Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Newton 2

Hallo und herzlich willkommen zum Fortgeschrittenenvideo über den Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung. Dieses Video ist für Studenten oder interessierte Schüler gedacht. Um alles zu verstehen, solltest du nämlich auf jeden Fall die Differenzialrechnung beherrschen. Okay, legen wir los. Fangen wir mit dem Ort an. Was ein Ort ist, ist denke ich allen klar. Was ist jetzt aber die Geschwindigkeit? Wenn du meine anderen Videos zur beschleunigten Bewegung gesehen hast, hast du dich vielleicht gewundert, warum ich so darauf herumgeritten bin, dass in einem tx-Diagramm die Geschwindigkeit die Steigung des Ortes mit der Zeit ist. Also x=v×t+x0 Und dabei ist ja v die Steigung. Denn wenn wir diesen Zusammenhang auf die Differenzialrechnung übertragen, wird dieser universell. Die Steigung ist ja mathematisch nichts anderes, als die 1. Ableitung. Also ist die Geschwindigkeit die 1. Ableitung des Ortes nach der Zeit, also die Änderung des Ortes mit der Zeit. Lass dir das einmal kurz durch den Kopf gehen, bis dir das selbst völlig klar wird. Man schreibt das so: v=dx/dt. Und als Kurzschreibweise, anstatt des Differenzialoperators d nach dt hat sich ein Punkt eingebürgert, also dx/dt=xPunkt. Diese Gleichung gilt immer. Für jede beliebig komplizierte Funktion für den Ort gilt dieser Zusammenhang. Hast du also eine Funktion x von t gegeben, bekommst du die Geschwindigkeit v von t einfach durch Ableiten nach der Zeit. Ist z. B. der Ort x(t)=x0×sin(?t) ist die Geschwindigkeit v(t)=x0×?×cos(?t). Es geht aber noch weiter. Die Beschleunigung ist ja nichts anderes, als die Änderung der Geschwindigkeit. Also ist a=dv/dt= nach unserer Kurzschreibweise vPunkt. Auch dieser Zusammenhang ist universell. Wenn wir jetzt für v=xPunkt einsetzen, bekommen wir a=xPunktPunkt. Die Beschleunigung ist also die 2. Ableitung des Ortes und die ist ja die Krümmung des Ortes mit der Zeit. Wenn du also den Ort als Funktion von x von t hast, bekommst du durch zweimal simples Ableiten die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt heraus. Egal wie kompliziert die Funktion x(t) auch sein mag. Im Beispiel x(t)=x0×sin(?t) ist a(t)=-x0×?^2×sin(?t). Das Ganze funktioniert auch umgekehrt. Wenn du also die Beschleunigung als Funktion von t hast, bekommst du auch durch zweimal Integrieren den Ort als Funktion von t heraus. Abgesehen von 2 Integrationskonstanten, die durch Anfangsbedingungen festgelegt werden müssen. Das Ganze möchte ich mal eben demonstrieren. Wie du weißt, verknüpft das 2. Newtonsche Gesetz die Beschleunigung mit der Kraft: F=m×a. Nehmen wir einmal eine konstante Kraft an, also auch eine konstante Beschleunigung. Dann lautet Newton 2: F=m×xPunktPunkt und da F eine konstante Kraft sein soll, können wir sie schreiben als F=m×a. Wenn wir diese beiden Gleichungen nun gleich setzen, lautet sie also: xPunktPunkt=a Die Masse m habe ich bereits gekürzt. Jetzt integrieren wir einmal, um die Geschwindigkeit auszurechnen. Die Geschwindigkeit v ist ja xPunkt und xPunkt ist ja das Integral über xPunktPunkt. Für jedes Integral verliert das x eine Zeitableitung und damit einen Punkt. Jetzt setzen wir für xPunktPunkt a ein, was ja ganz oben steht. Da a ja konstant ist, ist die Lösung des Integrals a×t+eine Integrationskonstante. Die Integrationskonstante nennen wir gleich einmal v0, weil sie ja die Einheit einer Geschwindigkeit haben muss, da links eine Geschwindigkeit steht. So, nun können wir ein zweites Mal integrieren, um den Ort zu berechnen. x=Integral über xPunkt dt. Jetzt sind wir alle Punkte los. Jetzt setzen wir das xPunkt aus der Zeile darüber ein, also =Integral über a×t+v0dt. a×t ist eine lineare Funktion und ergibt integriert 1/2at² und v0 ist wieder konstant und gibt v0×t. Dazu kommt noch eine weitere Integrationskonstante, die wir gleich x0 nennen, weil die Einheit ja die eines Ortes sein muss, da ja links der Ort steht. Kommen dir die letzten beiden Gleichungen bekannt vor? Das sollten sie nämlich, das sind nämlich die oft behandelten Formeln für die beschleunigte Bewegung mit konstanter Beschleunigung, die wir gerade aus Newtons 2. Axiom hergeleitet haben. Abgefahren, wie das alles zusammenhängt, oder? Ich schreib dir noch einmal alles Wichtige zusammen. x=x, also der Ort ist gleich der Ort. Das ist klar. v=xPunkt, also die Geschwindigkeit ist die 1. Ableitung des Ortes nach der Zeit. a=xPunktPunkt, also die Beschleunigung ist die 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit. Würden wir ein tx-Diagramm zeichnen, also diesmal ein kompliziertes, z. B. so, dann ist die Geschwindigkeit die 1. Ableitung, also die Steigung des Ortes und die Beschleunigung die 2. Ableitung, also die Krümmung des Ortes. Diese Erkenntnis wird sehr sehr sehr oft benutzt, um alle möglichen komplizierten Zusammenhänge zu lösen. Also: Merke es dir und bewundere diese mathematische Schönheit, die gerade in ihrer Einfachheit liegt. Damit bedanke ich mich und tschau.