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Impulserhaltung in mehreren Dimensionen

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Die Autor*innen
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Lukas Neumeier
Impulserhaltung in mehreren Dimensionen
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse

Beschreibung Impulserhaltung in mehreren Dimensionen

In diesem Video wollen wir uns mit der Impulserhaltung in mehreren Dimensionen beschäftigen. Die mehrdimensionale Betrachtung ist immer dann notwendig, wenn man einen nicht-zentralen Stoß betrachtet. Was vielleicht erstmal kompliziert klingt, ist eigentlich gar nicht so schwer. Anhand einer Beispielaufgabe lernst du, wie man die Impulserhaltungsgleichung in Vektorform definiert. Mit Hilfe von ein bisschen Trigonometrie werden wir diese Gleichung auch lösen. Das Ergebnis liefert außerdem eine interessante Bedingung für elastische Stöße. Mehr dazu findest du im Video. Viel Spaß!

Transkript Impulserhaltung in mehreren Dimensionen

Physik Hallo und herzlich willkommen zu einem Video über den Stoß in mehreren Dimensionen. Die Erweiterung auf mehr als eine Dimension ist immer dann notwendig, wenn es sich um einen nicht-zentralen Stoß handelt. D.h., dass die Richtung ein oder mehrerer Stoßpartner geändert wird. Das ist das erste Mal, dass wir wirklich explizit Vektoren brauchen, um eine derartige Aufgabe zu lösen. Dabei gibt es einen sehr praktischen und deshalb sehr wichtigen Punkt zu beachten. Ich schreibe dir noch einmal die Impulserhaltung in Vektorform hin: Pv = Pn (v für vorher und n für nachher). Schreiben wir das mal aus: Pxv, Pyv, Pzv = Pxn, Pyn, Pzn. Wir sehen, das hier sind eigentlich 3 Gleichungen, und zwar für jede Komponente des Vektors eine. Wir lernen also, dass der Impuls nicht nur betragsmäßig gesamt erhalten bleibt, sondern sogar einzeln, für jede Komponente des kartesischen Koordinatensystems. Das bedeutet, dass auch die Richtung des Impulses (vorher) gleich der Richtung (nachher) ist. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an: Ein Puck der Masse m und der Geschwindigkeit v0 stößt auf einen identischen Puck. Reibung soll hier vernachlässigt werden. Nach dem Stoß entfernt sich der erste Puck mit der Geschwindigkeit v1 im Winkel von α zu seiner ursprünglichen Richtung. Der zweite Puck entfernt sich mit v2 im Winkel von β. Berechne v1 und v2 in Abhängigkeit von v0 und den beiden Winkeln α und β. Das ist die Aufgabe. Wir legen als erstes ein Koordinatensystem in die Zeichnung. Für unseren Fall reichen 2 Dimensionen. Wir nehmen als positive x-Richtung die Richtung, in der sich der erste Puck auf den zweiten zubewegt. Nun berechnen wir zunächst die Komponenten aller Impulse. Für den Impuls vorher ist das einfach. Er hat nur einen Impuls in x-Richtung. Wir können also schreiben: Pv = m×v0 0. Für die Impulse nachher müssen wir ein bisschen Trigonometrie anwenden. Kurzer Einschub: Da der Impuls komponentenweise erhalten bleibt, müssen sich zum Beispiel die y-Komponenten der Geschwindigkeit vom oberen Puck und dem unteren Puck genau aufheben. Wir können  hier nämlich auch die Geschwindigkeit nehmen, die Massen der beiden Pucks ohnehin gleich sind. Die Skizze beachtet das natürlich nicht. Aber in Wirklichkeit müssten diese beiden Strecken genau gleich lang sein. Genauso verhält es sich mit den beiden x-Komponenten des oberen und des unteren Pucks. Sie addiert müssen genau v0 ergeben, weil der Impuls auch allein in x-Richtung erhalten bleibt. Genauso kann man sich das vorstellen, und auch die Aufgabe lösen. Wir gehen jetzt aber weiter mathematisch vor. Schauen wir uns erst einmal den oberen Puck an. P1=Px Py. Der Anteil in x-Richtung ist cos(α)×mv1 und der in y-Richtung ist sin(α)×mv1. Wir können also schreiben: P1=mv1cos(α)sin(α).  Das gleiche machen wir nun mit dem zweiten Punkt. An der x-Komponente ändert sich im Prinzip nichts, außer der Winkel. Die y-Komponente muss aber negativ sein, weil der zweite Puck ja nach unten fliegt, also in die negative y-Richtung. Wir erhalten also: P2=mv2cos(β)-sin(β). Die Impulserhaltung lautet ja: Pv=P1+P2. Und in Komponenten geschrieben: mV0 0=mV1cos(α)sin(α)+mv2cos(β)-sin(β). Das m können wir direkt kürzen. Da die Impulserhaltung offensichtlich komponentweise gilt, erhalten wir 2 Gleichungen aus dieser Relation. V0=V1cos(α)+v2cos(β) (Gleichung 1) 0=v1sin(α)-v2sin(β) (Gleichung 2) Klar ist, dass Gleichung 1 die Impulserhaltung der x-Komponente beschreibt und Gleichung 2 die Impulserhaltung der y-Komponente. Diese brauchen wir jetzt nur noch nach v1 und v2 aufzulösen. Lösen wir mal Gleichung 2 nach v1 auf und setzen das in Gleichung 1 ein: v1=v2sin(β)÷sin(α). Dann ist v0=v2sin(β)÷sin(α)×cos(α)+v2cos(β).  Das Ganze können wir nach Ausklammern nach v2 auflösen: v2=v0÷sin(β)÷sin(α)×cos(α)+cos(β) = (wenn wir mit sin(α) erweitern): v0×sin(α)÷sin(β)cos(α)+sin(α)cos(β). So jetzt haben wir v2, jetzt brauchen wir nur noch v2 in die nach v1 aufgelöste Gleichung einzusetzen, um v1 zu erhalten. v1=v0sin(β)÷sin(β)cos(α)+sin(α)cos(β). Wir haben jetzt die beiden Geschwindigkeiten in Abhängigkeit von v0 und den beiden Winkeln α und β und sind somit eigentlich mit der Aufgabenstellung fertig. Wir sehen hier aber etwas sehr Interessantes, was auch nachher physikalische Implikationen haben wird: Die Nenner der beiden Geschwindigkeiten v1 und v2 sind identisch. Und nicht nur das: Wenn wir in unsere Trigonometrie-Formelsammlung schauen, sehen wir, dass der Nenner nichts anderes ist, als sin von α+β. Das sieht doch schon mal verdächtig aus. Können wir da eventuell eine Bedingung dafür finden, wann so ein Stoß elastisch ist? Testen wir das mal. Ein Stoß ist dann elastisch, wenn die kinetischen Energien vor und nach dem Stoß gleich sind. Also ½mv0² (das ist die kinetische Energie vor dem Stoß)=½mv1²+½mv1² (das ist die kinetische Energie nach dem Stoß). Das ½ und das m können wir direkt kürzen, dann steht da: v0²=v1²+v2². Schauen wir uns das Ganze mal in einer Skizze an: In einem Vektordiagramm sieht das ja so aus. Jetzt sagt uns die Energieerhaltung, dass die Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Das ist doch genau das Gesetz des Pythagoras. Und der Pythagroas gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Daraus folgt, dass sich zwischen den beiden Geschwindigkeiten nach dem Stoß ein rechter Winkel befinden muss. D.h., wir haben nebenbei eine tolle Bedingung für einen elastischen Stoß in mehreren Dimensionen gefunden. Bei einem elastischen Stoß zweier Körper gleicher Masse, bei dem ein Körper ruht, bewegen sich beide Körper nach dem Stoß in einem rechten Winkel voneinander fort. Und da der Winkel zwischen den beiden Körpern α+β ist, und der ist - wie wir ja jetzt wissen - π/2, also 90°, reduzieren sich die beiden Formeln für die Geschwindigkeit auf: v1=v0×sin(β) und v2=v0×sin(α), weil sin von α+β=sin von 90° gleich 1 ist. Faszinierend, was uns die Mathematik alles über die Natur erzählen kann. Und damit bedanke ich mich, und bis zum nächsten Mal.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Die Richtung ist vorher nicht die gleiche wie nachher oder? Nur die Summe der Richtungspfeile ist die Gleiche

    Von Jacob 4, vor mehr als 2 Jahren

Impulserhaltung in mehreren Dimensionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Impulserhaltung in mehreren Dimensionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne Eigenschaften, die es bei Stößen in mehreren Dimensionen gibt.

    Tipps

    Mehr Dimensionen, bedeuten z. B. Bewegung in mehr als nur eine Koordinatenrichtung.

    Lösung

    Was ist an mehreren Dimensionen nun so besonders?

    Naja ganz klar, nach einem Stoß sind die möglichen Bewegungen sehr vielfältig.

    Weiterhin bleibt der Gesamtimpuls aber natürlich erhalten.

    Eine mehrdimensionale Bewegung ist es erst, wenn eine Richtungsänderung entsteht. Bewegungen beschreibt man am besten mit Vektoren, nur bei eindimensionalen Bewegungen braucht man nicht unbedingt Vektoren.

    Damit aber ein Stoß so eine Richtungsänderung verursacht, darf er nicht „zentral" sein.

  • Beschreibe den Aufbau der Aufgabe.

    Tipps

    Der Gesamtwinkel $\alpha +\beta$ ist hier vielleicht nicht so deutlich dargestellt, wie er sich geometrisch aus den Impulsvektoren ergibt.

    Lösung

    Bevor diese Beispielaufgabe näher beschrieben wird, vergewissern wir uns über den Aufbau und die Darstellung.

    Am Nullpunkt trifft Masse 1 auf die ruhende Masse 2.

    Unter den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ prallen sie mit neuen Impulsen ab.

    Ihr Gesamtimpuls, also die Gesamtgeschwindigkeit(sofern alle Massen gleich groß sind), bleibt erhalten. Also ist $V_1+V_2=V_0$

    Daraus ergibt sich dann, dass der Gesamtwinkel $\alpha +\beta$ gleich $90^\circ$ ist.

  • Nenne wichtige Eigenschaften des elastischen Stoßes.

    Tipps

    Überlege, ob elastisch auch immer etwas mit verformbar zu tun hat.

    Lösung

    Bei Stößen unterscheidet man zwischen elastisch und inelastisch, oder unelastisch.

    Betrachten wir also elastische Stöße, alles andere ist dann eben unelastisch.

    Bei elastischen Stößen wird nur kinetische Energie übertragen, sie wird nicht in Wärme oder Deformation umgewandelt. Auch wenn das in der Praxis eher näherungsweise möglich ist, sind Beispiele dafür nicht nur Flummis, sondern auch Billardkugeln (und das, obwohl sie steinhart sind).

    Schlussendlich gilt aber weiterhin für alle Stöße: Energie und Impuls bleiben im Allgemeinen erhalten.

  • Erkläre, wie die einzelnen Geschwindigkeiten nach dem Stoß berechnet werden.

    Tipps

    Man sollte zuerst schauen, wie man diesen Stoß überhaupt beschreibt, und dann daraus überlegen, wie man daraus Geschwindigkeiten ermittelt.

    Lösung

    Zunächst stellen wir die Impulsvektoren der 3 Bewegungen auf:

    $\vec{p}_{v_0}=\left(\begin{array}{c} v_0 \\ 0 \end{array}\right)$

    $\vec{p}_1= m\cdot v_1\cdot\left(\begin{array}{c} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{array}\right)$

    $\vec{p}_2= m\cdot v_2\cdot\left(\begin{array}{c} \cos(\beta) \\ -\sin(\beta) \end{array}\right)$.

    Da nun $\vec{p}_{v_0}=\vec{p}_1+\vec{p}_2$ ist, schreiben wir das mal komponentenweise auf.

    Die Masse haben wir hier gekürzt. Da sie alle gleich sind, kann man das auch leicht machen:

    • $v_0=v_1\cos(\alpha)+v_2\sin(\beta)$
    • $0=v_1\sin(\alpha)+v_2\cdot(-\sin(\beta))$.
    Nun stellen wir Gleichung 2 nach $v_1$ um, obwohl das auch anders herum ginge. Hauptsache man stellt eine Gleichung nach einem $v$ um, setzt es in die andere ein und stellt wieder um. Da gilt es eher denn leichteren Weg zu finden:

    $v_1=v_2\cdot\dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}$.

    Wenn wir das in die erste Gleichung einsetzen, ist die einzige Unbekannte dort $v_2$:

    $v_0=v_2\cdot\dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)}\cdot\cos(\alpha)+v_2\cos(\beta)$. Das löst man dann nach $v_2$ auf:

    $v_2=v_0\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)\cos(\alpha)+\cos(\beta)\sin(\alpha)}$. Hurra! Eine fertige Gleichung für $v_2$, da alle Größen der Gleichung bekannt sind.

    Setzen wir das in die $v_1$-Gleichung ein, haben wir dafür auch schon eine fertige Gleichung:

    $v_1=v_0\dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\beta)\cos(\alpha)+\cos(\beta)\sin(\alpha)}$.

  • Nenne Beispiele für mehrdimensionale Bewegungen.

    Tipps

    Eine Bewegung ist dann mehrdimensional, wenn sie sich nicht nur in eine Richtung hin und zurück bewegt.

    Lösung

    Welche Stöße sind überhaupt mehrdimensional? Die meisten!

    Denn wann immer etwas zumindest zur Seite abgelenkt wird, ist es mindestens zweidimensional.

    Also sind das Billardspiel und der schiefe Wurf mehrdimensionale Bewegungen. Denn bei Billard wird die Kugel auch schräg gestoßen, oder angedreht, oder über Bande gespielt. Und der Wurf wird in Richtung x-Achse geworfen, fällt aber in der y-Achse nach unten, ist also zweidimensional.

    Die beiden Wagen, die aneinander prallen, und das Federpendel sind dagegen eindimensional, sie bewegen sich entweder rauf und runter oder von links nach rechts.

  • Berechne die Geschwindigkeit des Pendels.

    Tipps

    Vergleiche die potentiellen und kinetischen der Punkte A und B, um vielleicht eine Gleichung mit einer Geschwindigkeit zu bekommen.

    Denke daran, wie sich potentielle und kinetische Energie am Scheitelpunkt und am Wendepunkt eines Pendels verhalten.

    Lösung

    Ballistische Stöße gibt es oft, ob Pistolenschuss, Punchingball oder der Stoß an einer Deckenlampe. Fast immer sind es elastische Stöße und zumindest bei diesen Beispielen Pendelbewegungen, also zweidimensional. Hier ging es hauptsächlich um die Energieerhaltung.

    Wenn wir uns an die Potentielle und die kinetische Energie zurückerinnern, wissen wir, dass die Gesamtenergie an Punkt A und B gleich sein muss, also $E_{kin,A}+E_{pot,A}=E_{kin,B}+E_{pot,B}$ gilt.

    Nun ist aber ganz am Anfang die kinetische Energie maximal geworden und $E_{pot,A}=0$, und ganz am Ende ist $E_{kin,B}=0$ und die potentielle Energie maximal.

    Also bleibt nur noch $E_{kin,A}=E_{pot,B}=\dfrac{m}{2}\cdot v^2=m\cdot g\cdot h$.

    Nun einfach $m$ kürzen und nach $v$ umstellen: $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$.

    Die letzte Hürde ist nun $h$ zu berechnen, dazu erinnern wir uns an das Fadenpendel und wissen:

    $h=l\cdot (1-\cos(\alpha))=>h=0,50~\text{m}\cdot (1-\cos(20^\circ))=0,03~\text{m}$.

    Also: $v=\sqrt{2\cdot 9,81~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 0,03~\text{m}}=0,77~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

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