Hooksche Feder – freier ungedämpfter harmonischer Oszillator

Hallo und herzlich willkommen zur Behandlung der Hookschen Feder und der freien ungedämpften harmonischen Schwingung. Du solltest eine Ahnung von Differenzialrechnung haben, wenn du dieses Video anschaust. Nützlich ist es auch auf jeden Fall, wenn du schon das Video Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Newton 2 und die Einführung in das Dehnungsverhalten der Hookschen Feder gesehen hast. Ich fasse kurz zusammen: Eine Feder besteht aus einem bestimmten Draht, der eine Federkonstante besitzt. An diesem Draht ist ein Körper der Masse m befestigt. Die Reibung werden wir im Folgenden vernachlässigen. Also wie du vielleicht schon weißt, gehorcht die Hooksche Feder folgendem Kraftgesetz: F=-k×x. Wobei K die Federkonstante ist und x ist die Auslenkung des Körpers in der Ruhelage, wenn die Ruhelage bei x=0 liegt. Das heißt die Kraft wird linear stärker, je weiter du die Feder dehnst. Das entspricht auch unserer Alltagserfahrung und dieses Gesetz gilt bis zu einem gewissen Punkt sehr, sehr gut. Das Minus in der Formel, F =-k×x, bedeutet, dass die Kraft rückwärts wirkt. Das heißt, wenn du sie nach links aus der Ruhelage dehnst, dann wirkt die Kraft nach rechts, also zurück in die Ruhelage. Und wenn du sie nach rechts zusammendrückst, wird die Kraft nach links, also wieder zurück in die Ruhelage. An dieser Stelle kannst du dir schon denken, dass die Feder schwingen wird, wenn sie losgelassen wird, weil die Kraft sie immer wieder in die Gegenrichtung lenkt, in die sie gerade unterwegs ist. Das Ganze wollen wir jetzt aber ganz genau wissen. Dazu schreiben wir uns das 2. Newtonsche Gesetz hin: x^: ×m =F. In diesem Fall gleich -k×x. Also steht das x^:= -k×x. Diese Formel wandeln wir jetzt noch spaßeshalber um in: x^: +k/m×x = 0. Diese Gleichung ist sehr sehr bekannt und wird sehr sehr oft in der Physik benutzt. Sie nennt sich: Differenzialgleichung der freien ungedämpften harmonischen Schwingung. Frei, weil wir von außen keine Kraft einwirken lassen, ungedämpft, weil wir die Reibung vernachlässigen und harmonisch, weil es sich um eine Hooksche Feder handelt, die einem linearen Kraftgesetz folgt. Diese Differenzialgleichung ist Differenzialgleichung 2. Ordnung. 2. Ordnung deshalb, weil maximal 2 Punkte auf einem x sind. Differenzialgleichungen 2. Ordnung besitzen einen zweidimensionalen Lösungsraum. Deshalb gibt es zwei linear voneinander unabhängige Lösungen. Dafür picken wir durch zwei Anfangsbedingungen die für uns relevante raus. Für die Formulierung der Anfangsbedingungen müssen wir uns überlegen, was wir zum Zeitpunkt t=o genau mit der Feder anstellen. Nehmen wir mal an, wir lenken die Feder um x=0, um ihre Ruhelage aus und lassen sie zum Zeitpunkt t=0 los. Das formulieren wir jetzt erst mal in der Sprache der Mathematik: 1. x (t=0)= X0. 2. x(t=0)=0. Die erste Bedingung sagt aus, dass zum Zeitpunkt 0 die Masse an der Feder um x=0 ausgelenkt ist. Und die 2. Bedingung sagt aus, dass zum Zeitpunkt 0 die Masse losgelassen wird, also die Geschwindigkeit 0 hat. x^. war ja die Geschwindigkeit. Wir wollen jetzt die genaue Bewegung wissen. Also den Ort als Funktion der Zeit, die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit und die die Beschleunigung als Funktion der Zeit. Die verbleibende Aufgabe besteht also darin, diese Differenzialgleichung mit diesen beiden Anfangsbedingungen zu lösen. Schauen wir uns die Differenzialgleichung noch einmal genau an. Wir haben eine Funktion x(t). Wenn wir diese 2 Mal ableiten, kommt genau die gleiche Funktion wieder heraus nur mit einer Konstanten versehen und einem negativen Vorzeichen, damit sie sich zu 0 addieren können. Das ist es, was uns die Differenzialgleichung sagt. Wenn du genau überlegst, wirst du herausfinden, dass es nur 2 Funktionen gibt, die genau dieses Verhalten zeigen. Nämlich sin (ωt) und cos (ωt). ω ist dabei noch eine unbekannte Kreisfrequenz und t natürlich die Zeit. Diese 2 Funktionen sind linear unabhängig und sparen damit sogar unseren zweidimensionalen Lösungsraum auf. Jetzt schielen wir noch mal auf die 1. Anfangsbedingung: x (t=0)= X0. Der Sin von t=0 ist 0. Deshalb können wir mit ihm nichts anfangen. Der Cos von t=0 ist 1, damit können wir die Anfangsbedingung treffen. Wir machen also den Ansatz: x(t)= x0×cos (ωt). Für t=0 ist = X0, weil der cos ja 1 ist. Das trifft sich schon mal sehr gut, weil es genau zu unserer Anfangsbedingung passt. Jetzt leiten wir diese Gleichung zwei Mal ab: Die 1. Ableitung ist ja die Geschwindigkeit: x- (t) = -x0×sin (ωt). Jetzt können wir mal die 2. Anfangsbedingung testen. Wenn für t=o einsetzen ist der sin 0. Also x.(t)=0. Passt wunderbar. Leiten wir für die Beschleunigung noch mal ab: x:(t) = -x0×ω²×cos (ωt). Jetzt können wir die Funktion x (t) und x:(t) in die Differentialgleichung einsetzen, um ω zu bestimmen und zu testen, ob diese Funktion die Differenzialgleichung überhaupt lösen kann.  Also: -x0 ω² cos (ωt) + k/mx0cos (ωt) =0. Jetzt können wir x0 und cos herausdividieren. Dann bleibt: ω² + k/m=0. ω = +/-\sqrt(k/m). Und die Differenzialgleichung ist gelöst. Da der cos eine symmetrische Funktion ist, ist es egal, welche Lösung wir nehmen, denn cos (-ωt) = cos (ωt). Wenn wir nun überall ω durch \sqrt(k/m) ersetzen, haben wir unsere gesuchten Lösungen und damit unser Ziel erreicht. Wir wissen jetzt, wo sich der Körper zu jedem Zeitpunkt befindet, welche Geschwindigkeit er hat und wie stark er beschleunigt wird. Und nicht nur das, wir wissen sogar die Frequenz, mit der die Feder schwingt. Die Feder schwingt mit der Kreisfrequenz \sqrt(k/m). Auffällig ist, dass die Frequenz nicht von der Auslenkung abhängig ist, sondern nur von der Federkonstanten und der Masse. Und all das haben wir nur mit Newtons 2. Gesetz herausfinden können. Wahnsinn, oder? Damit ist das Wichtigste gesagt und ich bedanke mich und wünsche eine schöne Zeit. Tschausen