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Total elastischer Stoß

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Ø 4.8 / 5 Bewertungen

Die Autor*innen
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Sandra Haufe
Total elastischer Stoß
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse

Beschreibung Total elastischer Stoß

Hallo! Was passiert eigentlich, wenn zwei Körper aufeinander prallen? Einen besonderen Fall untersuchen wir hier genauer und du lernst den elastischen Stoß kennen. Das ist ein Stoß, bei dem die Körper voneinander abprallen und sich dabei nicht dauerhaft verformen. Etwa wie bei Billardkugeln. An ausführlichen Beispielen siehst du, was dabei passiert und wie sich die Körper nach dem Stoß bewegen. Die Gleichungen und Formeln die du dann anwenden kannst werden ausführlich hergeleitet und auch ein Beispiel ausführlich durch gerechnet.

Transkript Total elastischer Stoß

Hallo und herzlich willkommen zu diesem Video! Es geht um total elastische Stöße. 'Total' deswegen, weil wir nur den Fall betrachten wollen, wo wirklich gar keine Energie bei dem Stoß verloren geht. Der Zusammenstoß zweier Billardkugeln beispielsweise kommt dem Idealfall eines total elastischen Stoßes ziemlich nah. Es wird dabei nämlich kaum Energie in andere Energieformen umgewandelt als in kinetische Energie. Ich möchte mich in diesem Video aber nur mit dem Problem im Eindimensionalen beschäftigen, und daher eignen sich diese Autos, die zentral zusammenstoßen, besser also Modell eines elastischen Stoßes. Vorne an den Autos befindet sich jeweils eine Feder, die während des Stoßes zusammengedrückt wird und danach wieder ihre Ausgangsform annimmt. Durch den Stoß wird also keine kinetische Energie in andere Energieformen, wie zum Beispiel Wärmeenergie, Verformung der Körper oder potenzielle Energie, umgewandelt. Die gesamte Bewegungsenergie, also kinetische Energie der Autos bleibt erhalten. Bei einem elastischen Stoß gilt also neben dem Impulserhaltungssatz auch noch der Energieerhaltungssatz. Das ist das Wichtigste, was ihr euch zu elastischen Stößen merken müsst. Damit kann man nämlich nun alles errechnen. Nehmen wir nun zum Beispiel an, wir kennen die Massen der beiden Autos. Das kleine wiegt 1000 kg und das große 2000 kg. Außerdem wissen wir, wie schnell und in welche Richtung die beiden Autos vor dem Stoß fahren: Das große Auto bewegt sich mit 2 m/s nach rechts, und das kleine Auto bewegt sich mit 4 m/s nach links; das sagt das Minuszeichen. Gesucht sind nun die beiden Geschwindigkeiten der Autos nach dem Stoß, also V1' und V2'. So, ich werde jetzt die Formel, die man dafür benötigt, mit dem Energie- und mit dem Impulserhaltungssatz herleiten. Das ist relativ mühselig und nicht immer ganz einfach, daher würde ich euch raten, ab und zu mal den Pausenknopf zu drücken und den Schritt noch mal genau nachzuvollziehen. Wenn ihr die Formel schon kennt, könnt ihr auch einfach weiter spulen und euch nur das Ende des Films angucken. Beginnen wir also links mit dem Energieerhaltungssatz. Dieser besagt ja, dass die Gesamtenergie vor dem Stoß genauso groß sein muss wie die Gesamtenergie nach dem Stoß. Und die Gesamtenergie vor dem Stoß setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie des ersten Wagens + der kinetischen Energie des zweiten Wagens, und das ist genauso groß wie Ekin' vom ersten Wagen +Ekin' vom zweiten Wagen. Ja, und ich denke mal, die Formel für die kinetische Energie dürfte euch auch bekannt sein, das ist ja ½mv². Das können wir jetzt hier einsetzen, natürlich immer mit den jeweiligen Massen m1 und m2 und den Geschwindigkeiten v1, v2, v1' und v2'...Wir können jetzt die gesamte Gleichung mit 2 multiplizieren, dann fallen alle diese Faktoren hier weg. Als nächstes bringen wir die Terme, in denen die gleiche Masse vorkommt, auf eine Seite. Dann erhalten wir also m1×v1², und jetzt -m1×v1'², ist dasselbe wie m2×v2'²-m2×v2². So, und jetzt kommt ein entscheidender Schritt, mit dem wir die Quadrate loswerden können. Wenn wir auf der linken Seite das m1 ausklammern, bleibt übrig: v1²-v1'², und das können wir mit der 3. binomischen Formel auch anders schreiben, nämlich so: m1(v1-v1')(v1+v1'). Und auf der rechten Seite machen wir das gleiche noch mal, also m² klammern wir aus und den Rest formen wir um mit der 3. binomischen Formel: m2(v2'-v2)(v2'+v2). So, jetzt lassen wir den Ansatz mit der Energieerhaltung mal kurz ruhen und gehen parallel über zur Impulserhaltung. Auch hier gilt wie bei der Energieerhaltung, dass der Gesamtimpuls vor dem Stoß = dem Gesamtimpuls nach dem Stoß sein muss. Und die Einzelimpulse p1+p2 sind dementsprechend =p1'+p2'. Der Impuls ist ja Masse×Geschwindigkeit, das setzen wir jetzt ein, also m1×v1+m2×v2=m1×v1'+m2×v2'. So, jetzt haben wir hier zwei Gleichungen, eine von der Energieerhaltung und die andere von der Impulserhaltung, mit nur zwei Unbekannten, d. h. das ist ein Gleichungssystem, das man lösen kann. Folgende Größen sind uns schon gegeben: m1 und v1 und m2 und v2. Unbekannt sind uns nur v1' und v2' - und das sind ja auch die Größen, die wir suchen. Dieses Gleichungssystem gilt es jetzt also zu lösen; ich möchte das mit dem Einsetzungsverfahren machen. Wir lösen jetzt also diese rechte Gleichung hier nach v2' auf, schaffen also m1×v1' auf die linke Seite und teilen durch m², also v2'=m1×v1+m2×v2-m1×v1', und jetzt ein großer Bruchstrich, /m2. Das schreiben wir noch ein bisschen um, indem wir m2 in zwei Termen ausklammern und den Bruch aufteilen. Folgendermaßen: v2'=(m1/m2)×(v1-v1')+v2. Hinten hat sich das m2 rausgekürzt. Ja, und diese Gleichung für die Geschwindigkeit des zweiten Autos nach dem Stoß setzen wir jetzt in die linke Gleichung hier ein. Das wird jetzt eine große Gleichung. Auf der linken Seite passiert erst mal gar nichts, also m1×(v1-v1')×(v1+v1')=m2, jetzt machen wir eckige Klammern auf, und jetzt kommt das eingesetzte: (m1/m2)×(v1-v1')+v2-v2; eckige Klammer zu, und jetzt öffnen wir eine neue eckige Klammer, und jetzt kommt wieder das Eingesetzte: (m1/m2)×(v1-v1')+v2, nochmal +v2, und die eckige Klammer wieder zu. So, jetzt können wir erst mal eine Menge noch wegkürzen. Erst mal hebt sich v2-v2 natürlich weg. Jetzt ist das innerhalb der ersten eckigen Klammer keine Summe mehr, daher können wir jetzt auch das m2 wegkürzen. Außerdem können wir das m1 von der linken Seite auch wegkürzen und noch die Klammer (v1-v1'). Das vereinfacht natürlich die Gleichung erheblich. Was bleibt auf der linken Seite noch übrig? v1+v1', und auf der rechten Seite multiplizieren wir gleich mal die Klammern aus, das ist dann (m1/m2)×v1-(m1/m2)×v1', und die beiden v2s können wir zusammenfassen zu 2×v2. So, unser Ziel ist ja, die Gleichung nach v1' aufzulösen. Daher bringen wir alle Terme, die v1' enthalten, mal auf eine Seite, also: v1'+(m1/m2)×v1'=(m1/m2)×v1-v1+2×v2. Auf der linken Seite klammern wir jetzt v1' aus, also v1'×, da bleibt eine 1 übrig,+m1/m2, =, und auf der rechten Seite klammern wir auch v1 aus, also (m1/m2-1)×v1+2×v2. So, jetzt müssen wir nur noch durch die gesamte Klammer 1+m1/m2 dividieren, und dann steht v1' auf der linken Seite alleine. Auf der rechten Seite passiert jetzt auch ein wichtiger Schritt, wir klammern nämlich aus der Klammer 1/m2 aus, obwohl dies nur im ersten Term enthalten ist. Dann bleibt nämlich übrig: 1/m2×(m1-m2). Dass das so stimmt, könnt ihr euch mal klar machen, indem ihr den Schritt einfach wieder rückwärts macht, also die Klammer ausmultipliziert. Der Rest bleibt so stehen, und wir teilen noch durch die Klammer von der linken Seite: 1+m1/m2. Den Zähler lassen wir jetzt noch mal so stehen, aber im Nenner machen wir einen ähnlichen Schritt wie eben im Zähler. Wir klammern nämlich 1/m2 aus. Dann bleibt wieder in der Klammer übrig: (m2+m1). Macht euch auch hier den Schritt noch mal klar, indem ihr das Ausklammern rückgängig macht. Und weiter geht’s, gleich haben wir es geschafft. Durch den Doppelbruch können wir das unterste m2 auch hoch in den Zähler schreiben, also m2×(1/m2×(m1-m2)×v1+2×v2)/(m1+m2). Im nächsten Schritt multiplizieren wir die großen Klammern aus. Dadurch kürzt sich im vorderen Teil das m2 weg, es bleibt also nur noch (m1-m2)×v1 übrig. Und hinten kommt es dazu, also +(2×v2)/m2, /(m1+m2), das bleibt stehen. So, und jetzt sind wir am Ziel. Das ist die Gleichung, die wir benötigen, um die Aufgabe zu lösen. Analog können wir das jetzt auch für v2' aufschreiben: Wir vertauschen einfach alle Größen, also (m2-m1), statt (m1-m2), ×v2, statt v1, +2×v1×m1, geteilt durch m1+m2. Das ist unsere zweite wichtige Gleichung. Also, erinnern wir uns noch mal an die Werte der Aufgabenstellung: m2=2000 kg, m1=1000 kg, v2= 4 m/s und v1= -2 m/s. Und gesucht waren ja die Geschwindigkeiten der beiden Körper nach dem Stoß, v1' und v2', für die wir ja jetzt Gleichungen gefunden haben. D. h. wir müssen jetzt nur noch einsetzen: v1'=(1000 kg-2000 kg)×(-2)m/s+2×4(m/s)×2000 kg, geteilt durch 1000 kg+2000 kg. Das können wir schon mal zusammenfassen, vorne sind das 2000 kg×(m/s), von den Einheiten her auf jeden Fall ein Impuls, +16000 kg×(m/s), /3000kg. Das m/s ist da leider zu viel. Das kg kürzt sich jeweils weg, übrig bleibt als Einheit also m/s, das macht ja auch Sinn für eine Geschwindigkeit, also ist dann v1'=6 m/s. Der kleine Wagen gewinnt also an kinetischer Energie und schießt mit 6 m/s nach rechts. Jetzt berechnen wir das Gleiche noch mal für v2'. Das ist dann =2000 kg-1000 kg×4(m/s)+2×(-2)m/s×1000 kg, /1000 kg+2000 kg. Ein wenig zusammengefasst ergibt das dann: v2'=(4000 kg×(m/s)+4000 kg×(m/s))/3000 kg. Und das sind dann tatsächlich 0 m/s. Das bedeutet, das große Fahrzeug bleibt nach dem Stoß komplett stehen, es hat also seinen kompletten Impuls an das kleine Fahrzeug übertragen. Das sieht dann ungefähr so aus. So, jetzt will ich noch einen letzten Sonderfall betrachten, nämlich, wenn die beiden Stoßpartner die gleiche Masse haben, also m1=m2. Das vereinfacht nämlich die Gleichung erheblich. Der erste Term mit m1-m2 fällt komplett weg; übrig bleibt nur noch (2×v2×m2)/, und m1+m2 kann man ja auch schreiben als 2×m2, denn die Massen sind ja gleich. Und das kürzt sich dann alles weg bis auf das v2, was bedeutet, dass die Geschwindigkeit des ersten Fahrzeugs nach dem Stoß genau der Geschwindigkeit des anderen Fahrzeugs vor dem Stoß ist. Und bei v2' ist das dann natürlich analog v1, also die Anfangsgeschwindigkeit des ersten Fahrzeugs. So, das war's jetzt erst mal, jetzt möchte ich noch mal kurz zusammenfassen, was das Wichtigste für die total elastischen Stöße ist. Also, es gilt die Energieerhaltung und die Impulserhaltung. Bei einem elastischen Stoß geht keine Energie in andere Energieformen verloren, z. B. in Wärmeenergie oder in Verformungsarbeit. Außerdem bewegen sich die Stoßpartner nach dem Stoß getrennt voneinander fort, im Gegensatz zum inelastischen Stoß. Das war jetzt ein sehr langes Video. Ich hoffe, ihr habt eine Menge gelernt und stört euch nicht allzu sehr daran, dass ich keine Rechenbefehle mache. Also, bis zum nächsten Mal, tschüss!

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Was wenn zB. das kleine Fahrzeug mit einer kleineren Geschwindigkeit vom grossen Fahrzeug wegfährt und das grosse mit einer grösseren Geschwindigkeit hintenrein?

    Von Severin Kunz, vor etwa 6 Jahren
  2. Sehr deutlich, vor allem schön kleinschrittig!

    Von Andrestammsen, vor mehr als 6 Jahren
  3. @Olivia Ing.: Du hast Recht. Sandra vertauscht das Minus bei den Anfangsgeschwindigkeiten.

    Von Nikolai P., vor mehr als 8 Jahren
  4. Die Erklärung ist sehr gut und hat mir wirklich sehr weitergeholfen. Nur leider werden zum Schluss die Angaben, die anfangs aufgestellt wurden, verändert. Die Geschwindigkeiten werden zum Schluss verändert, was natürlich ein anderes Ergebnis ergibt. Anfangs ist v1=-4m/s und v2=2m/s.

    Von Olivia Ing., vor mehr als 8 Jahren
  5. das ist wirklich gut

    Von Denisa500, vor fast 9 Jahren

Total elastischer Stoß Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Total elastischer Stoß kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse dein Wissen über den total elastischen Stoß zusammen.

    Tipps

    Innere Energieformen sind zum Beispiel Wärmeenergie, potentielle Energie und Verformungsenergie.

    Wie verhalten sich die Kugeln beim Billardspiel oder dem Kugelstoßpendel nach dem elastischen Stoß?

    Potentielle Energie - Lageenergie, kinetische Energie - Bewegungsenergie.

    Welche Erhaltungssätze gelten bei elastischen Stößen?

    Lösung

    Bei (total) elastischen Stößen wird keine Energie in innere Energieformen, wie Wärmeenergie, potentielle Energie (Lageenergie) oder Verformungsenergie, umgewandelt. Die gesamte kinetische Energie (Bewegungsenergie) der Stoßpartner vor dem Stoß bleibt erhalten. Sie wird während des Stoßes lediglich ganz oder teilweise von einem Körper auf den anderen übertragen. Dadurch verändern sich die Geschwindigkeiten und Impulse der Körper.

    Nach dem elastischen Stoß bewegen sich die beiden Stoßpartner getrennt voneinander weiter. Es gilt Impulserhaltung: Die Summe der Impulse vor dem Stoß ist gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß. Darüber hinaus gilt außerdem der Energieerhaltungssatz: Die Summe der kinetischen Energien der Stoßpartner ist vor dem Stoß genauso groß wie nach dem Stoß.

  • Gib an, aus welchem Ansatz die Formeln für die Berechnung der Geschwindigkeiten der Stoßpartner nach einem elastischen Stoß hergeleitet werden können.

    Tipps

    Welche Erhaltungssätze gelten beim elastischen Stoß?

    Wie können diese in unterschiedlichen Formen ausgedrückt werden?

    Wie berechnet man den Impuls beziehungsweise die kinetische Energie eines Körpers?

    Lösung

    Beim elastischen Stoß treten Energie- und Impulserhaltung auf.

    Die Gesamtenergie vor und nach dem Stoß ist gleich (Energieerhaltungssatz): $E_{Ges}=E'_{Ges}$. Da beim Stoß nur kinetische Energie übertragen wird, muss nur diese Bilanz betrachtet werden. Die Summe der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß ist gleich: $E_{Kin,1}+E_{Kin,2}=E'_{Kin,1}+E'_{Kin,2}$. In diesem Fall kann man dies mit dem Einsetzen der Größen Körpermasse und Körpergeschwindigkeit in die Formel für die kinetische Energie $E_{Kin}=\frac 12 m\cdot v^2$ so ausdrücken: $\frac 12 m_1\cdot v_1^2+\frac 12 m_2\cdot v_2^2=\frac 12 m_1\cdot (v'_1)^2+\frac 12 m_2\cdot (v'_2)^2$.

    Vergleichbar kann man auch für den Impuls vorgehen. Es gilt Impulserhaltung. Der Gesamtimpuls des Systems bleibt gleich: $p_{Ges}=p'_{Ges}$. Somit ist die Summe der Impulse der Körper vor und nach dem Stoß gleich: $p_1+p_2=p'_1+p'_2$. Das Einsetzen der Körpermasse und der Geschwindigkeit nach dem Zusammenhang $p=m\cdot v$ ergibt somit: $m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2=m_1\cdot v'_1+m_2\cdot v'_2$.

  • Analysiere die Herleitung zum elastischen Stoß von Clara und Paul.

    Tipps

    Insgesamt drei Fehler haben sich eingeschlichen.

    Lösung

    Die Einsetzung von Gleichung II in Gleichung I haben Clara und Paul richtig durchgeführt:

    $m_1(v_1-v'_1)(v_1+v'_1)=m_2(\frac {m_1} {m_2} (v_1-v'_1)+v_2-v_2)(\frac {m_1} {m_2} (v_1-v'_1)+v_2+v_2)$.

    Beim Kürzen und Ausmultiplizieren ist ihnen jedoch beim Notieren des Schrittes ein Vorzeichenfehler unterlaufen: Sie kürzen den Term $(v_1-v'_1)$ und nicht den Term $(v_1+v'_1)$.

    Das Resultat ist jedoch richtig:

    $(v_1+v'_1)=\frac {m_1} {m_2} \cdot v_1-\frac {m_1} {m_2} \cdot v'_1+2\cdot v_2$.

    Beim Umformen nach $v'_1$ hat sich ein weiterer Fehler eingeschlichen: Auf der linken Seite steht anstelle des Terms $v_1$ ebenfalls ein $v'_1$:

    $v'_1+\frac {m_1} {m_2}v'_1=\frac {m_1} {m_2} \cdot v_1-v_1+2\cdot v_2$.

    Die zwei Folgeschritte sind jedoch wieder richtig notiert:

    $v'_1(1+\frac {m_1} {m_2})=v_1(\frac {m_1} {m_2}-1)+2\cdot v_2$

    $v'_1=\frac {\frac {1} {m_2}(m_1-m_2)v_1+2\cdot v_2} {(1+\frac {m_1} {m_2})}$.

    Dann haben sie jedoch die Vorzeichen in den Klammern vertauscht, die Massendiffernz steht im Zähler und die Summe der Massen im Nenner:

    $v'_1=\frac {\frac {1} {m_2}(m_1-m_2)v_1+2\cdot v_2} {\frac {1} {m_2}(m_2+m_1)}$.

    Der letzte Schritt ist wieder komplett richtig:

    $v'_1=\frac {(m_1-m_2)v_1+2\cdot v_2\cdot m_2} {(m_2+m_1)}$.

  • Berechne die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln nach den Stoß.

    Tipps
    Lösung

    Für Kugel 1 ergibt sich nach der bekannten Formel:

    $v'_1=\frac {(m_1-m_2)\cdot v_1+2v_2\cdot m_2} {m_1+m_2}=\frac {(100~g-150~g)\cdot 1,2\frac ms+2\cdot 0\frac ms\cdot 150~g} {100~g+150~g}=-0,24\frac ms$.

    Das Minuszeichen zeigt an, dass sich die Kugel nun in entgegengesetzte Richtung bewegt. Die Geschwindigkeit von Kugel 1 hat sich deutlich verringert. Sie hat den Großteil ihrer kinetischen Energie an Kugel 2 abgegeben.

    Kugel 2 besitzt folgende Geschwindigkeit nach dem Stoß:

    $v'_2=\frac {(150~g-100~g)\cdot 0\frac ms+2\cdot 1,2 \frac ms \cdot 100~g} {100~g+150~g}=0,96 \frac ms$.

    Sie bewegt sich in der ursprünglichen Richtung von Kugel 1 fort. Ihre Geschwindigkeit ist ziemlich hoch, wenn auch nicht ganz so hoch wie die von Kugel 1 vor dem Stoß. Ihre Bewegungsenergie hat Kugel 2 durch den Zusammenstoß von Kugel 1 erhalten.

  • Nenne die Formeln, mit deren Hilfe die Geschwindigkeiten der Stoßpartner nach einem elastischen Stoß berechnet werden können.

    Tipps

    Welche Größen tauchen in den Formeln auf?

    In welchen Termen werden die Massen addiert, in welchen subtrahiert?

    Stimmt der Index für die Geschwindigkeiten und Massen jeweils?

    Lösung

    Die Geschwindigkeiten von zwei Stoßpartnern nach einem (total) elastischen Stoß lassen sich mit den folgenden Formeln berechnen:

    $v'_1=\frac {(m_1-m_2)\cdot v_1+2v_2\cdot m_2} {(m_1+m_2)}$ und

    $v'_2=\frac {(m_2-m_1)\cdot v_2+2v_1\cdot m_1} {(m_1+m_2)}$.

    Es werden für die Berechnung nur die Massen der Körper benötigt sowie ihre Geschwindigkeiten vor dem Stoß. Die Formel für die Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem Stoß ergibt sich durch das Austauschen aller Indizes im Zähler: $m_1$ wird durch $m_2$ ersetzt, $v_1$ durch $v_2$ und so weiter.

    Bei Rechnungen vereinfachen sich die Gleichungen manchmal, weil bestimmte Terme wegfallen oder kürzer werden. Dies passiert, wenn eine Geschwindigkeit vor dem Stoß Null ist. Dann nämlich wird der gesamte Ausdruck Null, in dem diese Geschwindigkeit auftaucht. Oder aber, wenn beide Körper die gleiche Masse haben. Dann wird der Klammerterm Null oder kann vereinfacht mit $2m$ ausgedrückt werden.

  • Leite dir her, was beim Sonderfall eines sehr großen Masseunterschiedes der Stoßpartner beim elastischen Stoß passiert.

    Tipps

    Verwende die Formeln zur Berechnung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß und berücksichtige dabei die Besonderheiten dieser Konstellation.

    Lösung

    Für diesen Fall kann die Masse $m_1$ in den Formeln für die Berechnung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß vernachlässigt werden. $v_2$ ist außerdem Null. Dann ergibt sich:

    $v'_1=\frac {(m_1-m_2)\cdot v_1+2v_2\cdot m_2} {(m_1+m_2)}=\frac {(0-m_2)\cdot v_1+2\cdot 0\cdot m_2} {(0+m_2)}=-\frac {m_2} {m_2}\cdot v_1=-v_1$ und

    $v'_2=\frac {(m_2-m_1)\cdot v_2+2v_1\cdot m_1} {(m_1+m_2)}=\frac {(m_2-0)\cdot 0+2v_1\cdot 0} {(0+m_2)}=\frac {0} {m_2}=0$.

    Körper 1 wird an Körper 2 reflektiert. Körper 2 verändert seine Ruheposition dabei nicht. Ein praktisches Bespiel könnte ein Tischtennisball sein, der gegen eine große massive Eisenkugel rollt.

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