Der senkrechte Wurf

Der senkrechte Wurf Übung

• Definiere den Begriff Superposition.

  Tipps

  Superposition kennst du vielleicht vom Kräfteparallelogramm.

  Lösung

  Superposition bedeutet Überlagerung und tritt auf, wenn beispielsweise verschiedene Kräfte auftreten und somit Bewegungen hervorrufen.

  Wichtig ist, dass sich die Kräfte oder Bewegungen gegenseitig nicht beeinflussen dürfen. Was das bedeutet, kannst du dir am besten an hügeligen Strecke vorstellen. Hier hängt die Höhe des Körpers von der Position auf der Strecke also der x-Richtung ab. Die Bewegung in x-Richtung beeinflusst also die Bewegung in h-Richtung.

  Du kannst Bewegungen nicht nur überlagern sondern eine Bewegung immer auch als Kombination zweier Bewegungen ansehen und sie in ihre zwei Bewegungen aufteilen.

• Gib die Formeln für den senkrechten Wurf nach unten an.

  Tipps

  Es wird nach den Formeln gesucht, die die jeweilige Größe korrekt angeben, auch wenn die Anfangsgeschwindigkeit nicht Null ist.

  Die Anfangshöhe muss nicht berücksichtigt werden, wenn das Koordinatensystem richtig gewählt wird.

  Lösung

  Es ist nach den Formeln gesucht, die die jeweilige Größe korrekt angeben, auch wenn die Anfangsgeschwindigkeit nicht Null ist.

  Genauso wie $v(t)=a\cdot t$ ist $h(t)=\frac 1 2 a \cdot t^2$ eine der ganz entscheidenden Grundgleichungen der Kinematik, der Lehre der Bewegungen. Betrachten wir Bewegungen, die von der Fallbeschleunigung $g\approx 9,81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ verursacht werden, wird die Beschleunigung $a=-g$ gesetzt. Somit sind die Grundgleichungen nicht falsch, jedoch berücksichtigen sie nicht die Anfangsgeschwindigkeit, die ein Körper beim senkrechten Wurf nach unten besitzt sondern sind die Gleichungen für den freien Fall.

  Diese Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ wird hingegen in den folgenden Formeln berücksichtigt. Das Vorzeichen vor $v_0$ ist bereits negativ, sodass für $v_0$ in eine negative Richtung das negative Vorzeichen nicht mehr eingesetzt werden muss.

  $v(t)=-v_0-g\cdot t$

  $v(h)=-\sqrt{v_0^2-2hg}$

  $h(t)=-v_0t - \frac 1 2 g \cdot t^2$

• Untersuche, was mit den Äpfeln passiert, wenn sich ein Apfel vom Baum löst und beim Herunterfallen leicht einen darunter hängenden Apfel streift, sodass dieser sich ebenfalls löst.

  Tipps

  Durch das Streifen des Apfels verliert der höher hängende Apfel keine Geschwindigkeit.

  Untersuche die Bewegungen ab dem Moment der Berührung.

  Lösung

  In dem Moment, in dem der höher hängende Apfel A den tiefer hängenden Apfel B streift, löst er diesen und wir können diesen Moment als Beginn zweier Bewegungen auffassen.

  Apfel A besitzt in diesem Moment eine Anfangsgeschwindigkeit $-v_0$. Apfel B hingegen besitzt die Anfangsgeschwindigkeit $v_0=0$. Somit besitzt der Apfel B eine um $v_0$ kleinere Geschwindigkeit, da beide mit der Fallbeschleunigung $g$ beschleunigt werden, solange sie beide fallen.

  Da Apfel A schneller ist, kommt er auch früher auf dem Boden an.

  Ab dem Moment der Berührung fallen beide Äpfel um die gleiche Strecke. Apfel A hing jedoch höher und musste daher eine größere Fallstrecke zurücklegen.

• Berechne die Zeiten und Endgeschwindigkeiten der Gegenstände.

  Tipps

  Verwende den gerundeten Wert für die Fallbeschleunigung $g=10\, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

  Bestimme zuerst die Endgeschwindigkeiten.

  Berechne daraufhin die Zeit.

  Lösung

  In der Aufgabe sind sowohl die Anfangsgeschwindigkeit für den Wurf nach unten als auch die Fallhöhe gegeben. Wir legen unseren Ursprung des Koordinatensystems wieder in die Höhe des Abwurfes.

  Anhand einer Beispielrechnung für den Stein kannst du den Ablauf der Rechnung nachvollziehen.

  Gegeben: $v_0=3\, \frac{\text{m}}{\text{s}},\qquad h=-20\,\text{m}$

  Gesucht: $v(-20\,\text{m}),~t$

  Formeln:

  $v(h)=-\sqrt{v_0^2-2 \cdot h \cdot g}$

  $v(t)=-v_0-g\cdot t$

  Rechnung:

  \begin{align} v(h)&=-\sqrt{v_0^2-2\cdot h\cdot g} &&|\text{einsetzen}\\ v(-15\,\text{m})&=-\sqrt{(3\, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2-2\cdot (-20\,\text{m})\cdot 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\\ v(-15\,\text{m})&=-\sqrt{9, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}+400\, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}\\ v(-15\,\text{m})&\approx-20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align}

  Die Endgeschwindigkeit des Steines beim Aufkommen auf dem Boden beträgt etwa $20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Beim Einsetzen in die nächste Formel müssen wir beachten, dass das Minuszeichen ebenfalls eingesetzt werden muss.

  \begin{align} v(t)&=-v_0-g\cdot t &&|+v_0\\ v(t)+v_0&=-g\cdot t &&|:-g\\ t&=-\frac{v(t)+v_0}{g} &&|\text{einsetzen}\\ t&=-\frac{-20\, \frac{\text{m}}{\text{s}}+3\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\ t&=-\frac{-17\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}=1,7\,\text{s} \\ \end{align}

  Genauso funktionieren die Rechnungen für den Basketball und den Wassertropfen. Beachte beim Apfel, dass der tiefer hängende Apfel zu Beginn seines Falles dieselbe Geschwindigkeit hat wie der andere Apfel nach 1 m freien Fall. Du kannst also genauso gut nur den oberen Apfel betrachten und die Zeit für den freien Fall bestimmen sowie seine Endgeschwindigkeit.

  Freier Fall und senkrechter Wurf nach unten unterscheiden sich nur in der Anfangsgeschwindigkeit. Der freie Fall ist somit ein Sonderfall des senkrechten Wurfes nach unten mit $v_0=0$.

• Vergleiche die senkrechten Würfe nach oben und unten.

  Tipps

  Was ist der Unterschied zwischen dem Wurf nach oben und nach unten?

  Beachte insbesondere die Vorzeichen.

  Lösung

  Der einzige Unterschied zwischen dem senkrechten Wurf nach oben und dem senkrechten Wurf nach unten liegt in der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit. Während $v_0$ bei Wurf nach oben positiv ist, besitzt sie beim Wurf nach unten ein negatives Vorzeichen $-v_0$.

• Berechne die Geschwindigkeit des Balles, wenn er auf den Boden aufkommt und gib an, wie lange ein Dribbling dauert.

  Tipps

  Überlege dir, wie du dein Koordinatensystem legst. Wo also die Höhe h=0 ist.

  Die Formel für die Zeit kannst du zum Beispiel aus dem Zeit-Weg-Gesetz mit Hilfe der p-q-Formel herleiten. Es gibt aber auch eine einfacherer Möglichkeit.

  Lösung

  In der Aufgabe sind sowohl die Anfangsgeschwindigkeit für den Wurf nach unten als auch die Fallhöhe gegeben. Wir legen unseren Ursprung des Koordinatensystems wieder in die Hand.

  Gegeben: $v_0=4\, \frac{\text{m}}{\text{s}},\qquad h=-1\,\text{m}$

  Gesucht: $v(-1\,\text{m}),~t_\text{dribbel}$

  Formeln:

  $t_\text{Dribbel}=t_\text{Fall}+t_\text{Steig}$

  $v(h)=-\sqrt{v_0^2-2 \cdot h \cdot g}$

  $v(t)=-v_0-g\cdot t$

  Rechnung:

  \begin{align} v(h)&=-\sqrt{v_0^2-2\cdot h\cdot g} &&|\text{einsetzen}\\ v(-1\,\text{m})&=-\sqrt{(4\, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2-2\cdot (-1\,\text{m})\cdot 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\\ v(-1\,\text{m})&=-\sqrt{16, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}+20\, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}\\ v(-1\,\text{m})&=-6\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align}

  Die Endgeschwindigkeit des Basketballs beim Aufkommen auf dem Boden beträgt $6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Beim Einsetzen in die nächste Formel müssen wir beachten, dass das Minuszeichen ebenfalls eingesetzt werden muss!

  \begin{align} v(t)&=-v_0-g\cdot t &&|+v_0\\ v(t)+v_0&=-g\cdot t &&|:-g\\ t&=-\frac{v(t)+v_0}{g} &&|\text{einsetzen}\\ t&=-\frac{-6\, \frac{\text{m}}{\text{s}}+4\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\ t&=-\frac{-2\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}=0,2\,\text{s} \\ \end{align}

  Die Zeit, die der Ball benötigt, um nach dem Aufprall die Hand zu erreichen, ist erstaunlicherweise genauso groß wie die Fallzeit. Das kannst du nachrechnen, indem du das Zeit- Geschwindigkeit-Gesetz für den Wurf nach oben verwendest.

  $v(t)=v_0-g\cdot t$

  Du siehst: Beide Formeln unterscheiden sich nur in dem Vorzeichen vor der Anfangsgeschwindigkeit. Das soll es dir ermöglichen, stets positive Geschwindigkeiten für $v_0$ einzusetzen. Achtung: v(t) hingegen ist beim Wurf nach unten negativ und beim Wurf nach oben positiv. Am einfachsten ist es, wenn du dir nur die Formel für den Wurf nach oben merkst und die Anfangsgeschwindigkeit korrekt mit dem negativen Vorzeichen einsetzt, falls etwas nach unten geworfen wird.