Schiefer Wurf – mathematische Beschreibung der Flugbahn

Schiefer Wurf – Physik

Du kennst bereits den waagerechten Wurf und weißt, wie man seine Flugbahn berechnet. Dabei handelt es sich um die Beschreibung eines Spezialfalls des Wurfs – ein Gegenstand oder Objekt wird waagerecht nach vorne geworfen. Eine allgemeine Beschreibung von Wurfbahnen liefert der sogenannte schiefe Wurf. Bevor wir zur mathematischen Beschreibung kommen, schauen wir uns erst einmal an, was genau eine schiefer Wurf ist.

Schiefer Wurf – Definition

Ein schiefer Wurf, der manchmal auch als schräger Wurf bezeichnet wird, beschreibt die Flugbahn, die ein Körper in der Regel beschreibt. Dabei wird ein Gegenstand unter einem beliebigen Abwurfwinkel zur Erdoberfläche abgeworfen oder ausgestoßen. So wie beim waagerechten Wurf vernachlässigen wir auch hier den Luftwiderstand.

Schiefer Wurf – Formeln

Den schiefen Wurf können wir, so wie den waagerechten Wurf, am einfachsten berechnen, wenn wir die Bewegung in zwei unabhängige Komponenten zerlegen – in eine Bewegung in $x$-Richtung und eine Bewegung in $y$-Richtung. Auch hier kann man den Komponenten unterschiedliche Bewegungsarten zuordnen. Die Bewegung in $x$-Richtung lässt sich durch eine gleichförmige Bewegung beschreiben. Da nach Abwurf keine Kraft mehr in diese Richtung wirkt, ist die Geschwindigkeit in $x$-Richtung konstant. Die Bewegung in $y$-Richtung hingegen entspricht einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, da aufgrund der Erdbeschleunigung $g$ auch nach dem Abwurf eine konstante Kraft nach unten wirkt. Insgesamt ergibt sich eine Wurfparabel wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Schiefer Wurf – Flugbahn berechnen

Um den schiefen Wurf mathematisch zu beschreiben, nehmen wir zunächst an, dass der Ball in einem Winkel $\alpha$ zur $x$-Achse mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_{0}$ abgeworfen wird. Wir wissen bereits, dass die Geschwindigkeit $v_{x}$ in $x$-Richtung konstant ist. Außerdem können wir sie über den Kosinus mit der Anfangsgeschwindigkeit und dem Abwurfwinkel in Bezug setzen:

$v_{x}=v_{0} \cos(\alpha)$

Entlang der $y$-Achse wirkt die Erdbeschleunigung $g$. Die Geschwindigkeit $v_{y}$ in $y$-Richtung nimmt somit über die Zeit ab. Hier können wir den Sinus verwenden, um $v_{y}$ mithilfe von $v_{0}$ und $\alpha$ auszudrücken:

$v_{y}(t)=v_{0} \sin(\alpha)-g\cdot t$

Das Minuszeichen zeigt an, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt. Da wir wissen, dass die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung des Orts ist, können wir über Integration auch die zugehörigen $x$- und $y$-Koordinaten ermitteln:

$x(t)=v_{0} \cos(\alpha) \cdot t$

Wir haben das Koordinatensystem so gelegt wie in der Abbildung gezeigt. Dabei ist $x(0)=0$. Für die $y$-Koordinate gilt:

$y(t) =v_{0} \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2}g\cdot t^2$

Wir betrachten hier einen schiefen Wurf mit Anfangshöhe $y(0)=0$. Dadurch sind die folgenden Berechnungen weniger kompliziert.

Mit den Formeln für $x(t)$ und $y(t)$ können wir nun die $x$- und $y$-Koordinaten zu jedem Zeitpunkt $t$ des Wurfs berechnen. Wir haben allerdings noch keine Formel dafür, wie sich die $y$-Koordinate in Abhängigkeit der $x$-Koordinate verhält. Um einen solchen Zusammenhang zu erhalten, stellen wir die Formel für $x(t)$ zunächst nach der Zeit $t$ um:

$t=\frac{x}{v_{0} \cos(\alpha)}$

Diesen Term können wir nun in die Formel für $y(t)$ einsetzen:

$y(x)=v_{0} \sin(\alpha) \cdot \frac{x}{v_{0} \cos(\alpha)} - \frac{1}{2}g\cdot \left( \frac{x}{v_{0} \cos(\alpha)} \right)^2$

Nach Vereinfachung und Anwendung des Zusammenhangs $tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ erhalten wir die finale Formel für die Flugbahn:

$y(x)=\tan(\alpha)\cdot x - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_{0}\cos(\alpha)} \right)^2$

Schiefer Wurf – maximale Wurfweite

In manchen Fällen kann es interessant sein, den Abwurfwinkel $\alpha$ für die maximale Wurfweite zu bestimmen. Dazu muss man zunächst eine Formel für die Wurfweite aufstellen. Dafür kann man die folgende Überlegung anstellen: Wenn der Ball oder ein beliebiges Objekt den Erdboden erreicht, ist der Wurf abgeschlossen. Wenn man das Koordinatensystem passend wählt, ist das für $y(t)=0$ der Fall. Also gilt:

$0=v_{0} \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2}g\cdot t^2$

Das ist einerseits für $t=0$ der Fall, denn der Wurf startet aus der Höhe des Erdbodens. Uns interessiert aber der Zeitpunkt $t \neq 0$, für den diese Bedingung gilt. Diesen Zeitpunkt nennen wir $t_W$. Wenn wir die Formel nach $t_{W}$ umstellen, erhalten wir:

$t_{W}=\frac{2v_{0}sin(\alpha)}{g}$

Wenn wir das in die Formel für $x(t)$ einsetzen, erhalten wir einen Ausdruck für die $x$-Koordinate in Abhängigkeit vom Abwurfwinkel $\alpha$:

$x(\alpha)=2v_{0}^2\frac{sin(\alpha)cos(\alpha)}{g}$

Nun können wir einen Zusammenhang der Doppelwinkelfunktionen nutzen, nämlich $2\cdot \sin(\alpha)\cos(\alpha)= \sin(2\alpha)$. Damit erhalten wir:

$x(\alpha)=v_{0}^2 \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{g}$

Das ist die Formel für die Wurfweite. Diese soll nun maximal sein. Der Sinus ist maximal für einen Winkel von $90^\circ$. Damit muss $2\alpha=90^\circ$ sein. Somit ist die Wurfweite maximal für einen Abwurfwinkel von:

$\alpha=45^\circ$