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Geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung – Darstellung in Diagramm 08:01 min

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Transkript Geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung – Darstellung in Diagramm

Willkommen! In diesem Video analysieren wir die geradlinige gleichmäßig beschleunigte Bewegung in Diagrammen. Beschleunigung ist ein Alltagsphänomen. Ein fallender Apfel, ein anfahrendes Auto und sogar ein bremsendes Auto sind alles Beispiele für Beschleunigung. Die Geschwindigkeit ändert sich. Im Folgenden werden wir zunächst die Definitionen von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung wiederholen. Darauf aufbauend werden wir eine konstante Beschleunigung ins Zeit-Beschleunigungs-Diagramm einzeichnen und daraus das Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm bestimmen. Hieraus werden wir dann im letzten Schritt das Zeit-Weg-Diagramm herleiten. Schließlich erklären wir, warum Bremsen eine Art der Beschleunigung ist. So, dann fangen wir mal an. Betrachten wir einen Körper der sich linear, das heißt geradlinig bewegt, zum Beispiel ein fallender Apfel oder ein geradeaus fahrendes Auto. Wir können nun eine Achse wählen, auf der wir eine Richtung und einen Nullpunkt festlegen. Wir wollen nun den zurückgelegten Weg abhängig von der Zeit in ein Diagramm eintragen. Hierzu wählen wir die vertikale Achse als Weg und die horizontale Achse für die Zeit. Man spricht vom Zeit-Weg-Diagramm. Seine SI-Einheit ist Meter. Als Beispiel zeichnen wir nun eine gleichförmige Bewegung, das heißt eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, in unser Diagramm. Für diese gilt, zurückgelegter Weg zur Zeit t, ist die Summe aus Anfangsweg S0 plus Geschwindigkeit v0 mal t. Im nächsten Schritt zeichnen wir das Diagramm für die Geschwindigkeit. Diese ist der zurückgelegte Weg pro Zeit. Ihr Formelzeichen ist v. Ihre SI-Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s). Für unser Beispiel der gleichförmigen Bewegung gilt V ist gleich einer Konstante V0. Deshalb können wir eine horizontale Gerade für die Geschwindigkeit zeichnen. Nun kommen wir zur Beschleunigung. Sie beschreibt die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit. Ihr Formelzeichen ist a und ihre SI-Einheit ist Meter pro Sekunde zum Quadrat (m/s2). Für unser Beispiel der gleichförmigen Bewegung gilt a = 0, da sich hier die Geschwindigkeit nicht ändert. Nun schauen wir uns aber eine geradlinige gleichmäßig beschleunigte Bewegung an. Für diese gilt a gleich einer Konstante a0, die nun nicht 0 ist. Deshalb können wir nun in das Zeit-Beschleunigungs-Diagramm eine konstante Beschleunigung a(t) eintragen. Schauen wir uns nun das zugehörige Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm an. Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit. Wenn diese Änderung konstant ist, dann ändert sich die Geschwindigkeit linear mit der Zeit. Anders ausgedrückt, für zwei beliebige Zeiten, hier 0 und t1, ist die Geschwindigkeitsdifferenz Delta v zwischen diesen Zeiten gegeben als die Fläche unter dem Graph der Beschleunigung. Diese Fläche wird begrenzt durch die gewählten Zeiten. Diese Fläche hat gerade den Inhalt a0t. Da die Zeit t1 willkürlich gewählt war, entsteht die Gesamtgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt t damit als Summe aus Anfangsgeschwindigkeit v0 und dem Flächeninhalt a0t. Dies ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung a0 und y-Achsenabschnitt v0. Nachdem wir nun wissen, wie sich die Beschleunigung auf die Geschwindigkeit auswirkt, können wir nun von der Geschwindigkeit auf den Weg schließen. Und darum geht es ja. Wie bewegt sich unser Körper, wenn er linear beschleunigt wird. Der zurückgelegte Weg Delta S, hier wieder zur Zeit t1 ist wieder durch eine Fläche gegeben, der Fläche unter dem Geschwindigkeits-Diagramm, begrenzt durch die Zeiten 0 und t1. Diese Fläche besteht aus einem Rechteck mit Fläche v0t und einem Dreieck mit Fläche a0/2t2. Dabei verwenden wir, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks sich als Grundlinie mal Höhe/2 berechnet. Der Gesamtweg zur Zeit t1 ergibt sich damit als Summe aus Anfangsweg S0 plus zurückgelegtem Weg delta S. Wir finden damit für jede beliebige Zeit t S(t)=S0+v0t+a0/2t2. Jetzt wissen wir, wie die geradlinige gleichmäßige beschleunigte Bewegung im Diagramm dargestellt wird. Als Nächstes werden wir sehen, dass auch beim Bremsen beschleunigt wird. Ist die Beschleunigung der Anfangsgeschwindigkeit entgegengerichtet, verringert sich die Geschwindigkeit, man spricht von Bremsen oder Verzögerung. Dies können wir uns an den Diagrammen veranschaulichen. Im Zeit-Beschleunigungs-Diagramm sehen wir, dass a0 konstant und negativ ist. Damit ist die Steigung der Geraden im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm negativ. Und im Zeit-Weg-Diagramm sehen wir, wie sich der zurückgelegte Weg dem Scheitel einer Parabel annähert. Damit haben wir auch erklärt, warum Bremsen eine Art der Beschleunigung ist. Bremsen ist negative Beschleunigung. Fassen wir zum Schluss noch einmal zusammen. Eine gleichförmig beschleunigte Bewegung hat eine konstante Beschleunigung. Es gilt a(t) gleich einer Konstanten a0. Die Geschwindigkeitsänderung entspricht der Fläche unter dem Beschleunigungsgraph und ist folglich eine Gerade mit Steigung a0. Ist die Steigung des Graphen und somit die Beschleunigung negativ, spricht man von Bremsen oder Verzögerung. Es gilt v(t)=v0+a0t. Der zurückgelegte Weg entspricht der Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraph und ist eine quadratische Funktion der Zeit, also eine Parabel. Es gilt s(t)=S0+v0t+a0/2*t2. Vielen Dank fürs Anschauen.

2 Kommentare
  1. Ich finde, man könnte auch noch so ein Video bloß einfacher erklärt machen.

    Von Jue L., vor 6 Monaten
  2. Tolles Video

    Von Luca-Leon S., vor mehr als 2 Jahren

Geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung – Darstellung in Diagramm Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung – Darstellung in Diagramm kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das Diagramm.

    Tipps

    Der Name eines Diagramms wird über die Benennung der x- und y-Achse vergeben.

    Der Verlauf eines Graphen ist häufig linear, quadratisch oder exponentiell.

    Die Zeit wächst mit der Pfeilrichtung der x-Achse an.

    Lösung

    Im Diagramm sind die Größen t und s zueinander ins Verhältnis gesetzt. Wir haben also ein t-s-Diagramm oder Zeit-Weg-Diagramm. Der Graph hat den Startpunkt bei $s_0$ und endet bei $s_{End}$. Da der Graph gerade wie ein Lineal ansteigt, liegt eine gleichförmige Bewegung vor. Die Beschleunigung ist also Null und die Geschwindigkeit konstant. Das Auto fährt also mit einer konstanten Geschwindigkeit von Punkt $s_0$ bis $s_{End}$. Das könnte zum Beispiel eine Autobahnfahrt mit Tempomat sein.

  • Bestimme die Bewegungsformen von alltäglichen Bewegungen.

    Tipps

    Man muss die Geschwindigkeit betrachten.

    Ändert sich die Geschwindigkeit, liegt eine beschleunigte Bewegung vor.

    Bleibt die Geschwindigkeit gleich, liegt eine gleichförmige Bewegung vor.

    Lösung

    Wenn du die Geschwindigkeiten betrachtetes, merkst du, dass sich die Geschwindigkeit bei einigen Beispielen ändert und bei den anderen gleich groß bleibt.

    Ein Zug, der in den Bahnhof einfährt, bremst ab, genau wie das Auto, welches bremst. Beim Losfahren von der Ampel vergrößert sich die Geschwindigkeit. Genau wie beim Apfel, der von einem Baum fällt. All diese Formen sind beschleunigte Bewegungen.

    Ein Auto auf der Autobahn oder ein Zug, welcher konstant mit der selben Geschwindigkeit fährt, wird weder beschleunigt noch bremst dieser ab. Die Bewegung ist gleichförmig.

  • Nenne jeweils die physikalische Größe, für die die Gleichung stimmt.

    Tipps

    Du kannst über die Einheiten auf das Ergebnis schließen.

    Die Einheiten sind t in s, s in m, v in m/s, a in m/s².

    Male dir ein Diagramm zu den Gleichungen.

    Lösung

    Es gibt mehrere Herangehensweisen.

    Weg 1: Über die Einheiten
    Man setzt jeweils für alle t Sekunden, für alle s Meter, für alle v Meter pro Sekunde und für alle a Meter pro Sekunde zum Quadrat ein. Dann rechnet man die Einheiten aus und schaut, was am Ende übrig bleibt.

    Bleibt Meter übrig, handelt es sich um einen Weg.

    Bleibt Meter pro Sekunde übrig, liegt eine Geschwindigkeit vor.

    Wenn Meter pro Sekunde zum Quadrat am Ende stehen bleibt, liegt eine Beschleunigung vor.

    Die beiden Gleichungen, $x=\text{konstant}$ und $x= 0$, muss überlegt werden, welche Größe sich nicht ändert und welche Größe gar nicht betrachtet wird.

    Weg 2: Über die Größen
    Eine andere Möglichkeit ist es, sich die Größen vorzustellen. Was bedeutet es beispielsweise, wenn wir eine in einer bestimmten Zeit zurückgelegten Wegstrecke betrachten? Welche Strecke ein Auto in einer bestimmten Zeit fährt, das sagt uns die Geschwindigkeit.

    v=s/t.

    Ob sich die Geschwindigkeit verändert, sagt uns die Beschleunigung a(t).

  • Finde zum Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm das passende Zeit-Weg-Diagramm und Zeit-Beschleunigung-Diagramm.

    Tipps

    Die Bewegung ist eine gemischte Form, die sowohl gleichförmige als auch gleichmäßig beschleunigte Anteile enthält.

    Zwischen jeweils zwei möglichen Zeitpunkten für t liegt immer nur eine eindeutige Bewegungsform vor.

    Wenn der Weg abnimmt, bedeutet das, dass sich der Körper rückwärts bewegt.

    Lösung

    Da wir eine gemischte Bewegungsform im Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm sehen, müssen wir zunächst herauslesen, welche Bewegungsform zwischen den jeweiligen Zeitpunkten von t vorliegt.

    Zwischen $0$ und $t_1$ liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. Zwischen $t_1$ und $t_2$ haben wir eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. Nach $t_2$ wird abgebremst, wir haben also wieder eine beschleunigte Bewegung bis $t_3$. Und bis $t_4$ liegt wieder eine gleichförmige Bewegung vor.

    Wenn wir uns nun in Erinnerung rufen, wie der Verlauf dieser Bewegungsformen im Zeit-Weg-Diagramm aussieht, erkennen wir deutlich, dass der Weg niemals abnehmen kann, wenn der Körper nur langsamer wird. Und auch im Stillstand nimmt der Weg nicht ab, er bleibt nur gleich.

    Wenn wir uns das Zeit-Beschleunigung-Diagramm anschauen, sehen wir, dass die Beschleunigung beim Abbremsen negativ ist, daher muss auch hier der Graph im negativen Bereich liegen.

    Wir haben nun jeweils für beide Graphen ein Entscheidungskriterium. Damit bleiben nur 2 Graphen über.

  • Bestimme, welche Diagramme zu welcher Bewegungsform gehören.

    Tipps

    Mit der Veränderung der Beschleunigung solltest du beginnen, sie ist die Änderung der Geschwindigkeit.

    Wie verändert sich der Weg bei den Bewegungsformen?

    Lösung

    Bei der gleichförmigen Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit nicht und es liegt daher auch keine Geschwindigkeitsänderung, also Beschleunigung, vor. Nur der Weg nimmt gleichförmig, also linear, zu.

    Bei der gleichmäßig positiv beschleunigten Bewegung nimmt die Geschwindigkeit linear zu. Die Beschleunigung ist positiv, bleibt aber konstant. Der Weg nimmt hier quadratisch zu.

    Bei der gleichmäßig negativ beschleunigten Bewegung nimmt die Geschwindigkeit linear ab. Die Beschleunigung ist negativ und konstant. Die Zunahme des Weges wird immer kleiner.

    Beide Formen der beschleunigten Bewegung zeigen im Diagramm eine Parabelform. Bei der positiven Beschleunigung ist sie aufrecht stehend und bei der negativen Beschleunigung liegt sie auf der Seite.

  • Bestimme die Endgeschwindigkeit und den zurückgelegten Weg beim Beschleunigungsvorgang.

    Tipps

    Kilometer pro Stunde muss erst in Meter pro Sekunde umgerechnet werden:

    1 $ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ sind 3,6 $ \frac{\text{km}}{\text{h}}$

    $s_0$ muss auf Null gesetzt werden.

    Rennmotorräder können sehr schnell werden.

    Es handelt sich hier um beschleunigte Bewegungen, welche Formeln gelten da?

    Lösung

    Gegeben: $v_0 = 36 \frac{km}{h}$,$\quad$$a_0 = 10 \frac{m}{s^2}$,$\quad$ $t = 10 s$

    Gesucht: $v~~in~~\frac{m}{s}~~und~~\frac{km}{h}$,$\quad$$s~~in~~m$

    Nun brauchen wir die Gleichungen für die beschleunigte Bewegung:
    $v(t)=v_{0} + a_{0} \cdot t$,$\quad$$s(t)=s_0+v_0\cdot t+ \frac{a_0}{2}\cdot t^2$

    Zunächst müssen wir die Kilometer pro Stunde in Meter pro Sekunde umrechnen:

    $\frac{36~\frac{km}{h}}{3,6}=10~\frac{m}{s}$

    Dann können wir schon die Geschwindigkeit bestimmen, indem wir die Werte in die Gleichung für v(t) einsetzen:

    $v(t)=v_{0} + a_{0} \cdot t=10~\frac{m}{s} + 10~\frac{m}{s^2}\cdot 10 ~s=110~\frac{m}{s}=396~\frac{km}{h}$

    Dann haben wir auch schon unsere Ergebnisse.

    Für den Weg brauchen wir noch die Bedingung, dass $s_0=0$ ist. Dann können wir alle Werte in die Gleichung für s(t) einsetzen:

    $s(t)=s_0+v_0\cdot t+ \frac{a_0}{2}\cdot t^2=0~m+10~\frac{m}{s}\cdot 10~s+\frac{10~\frac{m}{s^2}}{2}\cdot 100~s^2=600~m$

    Damit haben wir alle unsere Ergebnisse.