Impulserhaltung in mehreren Dimensionen

Physik Hallo und herzlich willkommen zu einem Video über den Stoß in mehreren Dimensionen. Die Erweiterung auf mehr als eine Dimension ist immer dann notwendig, wenn es sich um einen nicht-zentralen Stoß handelt. D.h., dass die Richtung ein oder mehrerer Stoßpartner geändert wird. Das ist das erste Mal, dass wir wirklich explizit Vektoren brauchen, um eine derartige Aufgabe zu lösen. Dabei gibt es einen sehr praktischen und deshalb sehr wichtigen Punkt zu beachten. Ich schreibe dir noch einmal die Impulserhaltung in Vektorform hin: Pv = Pn (v für vorher und n für nachher). Schreiben wir das mal aus: Pxv, Pyv, Pzv = Pxn, Pyn, Pzn. Wir sehen, das hier sind eigentlich 3 Gleichungen, und zwar für jede Komponente des Vektors eine. Wir lernen also, dass der Impuls nicht nur betragsmäßig gesamt erhalten bleibt, sondern sogar einzeln, für jede Komponente des kartesischen Koordinatensystems. Das bedeutet, dass auch die Richtung des Impulses (vorher) gleich der Richtung (nachher) ist. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an: Ein Puck der Masse m und der Geschwindigkeit v0 stößt auf einen identischen Puck. Reibung soll hier vernachlässigt werden. Nach dem Stoß entfernt sich der erste Puck mit der Geschwindigkeit v1 im Winkel von α zu seiner ursprünglichen Richtung. Der zweite Puck entfernt sich mit v2 im Winkel von β. Berechne v1 und v2 in Abhängigkeit von v0 und den beiden Winkeln α und β. Das ist die Aufgabe. Wir legen als erstes ein Koordinatensystem in die Zeichnung. Für unseren Fall reichen 2 Dimensionen. Wir nehmen als positive x-Richtung die Richtung, in der sich der erste Puck auf den zweiten zubewegt. Nun berechnen wir zunächst die Komponenten aller Impulse. Für den Impuls vorher ist das einfach. Er hat nur einen Impuls in x-Richtung. Wir können also schreiben: Pv = m×v0 0. Für die Impulse nachher müssen wir ein bisschen Trigonometrie anwenden. Kurzer Einschub: Da der Impuls komponentenweise erhalten bleibt, müssen sich zum Beispiel die y-Komponenten der Geschwindigkeit vom oberen Puck und dem unteren Puck genau aufheben. Wir können  hier nämlich auch die Geschwindigkeit nehmen, die Massen der beiden Pucks ohnehin gleich sind. Die Skizze beachtet das natürlich nicht. Aber in Wirklichkeit müssten diese beiden Strecken genau gleich lang sein. Genauso verhält es sich mit den beiden x-Komponenten des oberen und des unteren Pucks. Sie addiert müssen genau v0 ergeben, weil der Impuls auch allein in x-Richtung erhalten bleibt. Genauso kann man sich das vorstellen, und auch die Aufgabe lösen. Wir gehen jetzt aber weiter mathematisch vor. Schauen wir uns erst einmal den oberen Puck an. P1=Px Py. Der Anteil in x-Richtung ist cos(α)×mv1 und der in y-Richtung ist sin(α)×mv1. Wir können also schreiben: P1=mv1cos(α)sin(α).  Das gleiche machen wir nun mit dem zweiten Punkt. An der x-Komponente ändert sich im Prinzip nichts, außer der Winkel. Die y-Komponente muss aber negativ sein, weil der zweite Puck ja nach unten fliegt, also in die negative y-Richtung. Wir erhalten also: P2=mv2cos(β)-sin(β). Die Impulserhaltung lautet ja: Pv=P1+P2. Und in Komponenten geschrieben: mV0 0=mV1cos(α)sin(α)+mv2cos(β)-sin(β). Das m können wir direkt kürzen. Da die Impulserhaltung offensichtlich komponentweise gilt, erhalten wir 2 Gleichungen aus dieser Relation. V0=V1cos(α)+v2cos(β) (Gleichung 1) 0=v1sin(α)-v2sin(β) (Gleichung 2) Klar ist, dass Gleichung 1 die Impulserhaltung der x-Komponente beschreibt und Gleichung 2 die Impulserhaltung der y-Komponente. Diese brauchen wir jetzt nur noch nach v1 und v2 aufzulösen. Lösen wir mal Gleichung 2 nach v1 auf und setzen das in Gleichung 1 ein: v1=v2sin(β)÷sin(α). Dann ist v0=v2sin(β)÷sin(α)×cos(α)+v2cos(β).  Das Ganze können wir nach Ausklammern nach v2 auflösen: v2=v0÷sin(β)÷sin(α)×cos(α)+cos(β) = (wenn wir mit sin(α) erweitern): v0×sin(α)÷sin(β)cos(α)+sin(α)cos(β). So jetzt haben wir v2, jetzt brauchen wir nur noch v2 in die nach v1 aufgelöste Gleichung einzusetzen, um v1 zu erhalten. v1=v0sin(β)÷sin(β)cos(α)+sin(α)cos(β). Wir haben jetzt die beiden Geschwindigkeiten in Abhängigkeit von v0 und den beiden Winkeln α und β und sind somit eigentlich mit der Aufgabenstellung fertig. Wir sehen hier aber etwas sehr Interessantes, was auch nachher physikalische Implikationen haben wird: Die Nenner der beiden Geschwindigkeiten v1 und v2 sind identisch. Und nicht nur das: Wenn wir in unsere Trigonometrie-Formelsammlung schauen, sehen wir, dass der Nenner nichts anderes ist, als sin von α+β. Das sieht doch schon mal verdächtig aus. Können wir da eventuell eine Bedingung dafür finden, wann so ein Stoß elastisch ist? Testen wir das mal. Ein Stoß ist dann elastisch, wenn die kinetischen Energien vor und nach dem Stoß gleich sind. Also ½mv0² (das ist die kinetische Energie vor dem Stoß)=½mv1²+½mv1² (das ist die kinetische Energie nach dem Stoß). Das ½ und das m können wir direkt kürzen, dann steht da: v0²=v1²+v2². Schauen wir uns das Ganze mal in einer Skizze an: In einem Vektordiagramm sieht das ja so aus. Jetzt sagt uns die Energieerhaltung, dass die Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Das ist doch genau das Gesetz des Pythagoras. Und der Pythagroas gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Daraus folgt, dass sich zwischen den beiden Geschwindigkeiten nach dem Stoß ein rechter Winkel befinden muss. D.h., wir haben nebenbei eine tolle Bedingung für einen elastischen Stoß in mehreren Dimensionen gefunden. Bei einem elastischen Stoß zweier Körper gleicher Masse, bei dem ein Körper ruht, bewegen sich beide Körper nach dem Stoß in einem rechten Winkel voneinander fort. Und da der Winkel zwischen den beiden Körpern α+β ist, und der ist - wie wir ja jetzt wissen - π/2, also 90°, reduzieren sich die beiden Formeln für die Geschwindigkeit auf: v1=v0×sin(β) und v2=v0×sin(α), weil sin von α+β=sin von 90° gleich 1 ist. Faszinierend, was uns die Mathematik alles über die Natur erzählen kann. Und damit bedanke ich mich, und bis zum nächsten Mal.