und gehen parallel über zur Impulserhaltung. Auch hier gilt wie bei der Energieerhaltung, dass der Gesamtimpuls vor dem Stoß = dem Gesamtimpuls nach dem Stoß sein muss. Und die Einzelimpulse p1+p2 sind dementsprechend =p1'+p2'. Der Impuls ist ja Masse×Geschwindigkeit, das setzen wir jetzt ein, also m1×v1+m2×v2=m1×v1'+m2×v2'. So, jetzt haben wir hier zwei Gleichungen, eine von der Energieerhaltung und die andere von der Impulserhaltung, mit nur zwei Unbekannten, d. h. das ist ein Gleichungssystem, das man lösen kann. Folgende Größen sind uns schon gegeben: m1 und v1 und m2 und v2. Unbekannt sind uns nur v1' und v2' - und das sind ja auch die Größen, die wir suchen. Dieses Gleichungssystem gilt es jetzt also zu lösen; ich möchte das mit dem Einsetzungsverfahren machen. Wir lösen jetzt also diese rechte Gleichung hier nach v2' auf, schaffen also m1×v1' auf die linke Seite und teilen durch m², also v2'=m1×v1+m2×v2-m1×v1', und jetzt ein großer Bruchstrich, /m2. Das schreiben wir noch ein bisschen um, indem wir m2 in zwei Termen ausklammern und den Bruch aufteilen. Folgendermaßen: v2'=(m1/m2)×(v1-v1')+v2. Hinten hat sich das m2 rausgekürzt. Ja, und diese Gleichung für die Geschwindigkeit des zweiten Autos nach dem Stoß setzen wir jetzt in die linke Gleichung hier ein. Das wird jetzt eine große Gleichung. Auf der linken Seite passiert erst mal gar nichts, also m1×(v1-v1')×(v1+v1')=m2, jetzt machen wir eckige Klammern auf, und jetzt kommt das eingesetzte: (m1/m2)×(v1-v1')+v2-v2; eckige Klammer zu, und jetzt öffnen wir eine neue eckige Klammer, und jetzt kommt wieder das Eingesetzte: (m1/m2)×(v1-v1')+v2, nochmal +v2, und die eckige Klammer wieder zu. So, jetzt können wir erst mal eine Menge noch wegkürzen. Erst mal hebt sich v2-v2 natürlich weg. Jetzt ist das innerhalb der ersten eckigen Klammer keine Summe mehr, daher können wir jetzt auch das m2 wegkürzen. Außerdem können wir das m1 von der linken Seite auch wegkürzen und noch die Klammer (v1-v1'). Das vereinfacht natürlich die Gleichung erheblich. Was bleibt auf der linken Seite noch übrig? v1+v1', und auf der rechten Seite multiplizieren wir gleich mal die Klammern aus, das ist dann (m1/m2)×v1-(m1/m2)×v1', und die beiden v2s können wir zusammenfassen zu 2×v2. So, unser Ziel ist ja, die Gleichung nach v1' aufzulösen. Daher bringen wir alle Terme, die v1' enthalten, mal auf eine Seite, also: v1'+(m1/m2)×v1'=(m1/m2)×v1-v1+2×v2. Auf der linken Seite klammern wir jetzt v1' aus, also v1'×, da bleibt eine 1 übrig,+m1/m2, =, und auf der rechten Seite klammern wir auch v1 aus, also (m1/m2-1)×v1+2×v2. So, jetzt müssen wir nur noch durch die gesamte Klammer 1+m1/m2 dividieren, und dann steht v1' auf der linken Seite alleine. Auf der rechten Seite passiert jetzt auch ein wichtiger Schritt, wir klammern nämlich aus der Klammer 1/m2 aus, obwohl dies nur im ersten Term enthalten ist. Dann bleibt nämlich übrig: 1/m2×(m1-m2). Dass das so stimmt, könnt ihr euch mal klar machen, indem ihr den Schritt einfach wieder rückwärts macht, also die Klammer ausmultipliziert. Der Rest bleibt so stehen, und wir teilen noch durch die Klammer von der linken Seite: 1+m1/m2. Den Zähler lassen wir jetzt noch mal so stehen, aber im Nenner machen wir einen ähnlichen Schritt wie eben im Zähler. Wir klammern nämlich 1/m2 aus. Dann bleibt wieder in der Klammer übrig: (m2+m1). Macht euch auch hier den Schritt noch mal klar, indem ihr das Ausklammern rückgängig macht. Und weiter geht’s, gleich haben wir es geschafft. Durch den Doppelbruch können wir das unterste m2 auch hoch in den Zähler schreiben, also m2×(1/m2×(m1-m2)×v1+2×v2)/(m1+m2). Im nächsten Schritt multiplizieren wir die großen Klammern aus. Dadurch kürzt sich im vorderen Teil das m2 weg, es bleibt also nur noch (m1-m2)×v1 übrig. Und hinten kommt es dazu, also +(2×v2)/m2, /(m1+m2), das bleibt stehen. So, und jetzt sind wir am Ziel. Das ist die Gleichung, die wir benötigen, um die Aufgabe zu lösen. Analog können wir das jetzt auch für v2' aufschreiben: Wir vertauschen einfach alle Größen, also (m2-m1), statt (m1-m2), ×v2, statt v1, +2×v1×m1, geteilt durch m1+m2. Das ist unsere zweite wichtige Gleichung. Also, erinnern wir uns noch mal an die Werte der Aufgabenstellung: m2=2000 kg, m1=1000 kg, v2= 4 m/s und v1= -2 m/s. Und gesucht waren ja die Geschwindigkeiten der beiden Körper nach dem Stoß, v1' und v2', für die wir ja jetzt Gleichungen gefunden haben. D. h. wir müssen jetzt nur noch einsetzen: v1'=(1000 kg-2000 kg)×(-2)m/s+2×4(m/s)×2000 kg, geteilt durch 1000 kg+2000 kg. Das können wir schon mal zusammenfassen, vorne sind das 2000 kg×(m/s), von den Einheiten her auf jeden Fall ein Impuls, +16000 kg×(m/s), /3000kg. Das m/s ist da leider zu viel. Das kg kürzt sich jeweils weg, übrig bleibt als Einheit also m/s, das macht ja auch Sinn für eine Geschwindigkeit, also ist dann v1'=6 m/s. Der kleine Wagen gewinnt also an kinetischer Energie und schießt mit 6 m/s nach rechts. Jetzt berechnen wir das Gleiche noch mal für v2'. Das ist dann =2000 kg-1000 kg×4(m/s)+2×(-2)m/s×1000 kg, /1000 kg+2000 kg. Ein wenig zusammengefasst ergibt das dann: v2'=(4000 kg×(m/s)+4000 kg×(m/s))/3000 kg. Und das sind dann tatsächlich 0 m/s. Das bedeutet, das große Fahrzeug bleibt nach dem Stoß komplett stehen, es hat also seinen kompletten Impuls an das kleine Fahrzeug übertragen. Das sieht dann ungefähr so aus. So, jetzt will ich noch einen letzten Sonderfall betrachten, nämlich, wenn die beiden Stoßpartner die gleiche Masse haben, also m1=m2. Das vereinfacht nämlich die Gleichung erheblich. Der erste Term mit m1-m2 fällt komplett weg; übrig bleibt nur noch (2×v2×m2)/, und m1+m2 kann man ja auch schreiben als 2×m2, denn die Massen sind ja gleich. Und das kürzt sich dann alles weg bis auf das v2, was bedeutet, dass die Geschwindigkeit des ersten Fahrzeugs nach dem Stoß genau der Geschwindigkeit des anderen Fahrzeugs vor dem Stoß ist. Und bei v2' ist das dann natürlich analog v1, also die Anfangsgeschwindigkeit des ersten Fahrzeugs. So, das war's jetzt erst mal, jetzt möchte ich noch mal kurz zusammenfassen, was das Wichtigste für die total elastischen Stöße ist. Also, es gilt die Energieerhaltung und die Impulserhaltung. Bei einem elastischen Stoß geht keine Energie in andere Energieformen verloren, z. B. in Wärmeenergie oder in Verformungsarbeit. Außerdem bewegen sich die Stoßpartner nach dem Stoß getrennt voneinander fort, im Gegensatz zum inelastischen Stoß. Das war jetzt ein sehr langes Video. Ich hoffe, ihr habt eine Menge gelernt und stört euch nicht allzu sehr daran, dass ich keine Rechenbefehle mache. Also, bis zum nächsten Mal, tschüss!