30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Schwingungsdauer des Federpendels 06:03 min

  • Ohne Druck

    Wissenslücken schließen

    videos
  • Überall

    wiederholen und üben

    tests
  • Im eigenen Tempo

    mit Arbeitsblättern lernen

    worksheets
  • Jederzeit

    Fragen stellen

    chat
Mit Spaß

Noten verbessern

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden

Textversion des Videos

Transkript Schwingungsdauer des Federpendels

In diesem Video wiederholen wir die mathematische Beschreibung des Federpendels und leiten dann eine Formel für dessen Schwingungsdauer her. Du solltest also schon die allgemeine Beschreibung einer Schwingung beherrschen und die mathematische Beschreibung des Federpendels zumindest schon einmal gesehen haben. Die mathematische Beschreibung des Federpendels wiederholen wir noch einmal. Mit dem zweiten Newton’schen Gesetz und dem Hooke’schen Gesetz kann man folgende Differentialgleichungen aufstellen: Die zweite Ableitung von y zu Zeit, also die Beschleunigung, ist gleich minus Federkonstante D geteilt durch die Masse m des Pendelkörpers mal der Auslenkung y. Als Lösung dieser Gleichung erhält man die Formel für die Auslenkung in Abhängigkeit der Zeit, y von t ist gleich die Amplitude A mal der Sinus von Phi von t. Wir berechnen dann die erste Ableitung und erhalten die Geschwindigkeit v von t ist gleich Amplitude A mal Cosinus des Phasenwinkels Phi mal Kreisfrequenz Omega. Die zweite Ableitung ist die Beschleunigung, a von t ist gleich minus Amplitude mal der Sinus des Phasenwinkels Phi mal Kreisfrequenz Omega zum Quadrat. Veranschaulichen wir uns das Ganze mal graphisch. Dazu fangen wir mit der Auslenkung an. Lässt man ein Federpendel schwingen, kann man zu jeder Zeit die Entfernung zu seiner Gleichgewichtslage messen. Dies lässt sich leicht in einem Koordinatensystem darstellen. Die Auslenkung trägt man an der y-Achse ab und die Zeit an der x-Achse. Stell dir jetzt vor, du hast einen Zeiger mit einer bestimmten Länge, der mit konstanter Geschwindigkeit rotiert, fast so wie der Sekundenzeiger einer Uhr. Aber unser Zeiger geht gegen den Uhrzeigersinn. Nimm an, die Länge des Zeigers entspricht der Amplitude einer Schwingung. Interessanterweise erhält man dann dieselbe Kurve wie zuvor, wenn man nun zu jeder Zeit die Entfernung der Zeigerspitze zur x-Achse misst und beides wieder in ein Diagramm einträgt. Die Darstellung mit dem Zeiger nennt man Zeigerdiagramm. Das ist praktisch, denn mit dem Winkel zwischen Zeiger und x-Achse kann man jedem Punkt auf der Kurve einen Winkel zu schreiben. Dieser Winkel ist genau der Phasenwinkel. Außerdem kann man so die Kreisfrequenz Omega gut veranschaulichen, denn sie beschreibt die Änderungsrate des Phasenwinkels. Diese ist also gerade eine Umdrehung, also zwei Pi je Periodendauer t. Zwei Pi steht hier für den Winkel, den der Zeiger in der Periodendauer t zurücklegt. Allgemeiner können wir für einen beliebigen Winkel schreiben, Omega ist gleich Phi von t, geteilt durch die Zeit t. Durch Umstellen erhalten wir den Phasenwinkel: Phi (t) = Omega * t. Jetzt verallgemeinern wir weiter. Fängt die Schwingung nicht in der Gleichgewichtslage an, sondern mit einer beliebigen Auslenkung, dann beginnt die Kurve nicht im Koordinatenursprung, zum Beispiel so. Mit dem Zeigerdiagramm finden wir heraus, welchem Phasenwinkel diese anfängliche Auslenkung entspricht. Man nennt diesen Winkel Nullphasenwinkel, da er der Phasenwinkel zum Zeitpunkt Null ist. Addiert man diesen zu dem Phasenwinkel, dann hat man eine Formel, die auch funktioniert, wenn die Schwingung nicht in der Gleichgewichtslage beginnt. So weit, so gut. Stell dir vor, man will jetzt ein Federpendel mit bestimmten Eigenschaften bauen. Wovon hängt dann die Kreisfrequenz beziehungsweise die Periodendauer ab? Erinnere dich an die mathematische Beschreibung. Dort wurde das Hookesche Gesetz benutzt. Bei der Herleitung der Formel für die Auslenkung des Federpendels kommt man damit auf einen Ausdruck für die Kreisfrequenz Omega, Omega ist gleich die Wurzel der Federkonstante D geteilt durch die Masse m des Pendelkörpers. In dieser steckt interessanterweise schon die Federkonstante, die die Härte der Feder beschreibt. Du kennst aber auch schon den Zusammenhang zwischen Periodendauer und Kreisfrequenz. Omega ist gleich zwei Pi geteilt durch T. Jetzt ist es nicht mehr weit, bis wir einen Ausdruck für die Periodendauer haben. Wir stellen die zweite Formel für Omega nach T um und setzen dann den anderen Ausdruck für Omega in dieser Formel ein. Das können wir jetzt noch etwas einfacher schreiben und sind fertig. Wollen wir also ein Pendel mit bestimmtem Verhalten bauen, müssen wir eine Feder wählen, die die entsprechende Härte für die Masse unseres Pendelkörpers hat. Fassen wir noch einmal alles zusammen: Du hast heute das Zeigerdiagramm zur Darstellung von Schwingungen kennengelernt. Dabei dreht sich ein Zeiger um den Koordinatenursprung. Die Länge des Zeigers entspricht der Amplitude der Schwingung. Die Auslenkung wird durch den Abstand der Zeigerspitze zur x-Achse dargestellt. Der Phasenwinkel zum Zeitpunkt „t 0“ ist der sogenannte Nullphasenwinkel. Und die Änderungsrate des Phasenwinkels ist die Kreisfrequenz Omega. Dann haben wir uns die Periodendauer aus schon von der mathematischen Beschreibung des Federpendels bekannten Gleichungen hergeleitet. Das Ergebnis war, dass die Periodendauer T gleich zwei Pi mal Wurzel aus der Masse m des Pendelkörpers geteilt durch die Federkonstante D ist.

2 Kommentare
  1. Sorry aber viel zu kompliziert erklärt

    Von Mike Gödert, vor etwa 3 Jahren
  2. Ganz vielen Dank für diese super Erkärung!!
    Hat mir total geholfen :)

    Von Carl Philipp Spengler, vor mehr als 3 Jahren

Schwingungsdauer des Federpendels Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schwingungsdauer des Federpendels kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welche physikalischen Größen Einfluss auf die Periodendauer der Schwingung nehmen.

    Tipps

    Überlege dir genau, wie der Versuchsaufbau aussieht.

    Wir müssen die Schwingung für unterschiedliche Federn berechenbar machen.

    Lösung

    Die Schwingungsdauer des Federpendels lässt sich anhand zweier charakteristischer Größen bestimmen.

    Schauen wir uns zunächst einmal den Versuchsaufbau an. Eine Masse $m$ hängt an einer Feder. Es ist schon ganz logisch, dass die Auslenkung des Systems aus der Ruhelage umso größer ist, je schwerer die angehängte Masse ist. Dazu kommt noch ein Kennwert, der unterschiedliche Federstärken berücksichtigt. Dieser Wert $D$ wird als Federkonstante bezeichnet. Dabei ist es umso schwerer, die Feder zu verformen, je größer der Wert von $D$ ist. Die Federn, die in einem Auto verbaut sind, haben zum Beispiel einen viel größeren Wert für $D$ als die Feder aus einem Kugelschreiber.

    Kennen wir nun die Masse und die Eigenschaften der Feder, so kann daraus die Umlaufdauer berechnet werden.

    Die Umlaufdauer ist dann groß, wenn die Masse ebenfalls groß und die Federkonstante gering ist.

    Dann tritt eine große Amplitude in der Schwingung auf und es dauert dementsprechend länger, diese zu durchlaufen.

  • Gib an, was der Phasenwinkel ist.

    Tipps

    Eine Stoppuhr hat einen einzigen Zeiger, der sich um einen festen Punkt in einer bestimmten Zeit um einen bestimmten Winkel $\varphi$ dreht.

    Der Phasenwinkel wird genutzt, um einer Phase einen Winkel zuzuordnen.

    Lösung

    Der Phasenwinkel ist ein hilfreiches Werkzeug zur Beschreibung einer Schwingung.

    Doch was hat dieser mit einer Stoppuhr zu tun?

    Schauen wir uns einmal an, was die Stoppuhr macht. Wir haben einen einzigen Zeiger, der sich um einen festen Punkt in einer bestimmten Zeit um einen bestimmten Winkel $\varphi$ dreht. Dabei können wir, solange wir die Zeit wissen, immer vorhersagen, in welchem Winkel der Zeiger stehen muss, wenn sein Anfangswert bekannt ist.

    Wir können also jeder Phase einen Winkel zuordnen, den sogenannten Phasenwinkel.

    Wir müssen nur eine kleine Anpassung vornehmen, um diesen für die Schwingung zu nutzen. Und zwar sei der Wert $\varphi = 0$ an der Stelle, an der die Uhr $3$ zeigt, und die Bewegungsrichtung des Zeigers entgegen dem Uhrzeigersinn.

    So kann nun jedem Zeitpunkt der Schwingung ein Winkel zugeordnet werden.

  • Bestimme die Funktion der Formeln.

    Tipps

    Eine Periode entspricht einer kompletten Schwingung.

    Die Differentialgleichung der Bewegung beinhaltet Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung.

    Die Periodendauer kann streng mathematisch oder anhand der Feder und Masse aus dem Versuch berechnet werden.

    Lösung

    Bei der Berechnung der Periodendauer des Federpendels müssen wir uns mehrerer Formeln behelfen.

    Dabei muss zunächst einmal geklärt werden, was eigentlich überhaupt interessant zu wissen ist. Wir beschreiben mit der Schwingung hier eine Bewegung. Von daher ist es sinnvoll, den Ansatz der Differentialgleichung der Bewegung zu betrachten. Diese gibt uns Informationen über den Zusammenhang von Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung.

    Die Formel für die Auslenkung oder Amplitude lautet $y(t) = A \cdot sin( \phi(t))$ , für die Beschleunigung müssen wir die Formel $y''(t) = -A \cdot sin(\omega t) \cdot \omega^2$ berücksichtigen.

    Weiterhin interessant ist die Kreisfrequenz $\omega$. Diese gibt an, in welcher Frequenz eine Schwingung abläuft. Wir behelfen uns dabei einer Darstellung am Kreis, weshalb hier auch die Kreiszahl $\pi$ in die Rechnung integriert wird.

    Es gilt $\omega = \frac{2 \pi}{T}$.

    Zu guter Letzt betrachten wir nun die Periodendauer $T$.

    Diese gibt an, wie viel Zeit vergeht, bis eine komplette Schwingung abgelaufen, also eine Periode vorüber ist. Die Einheit ist dementsprechend die Sekunde. Mit $T =\frac{2 \pi}{\omega} = 2 \cdot \pi \sqrt{\frac{m}{D}}$ stehen uns dabei zwei unterschiedliche Formeln zur Berechnung zur Verfügung, die einmal eine Darstellung mit den Materialkennwerten $m$ und $D$ und einmal die rein mathematische Darstellung mit $\omega$ erlauben.

  • Berechne die Kreisfrequenzen.

    Tipps

    Die Einheit der Frequenz muss $s^{-1}$ beziehungsweise $ \frac{1}{s} $ sein.

    Es gilt $\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}$.

    Lösung

    Die Kreisfrequenz ist, wie der Name es bereits vermuten lässt, eine Frequenz. Das bedeutet, die Einheit muss $s^{-1}$ beziehungsweise $ \frac{1}{s} $ sein.

    Um die Richtigkeit zu prüfen, können wir nun die Einheitenbetrachtung anhand der gegebenen Formel mit den bekannten Einheiten der Masse $kg$ und der Federkonstante $ kg \cdot s^{-2} $ vornehmen.

    Wir erhalten für $\frac{D}{m}$ somit $ \frac{kg}{s^2 kg} = \frac{1}{s^2}$. Ziehen wir nun die Wurzel, so erhalten wir $\omega = \sqrt{\frac{1}{s^2}} = \frac{1}{s} = s^{-1}$ .

    Betrachten wir nun ein Beispiel. Es seien $m = 0,01 kg$ und $D = 60 \frac{kg}{s^2} $ gegeben. Da wir bereits Grundeinheiten haben, können wir direkt einsetzen und erhalten damit :

    $\omega = \sqrt{\frac{60 \frac{kg}{s^2}}{0,01 kg}} = 77,46 \frac{1}{s} $.

    Das bedeutet, innerhalb einer Sekunde werden $77,46$ Schwingungen durchlaufen. Das Pendel schwingt also sehr schnell.

  • Erkläre, wie sich die Periodendauer verändert.

    Tipps

    $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{D}}$

    Die Umlaufdauer muss steigen, wenn die Masse steigt, und zwar mit der Wurzel des Anstiegs der Masse.

    Lösung

    Die Periodendauer der mechanischen Schwingung kann mit Hilfe der schwingenden Masse und der verwendeten Feder mit der Federsteifigkeit $D$ bestimmt werden.

    Es gilt der Zusammenhang $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{D}}$.

    Wie du siehst, muss die Umlaufdauer steigen, wenn die Masse steigt, und zwar mit der Wurzel des Anstiegs der Masse. Steht diese doch im Zähler unter der Wurzel. Für eine Veränderung der Federsteifigkeit gilt das umgekehrte Verhältnis. Wird $D$ erhöht, so wird $T$ verringert.

    Betrachten wir einmal die Verdopplung von $m$ und die gleichzeitige Halbierung von $D$.

    $T = 2 \pi \sqrt{\frac{2 m}{0,5 D}} = 2 \pi \sqrt{4 \frac{m}{D}} = 2 \pi \cdot 2 \sqrt{\frac{m}{D}} = 2T$.

    Die Periodendauer $T$ wird in diesem Fall verdoppelt.

    Analog kannst du nun sicher die übrigen Aufgaben leicht lösen. Viel Spaß dabei!

  • Bestimme die Periodendauer der Schwingungen.

    Tipps

    Rechne in den Grundeinheiten.

    $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}$

    Lösung

    Um den Zusammenhang zwischen der Periodendauer, der Masse des Pendels und der Federkonstante zu bestimmen bedienen wir uns der gezeigten Formel.

    Wichtig ist auch hier, in den physikalischen Grundeinheiten zu rechnen, also in $kg$ statt in $g$ oder in $s$ statt $min$.

    Generell geben wir hier $m$ immer in $kg$ an und $D$ in $kg \cdot s^{-2}$ sodass wir für die Periodendauer $T$ schließlich die Einheit $s$ erhalten.

    Schauen wir uns ein Beispiel an. Gegeben seien die Masse $m = 0,45 kg$ und die Federsteifigkeit $D = 710 \frac{kg}{s^2} $.

    Die Einheiten sind bereits passend, sodass wir einsetzen können: $ T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{0,45 kg}{710 \frac{kg}{s^2}}} = 0,158 s$.

    Die Dauer einer Periode beträgt in diesem Beispiel also $T = 0,158 s$.

    Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Gegeben seien nun die Masse $m = 10 kg$ und die Federsteifigkeit $D = 9.500 \frac{kg}{s^2} $.

    Die Einheiten sind bereits passend, sodass wir einsetzen können: $ T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{10 kg}{9.500 \frac{kg}{s^2}}} = 0,204 s$.

    Die Dauer einer Periode beträgt hier nun $T = 0,204 s$.

    Auf diesem Wege kannst du nun auch die restlichen Periodendauern berechnen.