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Schiefer Wurf – Überlagerung von Bewegungen 07:09 min

Textversion des Videos

Transkript Schiefer Wurf – Überlagerung von Bewegungen

Hallo. Dieses Video beschäftigt sich mit dem schiefen Wurf. Ihr sollt in dieser Videoreihe ein grundlegendes Verständnis über den Vorgang entwickeln, wissen, was wie zusammenhängt, Klausuraufgaben vorwärts und rückwärts rechnen können und zwar unabhängig davon, ob wir eine Anfangswurfhöhe haben oder nicht. Ihr solltet wissen, worum es sich bei einer Überlagerung von zwei Bewegungen handelt, was eine gleichförmige Bewegung ist und was eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist. Für die gleichförmige Bewegung v ist gleich s durch t, für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung v=a * t + 0, sowie s gleich s0 + v0 * t + a/2 * t2. Eine Bemerkung vorab: Bevor wir anfangen zu rechnen, möchte ich noch erwähnen, dass wir diesen Vorgang idealisieren, das heißt, wir rechnen ohne Luftwiderstand. Vergleichen wir erstmal den schiefen Wurf mit dem waagerechten Wurf. Jetzt drehen wir die Kanone so, dass wir einen Winkel haben, der nicht länger parallel zum Horizont ist. Dies ist der Abschusswinkel α. Er gibt an, in welchem Winkel zur x-Achse etwas abgeschossen oder geworfen wird. Und das ist eigentlich auch der einzige Unterschied zum waagerechten Wurf. Du siehst, es ist also nicht viel Neues. Um es am Anfang aber so einfach wie möglich zu halten, befindet sich die Kanone dieses Mal nicht auf einem Burgturm, sondern so unter der Erde, dass die Abschusshöhe gleich der Erdoberfläche ist, also auf der x-Achse. Als erstes wollen wir berechnen, wie weit die Kugel fliegt, wenn der Winkel, die Abwurfhöhe und die Anfangsgeschwindigkeit bekannt sind. Wie eben erwähnt ist die Abwurfhöhe in unserem Fall null. Jetzt erinnern wir uns daran, dass die Geschwindigkeiten vektorielle Größen sind. Als erstes zeichnen wir die Geschwindigkeitsvektoren ein. So, zuerst v0, jetzt noch vx in Richtung der x-Achse und vy in Richtung der y-Achse. Hier handelt es sich wieder um ein rechtwinkliges Dreieck, also zerlegen wir die Anfangsgeschwindigkeit v0 in vx und vy. Da vx die Ankathete und v0 die Hypotenuse in diesem rechtwinkligen Dreieck sind, bekommen wir für vx: vx = v0Cosinus α. Für vy bekommen wir, da es sich hier um die Gegenkathete handelt: vy = v0Sinus α. Wie beim waagerechten Wurf betrachten wir nun die gleichförmige Bewegung in x-Richtung. Hier gilt: v = s/t, um genau zu sein vx = sx/t, wobei es sich hier um die Zeit handelt, die die Kugel in der Luft ist. Ich habe das tFlug genannt. Also stellen wir jetzt nach sx um, indem wir mit t multiplizieren. Da wir vx bereits haben, fehlt jetzt nur noch die Zeit, die unsere Kugel in der Luft ist. Dazu betrachten wir die gleichmäßig beschleunigte Bewegung in y-Richtung. Hier gilt: v(t) = a * t + v0. Da wir den Vorgang idealisieren, wird die Kugel nicht durch die Luft gebremst. Das bedeutet, dass wir die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Aufpralls auf dem Boden bereits kennen. Es ist die gleiche Geschwindigkeit wie die Abschussgeschwindigkeit in y-Richtung, allerdings mit umgekehrten Vorzeichen, da sich die Kugel jetzt nach unten bewegt statt nach oben. Daraus ergibt sich: -v0Sinus α = at + v0Sinus α. Nun nach t freistellen, indem wir zuerst -v0Sinus α rechnen und anschließend durch a dividieren. Jetzt können wir die Gleichung etwas zusammenfassen, dann bekommen wir - 2 v0Sinus α/a = t. Nun setzen wir für die Beschleunigung a-g ein. Warum -g? Weil die Erdbeschleunigung nach unten wirkt, also entgegen der positiven y-Achse. Somit kürzen sich die Minuszeichen weg und wir erhalten diese Gleichung. Jetzt sind wir so weit, dass wir alles haben, um die Aufprallentfernung zu berechnen, also sx. Dazu setzen wir nun das t in die Gleichung sx = vxt ein. Für vx setzen wir v0Cosinus α ein. Jetzt steht v0 zweimal in der Gleichung und das können wir zu v02 zusammenfassen. Kommen wir zum nächsten Punkt. Um die Höhe zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen, benutzen wir diese euch bekannte Formel: s=s0+v0t+a/2t2. Da die Anfangshöhe null Meter beträgt, können wir diese aus der Formel rausstreichen. Für vy0 setzen wir v0Sinus α ein und für a wieder -g. Wenn wir das gemacht haben, erhalten wir diese Gleichung. Jetzt nur noch die Zahlen eintragen und ausrechnen. Mit dieser Formel ließe sich auch die Höhe, also der y-Wert in Abhängigkeit vom x-Wert berechnen. Dazu müsst ihr nur die Formel v=s/t beziehungsweise v0Cosinus α=x/t nach t umstellen und in die obere Gleichung einsetzen. Kommen wir zur Berechnung der Aufprallgeschwindigkeit. Beim waagerechten Wurf sah das noch so aus. Das gilt hier natürlich genauso. Da wir aber eine Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung haben, müssen wir bei vy noch das +vy0 hinzufügen. Jetzt setzen wir für vx (v0Cosinus α)2 ein. Für vysetzen wir ein: at+v0*Sinus α2. Im Prinzip sind wir jetzt fertig. Man kann natürlich noch die Klammern auflösen und weiter zusammenfassen. Aber deutlich einfacher wird die Gleichung dadurch nicht, ich persönlich würde es jetzt so stehen lassen. Mit dieser Formel könnt ihr also die Geschwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnen. Bedenkt aber, dass es durch die Begrenzung, wie dass der y-Wert keine negativen Werte annehmen kann, da sonst die Kugel nicht bei y=0 auftreffen könnte und die Kugel auch nicht an einem Punkt mit einem negativen x-Wert aufkommen kann, so lange sie in positive Richtung abgefeuert wird, es zu mathematisch richtigen Ergebnissen kommt, die aber physikalisch nicht korrekt sind. Im nächsten Video zeige ich euch dann, wie ihr vorgehen könnt, wenn die Kugel nicht vom Boden, sondern wieder von einem Burgturm abgeschossen wird. Außerdem zeige ich euch noch, wieso ihr im Sportunterricht immer gesagt bekommt oder gesagt bekommen habt, dass ihr den Speer, die Kugel, den Diskus oder was auch immer im 45-Grad-Winkel abwerfen sollt. Danke fürs Anschauen und viel Erfolg.

2 Kommentare
  1. Super Video

    Von E Kornder, vor etwa 5 Jahren
  2. Hier geht es zum zweiten Teil: http://www.sofatutor.com/physik/videos/der-schiefe-wurf-teil-2

    Von Henryk, vor etwa 5 Jahren

Schiefer Wurf – Überlagerung von Bewegungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schiefer Wurf – Überlagerung von Bewegungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Höhe nach einer Sekunde Flugzeit.

    Tipps

    Setze die gegebenen Größen in die Gleichung ein. Denke auch an die Einheit des Ergebnisses.

    Die Flughöhe soll nach einer Zeit von einer Sekunde berechnet werden. Wie groß muss $t$ dann sein?

    Es gilt $t=1 $

    Wenn die Ziffer zwei Stellen hinter dem Komma kleiner als 5 ist, wird abgerundet. Ist sie gleich oder größer als 5, dann wird aufgerundet.

    Lösung

    Nach einer Sekunde gilt $t=1$.
    Es wird also
    $s_y(t=1)$ berechnet.

    Mit den gegebenen Werten folgt
    $s_y(1)=40 ~\dfrac{m}{s} \cdot sin{(45)} \cdot 1 ~s - \dfrac{9,81 ~ \dfrac{m}{s^2} \cdot (1 ~s)^2}{2} \approx 23,379 m \approx 23,38 m$

    Die zweite Ziffer hinter dem Komma ist größer als 5. Deswegen wird aufgerundet.

  • Beschreibe die Bahnkurve eines schiefen Wurfs.

    Tipps

    Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ kann in eine Geschwindigkeit in x- und eine in y-Richtung aufgeteilt werden.

    In x-Richtung wird die zurückgelegte Strecke aufgezeichnet, in y-Richtung die zurückgelegte Höhe. Wofür stehen dann $s_x$ und $s_y$?

    Lösung

    Die Bahnkurve wird in ein kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen $x$ und $y$ eingetragen.
    Dort steht die x-Achse für den zurückgelegten Weg in x-Richtung. $s_x$ entspricht damit dem Weg bis zum Auftreffen auf den Boden.
    Die y-Achse steht für den zurückgelegten Weg in y-Richtung, also die Höhe. $s_y$ steht damit für die Maximalhöhe, die das Wurfgeschoss erreicht.

    Die Anfangsgeschwindigkeit, mit der das Wurfgeschoss unter dem Winkel Alpha abgeworfen wird, kann in zwei Teile aufgeteilt werden:
    die Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung $v_x$ und die Anfangsgeschwindigkeit in y-Richung $v_y$.

    Die Bahnkurve ist der Weg, den das Geschoss in der Luft zurücklegt. Diese wird mit $s(t)$ bezeichnet und gibt die genaue Position des Wurfgeschosses zu jedem Zeitpunkt $t$ an.

  • Beschreibe den schrägen Wurf.

    Tipps

    Die rote Kurve zeigt, wie sich der geworfene Körper in der Luft bewegt. An welche mathematische Form erinnert diese Kurve?

    In x-Richtung fliegt der Körper nur geradeaus. Er verändert sein Geschwindigkeit nicht. Wie nennt man eine solche Bewegung?

    In y-Richtung wird der Körper durch die Erdanziehungskraft beschleunigt. Wie nennt man eine solche Bewegung?

    Lösung

    Ein schräger Wurf ist eine Überlagerung aus zwei unterschiedlichen Bewegungen.

    Der Körper bewegt sich einmal in Richtung der x-Achse vorwärts. Hier wirkt keine Kraft auf ihn. Er behält deswegen seine ursprüngliche Geschwindigkeit bei.

    Außerdem bewegt der Körper sich in Richtung der y-Achse. Hier bewegt er sich erst aufwärts, kehrt an einem gewissen Punkt um und bewegt sich dann wieder abwärts.
    Die Erdanziehungskraft zieht ihn nach unten. Genauer wird er durch die Erdbeschleunigung nach unten beschleunigt.

    In der Bewegung wirkt sich dies so aus, dass der Körper immer langsamer wird, je weiter er nach oben kommt. Nachdem er seinen höchsten Punkt erreicht hat, kehrt sich die Bewegungsrichtung um. Er wird dann nach unten wieder schneller.

    Es handelt sich hierbei um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

    Da die x-Achse den Boden darstellt, ist es nicht sinnvoll, negative y-Werte einzusetzen. Dort wird der Körper nie hinkommen.
    Auch negative Zeiten ergeben rein intuitiv physikalisch keinen Sinn.

  • Berechne die maximale Flughöhe.

    Tipps

    Zwischen null und vier zeigt dieser Graph den Verlauf eines schrägen Wurfes ab der Höhe $y=0$. Der Verlauf wird auch Bahnkurve genannt. Wie verschiebt sich der Höhepunkt, wenn die Abwurfhöhe nicht null ist?

    Parabeln sind symmetrisch. Wo liegt dann das Maximum?

    Bei einer quadratischen Gleichung ist ein Ergebnis negativ. Kann die Zeit negativ werden?

    Lösung

    Der geworfene Körper macht beim schrägen Wurf eine parabelförmige Bewegung.
    Also entspricht die Bahnkurve einer nach unten geöffneten Parabel.

    Eine Parabel ist symmetrisch.
    Falls die Abwurfhöhe auf der x-Achse liegt, also $y=0$ für $t=0$ gilt, dann liegt das Maximum genau in der Mitte.

    Es liegt dann bei $\frac{t_{Flug}}{2}$ oder auch bei $\frac{s_x}{2}$. Dies ist dasselbe und hängt von der verwendeten Formel ab.

    Bei $s_y(t)=v_0 \cdot sin{(\alpha)} \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}$ wird $t=\frac{t_{Flug}}{2}=\frac{v_0 \cdot sin{(\alpha)}}{g}$ eingesetzt.

    Es folgt:
    $\begin{align} s_y(t) &=v_0 \cdot sin{(\alpha)} \cdot \frac{t_{Flug}}{2} - \frac{g \cdot (\frac{t_{Flug}}{2})^2}{2} \\ &=v_0 \cdot sin{(\alpha)} \cdot \frac{v_0 \cdot sin{(\alpha)}}{g} - \frac{g \cdot ( \frac{v_0 \cdot sin{(\alpha)}}{g})^2}{2} \\ &= \frac{v_0^2 \cdot sin{(\alpha)}^2}{g}^-\frac{v_0^2 \cdot sin{(\alpha)}^2}{2 \cdot g} \\ &= \frac{v_0^2 \cdot sin{(\alpha)}^2}{2 \cdot g} \end{align} $

    Soll die halbe Flugstrecke $\frac{s_x}{2}$ genutzt werden, dann muss zuerst die Höhe in Abhängigkeit von x berechnet werden.

    Es gibt noch eine zweite Möglichkeit. Dabei wird die Kurvendiskussion der Mathematik genutzt, um das Maximum der Funktion zu ermitteln.
    Diese Methode funktioniert auch bei einer Abwurfhöhe ungleich null.
    Es muss in die Funktion $s_y(t)$ dann die Abwurfhöhe $s_{y0}$ mit einbezogen werden.

  • Leite Formeln zur Berechnung von verschiedenen Größen her.

    Tipps

    In x-Richtung vollzieht das Geschoss eine gleichförmige Bewegung. Damit kann die Strecke in Abhängigkeit von der Zeit sowie mit der Flugzeit auch die Strecke bis zum Aufprall berechnet werden.

    Beim Aufprall hat das Geschoss die gleiche Geschwindigkeit wie beim Start. Damit kann die Zeit bis zum Aufprall berechnet werden.

    In y-Richtung vollzieht das Geschoss eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Es kann daraus die Höhe zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnet werden.

    Wie kann man die Beschleunigung $a$ und die Anfangsgeschwindigkeiten in x- und y-Richtung mit den gegebenen Größen ausdrücken? Welche Kraft beschleunigt das Geschoss wieder in Richtung des Bodens?

    Lösung

    Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ kann in zwei Teilgeschwindigkeiten in x- und in y-Richtung aufgeteilt werden.
    Hier gilt:

    $v_{x}=v_0 \cdot \cos{({\alpha})}$ und
    $v_{y0}=v_0 \cdot \sin{({\alpha})}$

    In y-Richtung vollzieht das Geschoss eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Es gilt:

    $v_y(t) = a \cdot t + v_{y0}$ und
    $s_y(t) = v_{y0} \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}$

    In x-Richtung vollzieht das Geschoss eine gleichförmige Bewegung. Es gilt:

    $v_x=\frac{x}{t}$

    Berechnung der Flugzeit $t_{Flug}$:
    Am Ende des Fluges ist die Geschwindigkeit in y-RIchtung genauso groß wie am Anfang. Sie zeigt allerdings in die andere Richtung.
    Es gilt:

    $ \begin{align} && -v_{y0}&=a \cdot t_{Flug} + v_{0y} &|& -v_{y0} \\ & \leftrightarrow & -2\cdot v_{y0} &= a \cdot t_{Flug} &|& \div a \\ & \leftrightarrow & t_{Flug} &= \frac{-2 \cdot v_{y0}}{a} \end{align} $

    Hierbei kann die Beschleunigung $a$ durch die Erdbeschleunigung $g$ ersetzt werden. Diese wirkt nach unten und trägt damit ein negatives Vorzeichen.

    Setzt man nun $a=-g$ und $v_{y0}=v_0 \cdot \sin{({\alpha})}$ ein, dann folgt:

    $\begin{align} t_{Flug} &= \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin{({\alpha})}}{g} \end{align} $

    Danach kann die zurückgelegte Strecke in x-Richtung berechnet werden.

    Es wird $v_x=\frac{x}{t}$ genutzt und nach $x_s$ umgestellt.
    $x=v_x \cdot t$

    Mit $v_x=v_0 \cdot \cos{({\alpha})}$ folgt
    $x=v_0 \cdot \cos{({\alpha})} \cdot t$

    Dort wird die Formel für $t_{Flug}$ eingesetzt, um $s_x$ zu berechnen. Dies ist die zurückgelegte Strecke bis zum Aufprall.
    $\begin{align} s_x&=v_0 \cdot cos{(\alpha)} \cdot \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin{({\alpha})}}{g} \\ &= \frac{2 \cdot v_0^2 \cdot \sin{(\alpha)}\cdot \cos{(\alpha)}}{g} \end{align} $

    Zur Berechnung der Höhe zu einem beliebigen Zeitpunkt wird $s_y(t)$ genutzt.
    Dort wird wieder $a=-g$ und $v_{y0}=v_0 \cdot \sin{({\alpha})}$ ersetzt. Es folgt
    $s_y(t) = v_0 \cdot \sin{({\alpha})} \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2}$

  • Berechne die Entfernung des Aufpralls und die Flugdauer.

    Tipps

    Die Geschwindigkeit in y-Richtung ist am Ende des Fluges genauso groß wie am Anfang. Damit kann die Flugzeit $t_{Flug}$ berechnet werden. In welche Richtung zeigt die Geschwindigkeit am Ende des Fluges?

    Der Körper wird durch die Erdbeschleunigung beschleunigt. In welche Richtung wirkt die Erdanziehungskraft und welches Vorzeichen muss die Beschleunigung dann tragen?

    Die Anfangsgeschwindigkeit kann in die Teilgeschwindigkeiten $v_x$ und $v_y$ aufgeteilt werden. Wie können diese mit $v_0$ und $\alpha$ berechnet werden?

    Lösung

    Zuerst wird die Zeit berechnet, die für den Flug gebraucht wird.

    Hierfür wird $v_y = a \cdot t + v_{y0}$ genutzt.
    Am Ende des Fluges ist die Geschwindigkeit in y-RIchtung genauso groß wie am Anfang. Sie zeigt allerdings in die andere Richtung.
    Es gilt: $ \begin{align} && -v_{y0}&=a \cdot t_{Flug} + v_{0y} &|& -v_{y0} \\ & \leftrightarrow & -2\cdot v_{y0} &= a \cdot t_{Flug} &|& \div a \\ & \leftrightarrow & t_{Flug} &= \frac{-2 \cdot v_{y0}}{a} \end{align} $

    Hierbei kann die Beschleunigung $a$ durch die Erdbeschleunigung $g$ ersetzt werden. Diese wirkt nach unten und trägt damit ein negatives Vorzeichen.

    Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ kann in zwei Teilgeschwindigkeiten in x- und in y-Richtung aufgeteilt werden.
    Hier gilt
    $v_{x}=v_0 \cdot \cos{({\alpha})}$ und
    $v_{y0}=v_0 \cdot \sin{({\alpha})}$

    Die Geschwindigkeit in x-Richtung ändert sich während der Bewegung nicht.

    Setzt man nun $a=-g$ und $v_y=v_0 \cdot \sin{({\alpha})}$ ein, dann folgt:
    $\begin{align} t_{Flug} &= \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin{({\alpha})}}{g} \\ &=\frac{2 \cdot 20 ~\frac{m}{s}\cdot \sin{({30})}}{9,81 ~\frac{m}{s^2}} & \approx 2,04 \end{align} $

    Danach kann die zurückgelegte Strecke in x-Richtung bis zum Aufprall berechnet werden.
    Es wird $v_x=\frac{s_x}{t_{Flug}}$ genutzt und nach $x_s$ umgestellt.
    $s_x=v_x \cdot t_{Flug}$

    Dort wird die Formel für $t$ und $v_x$ eingesetzt.
    Um Fehler zu vermeiden, wird nicht das zuvor gerundete Ergebnis genutzt.

    $\begin{align} s_x&=v_0 \cdot cos{(\alpha)} \cdot \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin{({\alpha})}}{g} \\ &= \frac{2 \cdot v_0^2 \cdot \sin{(\alpha)}\cdot \cos{(\alpha)}}{g} \\ &= \frac{2 \cdot (20 ~\frac{m}{s})^2 \cdot \sin{(30)}\cdot \cos{(30)}}{9,81~ \frac{m}{s^2}} \approx 35,31 ~ m \end{align} $