Schiefer Wurf – Überlagerung von Bewegungen 07:09 min

Hallo. Dieses Video beschäftigt sich mit dem schiefen Wurf. Ihr sollt in dieser Videoreihe ein grundlegendes Verständnis über den Vorgang entwickeln, wissen, was wie zusammenhängt, Klausuraufgaben vorwärts und rückwärts rechnen können und zwar unabhängig davon, ob wir eine Anfangswurfhöhe haben oder nicht. Ihr solltet wissen, worum es sich bei einer Überlagerung von zwei Bewegungen handelt, was eine gleichförmige Bewegung ist und was eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist. Für die gleichförmige Bewegung v ist gleich s durch t, für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung v=a * t + 0, sowie s gleich s0 + v0 * t + a/2 * t2. Eine Bemerkung vorab: Bevor wir anfangen zu rechnen, möchte ich noch erwähnen, dass wir diesen Vorgang idealisieren, das heißt, wir rechnen ohne Luftwiderstand. Vergleichen wir erstmal den schiefen Wurf mit dem waagerechten Wurf. Jetzt drehen wir die Kanone so, dass wir einen Winkel haben, der nicht länger parallel zum Horizont ist. Dies ist der Abschusswinkel α. Er gibt an, in welchem Winkel zur x-Achse etwas abgeschossen oder geworfen wird. Und das ist eigentlich auch der einzige Unterschied zum waagerechten Wurf. Du siehst, es ist also nicht viel Neues. Um es am Anfang aber so einfach wie möglich zu halten, befindet sich die Kanone dieses Mal nicht auf einem Burgturm, sondern so unter der Erde, dass die Abschusshöhe gleich der Erdoberfläche ist, also auf der x-Achse. Als erstes wollen wir berechnen, wie weit die Kugel fliegt, wenn der Winkel, die Abwurfhöhe und die Anfangsgeschwindigkeit bekannt sind. Wie eben erwähnt ist die Abwurfhöhe in unserem Fall null. Jetzt erinnern wir uns daran, dass die Geschwindigkeiten vektorielle Größen sind. Als erstes zeichnen wir die Geschwindigkeitsvektoren ein. So, zuerst v0, jetzt noch vx in Richtung der x-Achse und vy in Richtung der y-Achse. Hier handelt es sich wieder um ein rechtwinkliges Dreieck, also zerlegen wir die Anfangsgeschwindigkeit v0 in vx und vy. Da vx die Ankathete und v0 die Hypotenuse in diesem rechtwinkligen Dreieck sind, bekommen wir für vx: vx = v0Cosinus α. Für vy bekommen wir, da es sich hier um die Gegenkathete handelt: vy = v0Sinus α. Wie beim waagerechten Wurf betrachten wir nun die gleichförmige Bewegung in x-Richtung. Hier gilt: v = s/t, um genau zu sein vx = sx/t, wobei es sich hier um die Zeit handelt, die die Kugel in der Luft ist. Ich habe das tFlug genannt. Also stellen wir jetzt nach sx um, indem wir mit t multiplizieren. Da wir vx bereits haben, fehlt jetzt nur noch die Zeit, die unsere Kugel in der Luft ist. Dazu betrachten wir die gleichmäßig beschleunigte Bewegung in y-Richtung. Hier gilt: v(t) = a * t + v0. Da wir den Vorgang idealisieren, wird die Kugel nicht durch die Luft gebremst. Das bedeutet, dass wir die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Aufpralls auf dem Boden bereits kennen. Es ist die gleiche Geschwindigkeit wie die Abschussgeschwindigkeit in y-Richtung, allerdings mit umgekehrten Vorzeichen, da sich die Kugel jetzt nach unten bewegt statt nach oben. Daraus ergibt sich: -v0Sinus α = at + v0Sinus α. Nun nach t freistellen, indem wir zuerst -v0Sinus α rechnen und anschließend durch a dividieren. Jetzt können wir die Gleichung etwas zusammenfassen, dann bekommen wir - 2 v0Sinus α/a = t. Nun setzen wir für die Beschleunigung a-g ein. Warum -g? Weil die Erdbeschleunigung nach unten wirkt, also entgegen der positiven y-Achse. Somit kürzen sich die Minuszeichen weg und wir erhalten diese Gleichung. Jetzt sind wir so weit, dass wir alles haben, um die Aufprallentfernung zu berechnen, also sx. Dazu setzen wir nun das t in die Gleichung sx = vxt ein. Für vx setzen wir v0Cosinus α ein. Jetzt steht v0 zweimal in der Gleichung und das können wir zu v02 zusammenfassen. Kommen wir zum nächsten Punkt. Um die Höhe zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnen, benutzen wir diese euch bekannte Formel: s=s0+v0t+a/2t2. Da die Anfangshöhe null Meter beträgt, können wir diese aus der Formel rausstreichen. Für vy0 setzen wir v0Sinus α ein und für a wieder -g. Wenn wir das gemacht haben, erhalten wir diese Gleichung. Jetzt nur noch die Zahlen eintragen und ausrechnen. Mit dieser Formel ließe sich auch die Höhe, also der y-Wert in Abhängigkeit vom x-Wert berechnen. Dazu müsst ihr nur die Formel v=s/t beziehungsweise v0Cosinus α=x/t nach t umstellen und in die obere Gleichung einsetzen. Kommen wir zur Berechnung der Aufprallgeschwindigkeit. Beim waagerechten Wurf sah das noch so aus. Das gilt hier natürlich genauso. Da wir aber eine Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung haben, müssen wir bei vy noch das +vy0 hinzufügen. Jetzt setzen wir für vx (v0Cosinus α)2 ein. Für vysetzen wir ein: at+v0*Sinus α2. Im Prinzip sind wir jetzt fertig. Man kann natürlich noch die Klammern auflösen und weiter zusammenfassen. Aber deutlich einfacher wird die Gleichung dadurch nicht, ich persönlich würde es jetzt so stehen lassen. Mit dieser Formel könnt ihr also die Geschwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnen. Bedenkt aber, dass es durch die Begrenzung, wie dass der y-Wert keine negativen Werte annehmen kann, da sonst die Kugel nicht bei y=0 auftreffen könnte und die Kugel auch nicht an einem Punkt mit einem negativen x-Wert aufkommen kann, so lange sie in positive Richtung abgefeuert wird, es zu mathematisch richtigen Ergebnissen kommt, die aber physikalisch nicht korrekt sind. Im nächsten Video zeige ich euch dann, wie ihr vorgehen könnt, wenn die Kugel nicht vom Boden, sondern wieder von einem Burgturm abgeschossen wird. Außerdem zeige ich euch noch, wieso ihr im Sportunterricht immer gesagt bekommt oder gesagt bekommen habt, dass ihr den Speer, die Kugel, den Diskus oder was auch immer im 45-Grad-Winkel abwerfen sollt. Danke fürs Anschauen und viel Erfolg.