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Superposition – Vektoraddition von Geschwindigkeit

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Lukas Neumeier
Superposition – Vektoraddition von Geschwindigkeit
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Beschreibung Superposition – Vektoraddition von Geschwindigkeit

Superposition – Vektoraddition von Geschwindigkeiten

Hast du schon einmal auf einem Laufband Sport getrieben? Dann hast du dich nicht fortbewegt – obwohl du die ganze Zeit gelaufen bist. Das liegt daran, dass deine Geschwindigkeit von der des Laufbandes ausgeglichen wurde. Diese Beobachtung kann man auch mit dem Superpositionsprinzip erklären.

Superpositionsprinzip – einfach erklärt

Als Superpositionsprinzip oder auch Superposition bezeichnet man in der Physik das Überlagern von zwei oder mehreren gleichen physikalischen Größen. Diese können sich in ihren Werten und Richtungen unterscheiden.
Das Superpositionsprinzip findet hauptsächlich in der klassischen Mechanik und in der Optik Anwendung, da mit ihm lineare Größen beschrieben werden – also Größen, die sich proportional zur Änderung eines anderen Parameters verändern. So können zum Beispiel auf einen Körper wirkende Kräfte superponiert werden, um die resultierende Gesamtkraft herauszufinden – vielleicht weißt du ja schon wie man mit Kräfteparallelogrammen rechnen kann. Eine weitere Größe, die sich gut mit dem Superpositionsprinzip beschreiben lässt, ist die Geschwindigkeit. Dazu wollen wir uns im Folgenden ein paar Beispiele ansehen.

Superposition von Geschwindigkeiten

Wie du schon weißt, ist die Geschwindigkeit eine vektorielle Größe. Das heißt, sie hat nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung. Wenn man eine Bewegung untersuchen möchte, die sich aus mehreren Geschwindigkeiten zusammensetzt, dann muss man diese Geschwindigkeiten vektoriell addieren, um die Gesamtgeschwindigkeit herauszufinden. Um das genauer zu verstehen, schauen wir uns drei Sonderfälle an.

Fall 1: Die Geschwindigkeiten haben die gleiche Richtung

Bist du schon einmal auf einem Rollband gelaufen, zum Beispiel am Flughafen? Dann ist dir sicher aufgefallen, dass du dich viel schneller fortbewegst, als normalerweise. Das Rollband bewegt sich nämlich mit einer bestimmten Geschwindigkeit $\vec{v}_{roll}$. Wenn du auf dem Rollband stehst, bewegst du dich mit genau dieser Geschwindigkeit. Wenn du allerdings mit einer Geschwindigkeit $\vec{v}_{geh}$ in dieselbe Richtung läufst, in die sich das Band bewegt, werden beide Geschwindigkeiten addiert. Da die Geschwindigkeiten parallel zueinander sind und in die gleiche Richtung zeigen, ist die Berechnung des Betrages der resultierenden Gesamtkraft $\vec{v}_{res}$ einfach:

$|\vec{v}_{res}|=|\vec{v}_{roll}|+|\vec{v}_{geh}|$

Es müssen also lediglich die Beträge der beiden Einzelgeschwindigkeiten aufaddiert werden.

Fall 2: Die Geschwindigkeiten haben entgegengesetzte Richtungen

Nun kommen wir zurück zu unserem Beispiel vom Anfang: Dem Joggen auf einem Laufband. Anders als das Rollband am Flughafen bewegt sich das Laufband nicht in deine, sondern genau in die entgegengesetzte Richtung. Damit du auf der Stelle laufen kannst, muss die Geschwindigkeit des Laufbands $\vec{v}_{band}$ genauso groß sein wie deine Laufgeschwindigkeit $\vec{v}_{lauf}$ – aber eben entgegengesetzt, also $\vec{v}_{band}=-\vec{v}_{lauf}$. So wie oben kann man auch hier die Einzelgeschwindigkeiten in einer Dimension aufaddieren, um die resultierende Geschwindigkeit $\vec{v}_{res}$ zu erhalten. Beim Einsetzen der Werte muss man aber unbedingt das Minuszeichen mitführen, damit berücksichtigt wird, dass die Einzelgeschwindigkeiten unterschiedliche Richtungen haben:

$v_{res}=v_{band}+v_{lauf}=-v_{lauf}+v_{lauf}=0$

Fall 3: Die Geschwindigkeiten stehen senkrecht aufeinander

Es kann auch vorkommen, dass Geschwindigkeiten senkrecht aufeinander stehen. Stell dir zum Beispiel folgende Situation vor: Du möchtest schwimmend einen Fluss durchqueren. Natürlich steuerst du beim Schwimmen genau das gegenüberliegende Ufer an – deine Geschwindigkeit $\vec{v}_{Schwimmer}$ ist also senkrecht zur Uferlinie. Aber das Wasser im Fluss fließt mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_{Wasser}$ parallel zur Uferlinie. Die Richtung dieser Geschwindigkeit ist somit senkrecht zu der Geschwindigkeit, die du aufbringst. Zeichnerisch ergibt sich die Gesamtgeschwindigkeit $\vec{v}_{res}$ folgendermaßen: Du verschiebst den Vektorpfeil für $\vec{v}_{Schwimmer}$ gedanklich so, dass er an der Spitze des Vektorpfeils für $\vec{v}_{Wasser}$ ansetzt. Dann verbindest du den Anfang von $\vec{v}_{Wasser}$ mit der Spitze von $\vec{v}_{Schwimmer}$. Der resultierende Pfeil ist die resultierende Geschwindigkeit.

Superpositionsprinzip am Beispiel Geschwindigkeit

Da die Einzelgeschwindigkeiten, anders als in den vorherigen Beispielen, nicht parallel sind, musst du die resultierende Geschwindigkeit $\vec{v}_{res}$ vektoriell berechnen:

$\vec{v}_{res}=\vec{v}_{Schwimmer}+\vec{v}_{Wasser}$

Da die Geschwindigkeiten senkrecht zueinander sind, gilt für den Betrag von $\vec{v}_{res}$ der Satz des Pythagoras:

$v_{res}=\sqrt{v_{Schwimmer}^2+v_{Wasser}^2}$

Natürlich kannst du auch Gesamtgeschwindigkeiten berechnen für Probleme, bei denen die Einzelgeschwindigkeiten weder parallel noch senkrecht zueinander sind. Für beliebige Winkel kannst du den Kosinussatz verwenden.

Dieses Video

In diesem Video erhältst du eine Definition und eine einfache Erklärung zum Superpositionsprinzip. Du weißt nun, dass man zum Beispiel Kräfte oder Geschwindigkeiten mithilfe des Superpositionsprinzips und einfacher Formeln berechnen kann – es findet aber auch in der Thermodynamik, Elektrotechnik, in der Wellenlehre oder in der Quantenmechanik Anwendung. Auch zum Superpositionsprinzip findest du interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt.

Transkript Superposition – Vektoraddition von Geschwindigkeit

Hallo und herzlich willkommen zum Physikvideo über Superposition und Vektoraddition von Geschwindigkeiten. Ich werde zunächst allgemein erklären, was Superposition überhaupt ist und anschließend das Ganze an einem Standardbeispiel demonstrieren.   Superposition in der Mechanik ist eine Überlagerung von vektoriellen Größen, z. B. von Kräften. Wie du vielleicht weißt, ist die Kraft ein Vektor. Sie hat einen Betrag und eine Richtung. Wenn wir es jetzt mit 2 Kräften zu tun haben, besagt das Superpositionsprinzip: Die resultierende Kraft ist nichts anderes, als die Vektoraddition der beiden einzelnen Kräfte.   Ein gutes Beispiel zum Thema Kraft ist die dabei die schiefe Ebene, bei der die Gewichtskraft in 2 weitere Kräfte zerlegt wird. Weitere Beispiele dafür sind das elektrische Feld oder auch die Geschwindigkeit. Zum Thema Geschwindigkeit möchte ich hier ein sehr gutes Beispiel bringen: Wir haben einen Fluss, dessen Wasser mit 3 Meter pro Sekunde von links nach rechts fließt. Eine Person schwimmt von unten nach oben mit 2 Meter pro Sekunde relativ zum Wasser. Die Frage ist jetzt, welche Geschwindigkeit hat diese Person relativ zum Grund des Flusses? Also einem Punkt, der stillsteht. Ich habe in den Fluss bereits den Vektor für das fließende Wasser eingezeichnet. Ich nenne ihn Vw. Der ist jetzt ungefähr 3 Einheiten lang. Jetzt zeichne ich noch den Vektor für die schwimmende Person. Diesen nenne ich Vp. Der ist ungefähr 2 Einheiten lang. Das Superpositionsprinzip sagt uns jetzt, wie wir den resultierenden Geschwindigkeitsvektor bekommen, nämlich durch einfache Vektoraddition. Vektoren addiert man, indem man den einen an die Spitze des anderen setzt. Es kommt also dieser hier raus. Jetzt wollen wir noch den Betrag dieses Vektors wissen. Dazu bietet sich der Pythagoras an. Es handelt sich hier ja um ein rechtwinkliges Dreieck. Also: V = /sqrt(Vw² + Vp²) Die Zahlen eingesetzt ergibt uns das Ergebnis V = /sqrt(13) m/s   Das war im Prinzip schon ein Beispiel dafür, wie das Superpositionsprinzip arbeitet. Eine weitere Frage werden wir aber noch beantworten. Die Breite des Flusses beträgt dreißig Meter. Wie weit ist der Ankunftsort des Schwimmers nach rechts versetzt? Mit anderen Worten: Wenn er hier startet und dort ankommt, wie lang ist dann diese Strecke? Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten das zu lösen. Entweder geometrisch oder physikalisch. Wir machen das physikalisch. Das Superpositionsprinzip sagt uns nämlich auch, dass Richtungen, die senkrecht aufeinander stehen unabhängig voneinander sind. Das folgt aus der Vektoreigenschaft der Geschwindigkeit. Das heißt, wir berechnen jetzt zuerst, wie lange die Person braucht, um den Fluss zu durchqueren und anschließend welche Strecke die Person in genau dieser Zeit nach rechts zurücklegt. Da die Geschwindigkeitskomponenten linear unabhängig sind, ist die Geschwindigkeit von unten nach oben immer genau Vp. Egal wie schnell der Fluss fließt. Aus der einfachen Formel X = V × t folgt mit Einsetzen b = Vp × t t = b ÷ Vp = 15 s Die Person braucht also fünfzehn Sekunden um den Fluss zu überqueren. Wie weit wird sie denn in der gleichen Zeit vom Fluss abgetrieben? Genau, einfach einsetzen: X = Vw × t = 3 m/s = 45 m   Damit bedanke ich mich und bis zum nächsten Mal.

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