Schiefer Wurf – mathematische Beschreibung der Flugbahn
Der schiefe Wurf beschreibt die Flugbahn eines Objekts, das unter einem bestimmten Winkel zur Erdoberfläche abgeworfen wird. Anders als beim horizontalen Wurf, wird der schräge Wurf von der Gravitation beeinflusst und kann mathematisch als Wurfbogen dargestellt werden. Lerne, wie man die Flugbahn berechnet und die maximale Wurfweite bestimmt! Neugierig? Begib dich in die Welt des schiefen Wurfs und erfahre mehr im folgenden Text.
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Lerntext zum Thema Schiefer Wurf – mathematische Beschreibung der Flugbahn
Schiefer Wurf – Physik
Du kennst bereits den waagerechten Wurf und weißt, wie man seine Flugbahn berechnet. Dabei handelt es sich um die Beschreibung eines Spezialfalls des Wurfs – ein Gegenstand oder Objekt wird waagerecht nach vorne geworfen. Eine allgemeine Beschreibung von Wurfbahnen liefert der sogenannte schiefe Wurf. Bevor wir zur mathematischen Beschreibung kommen, schauen wir uns erst einmal an, was genau eine schiefer Wurf ist.
Schiefer Wurf – Definition
Ein schiefer Wurf, der manchmal auch als schräger Wurf bezeichnet wird, beschreibt die Flugbahn, die ein Körper in der Regel beschreibt. Dabei wird ein Gegenstand unter einem beliebigen Abwurfwinkel zur Erdoberfläche abgeworfen oder ausgestoßen. So wie beim waagerechten Wurf vernachlässigen wir auch hier den Luftwiderstand.
Schiefer Wurf – Formeln
Den schiefen Wurf können wir, so wie den waagerechten Wurf, am einfachsten berechnen, wenn wir die Bewegung in zwei unabhängige Komponenten zerlegen – in eine Bewegung in
Schiefer Wurf – Flugbahn berechnen
Um den schiefen Wurf mathematisch zu beschreiben, nehmen wir zunächst an, dass der Ball in einem Winkel $\alpha$ zur
$v_{x}=v_{0} \cos(\alpha)$
Entlang der
$v_{y}(t)=v_{0} \sin(\alpha)-g\cdot t$
Das Minuszeichen zeigt an, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt.
Da wir wissen, dass die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung des Orts ist, können wir über Integration auch die zugehörigen $x$- und
$x(t)=v_{0} \cos(\alpha) \cdot t$
Wir haben das Koordinatensystem so gelegt wie in der Abbildung gezeigt. Dabei ist $x(0)=0$. Für die
$y(t) =v_{0} \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2}g\cdot t^2$
Wir betrachten hier einen schiefen Wurf mit Anfangshöhe $y(0)=0$. Dadurch sind die folgenden Berechnungen weniger kompliziert.
Mit den Formeln für $x(t)$ und $y(t)$ können wir nun die $x$- und
$t=\frac{x}{v_{0} \cos(\alpha)}$
Diesen Term können wir nun in die Formel für $y(t)$ einsetzen:
$y(x)=v_{0} \sin(\alpha) \cdot \frac{x}{v_{0} \cos(\alpha)} - \frac{1}{2}g\cdot \left( \frac{x}{v_{0} \cos(\alpha)} \right)^2$
Nach Vereinfachung und Anwendung des Zusammenhangs
$y(x)=\tan(\alpha)\cdot x - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_{0}\cos(\alpha)} \right)^2$
Schiefer Wurf – maximale Wurfweite
In manchen Fällen kann es interessant sein, den Abwurfwinkel $\alpha$ für die maximale Wurfweite zu bestimmen. Dazu muss man zunächst eine Formel für die Wurfweite aufstellen. Dafür kann man die folgende Überlegung anstellen: Wenn der Ball oder ein beliebiges Objekt den Erdboden erreicht, ist der Wurf abgeschlossen. Wenn man das Koordinatensystem passend wählt, ist das für $y(t)=0$ der Fall. Also gilt:
$0=v_{0} \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2}g\cdot t^2$
Das ist einerseits für $t=0$ der Fall, denn der Wurf startet aus der Höhe des Erdbodens. Uns interessiert aber der Zeitpunkt $t \neq 0$, für den diese Bedingung gilt. Diesen Zeitpunkt nennen wir $t_W$. Wenn wir die Formel nach $t_{W}$ umstellen, erhalten wir:
$t_{W}=\frac{2v_{0}sin(\alpha)}{g}$
Wenn wir das in die Formel für $x(t)$ einsetzen, erhalten wir einen Ausdruck für die
$x(\alpha)=2v_{0}^2\frac{sin(\alpha)cos(\alpha)}{g}$
Nun können wir einen Zusammenhang der Doppelwinkelfunktionen nutzen, nämlich
$x(\alpha)=v_{0}^2 \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{g}$
Das ist die Formel für die Wurfweite. Diese soll nun maximal sein. Der Sinus ist maximal für einen Winkel von $90^\circ$. Damit muss $2\alpha=90^\circ$ sein. Somit ist die Wurfweite maximal für einen Abwurfwinkel von:
$\alpha=45^\circ$
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