Durchschnittsgeschwindigkeit

Durchschnittsgeschwindigkeit Übung

• Nenne korrekte Aussagen zur Durschnittsgeschwindigkeit.

  Tipps

  In den Begriffen Momentangeschwindigkeit und Durchschnittsgeschwindigkeit stecken schon viele Informationen zu Unterscheidung der beiden Größen. Die Momentangeschwindigkeit bezieht sich auf einen ganz bestimmten Moment. Wie ist das bei der Durchschnittsgeschwindigkeit?

  Lösung

  Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Objektes während eines Zeitraums $\Delta t = t_1 - t_2$ entspricht dem Quotienten aus dem zurückgelegten Weg $\Delta s=s_2-s_1$ und der Länge des Zeitraumes.

  $v_{D}=\frac{s_{2}-s_{1}}{t_{2}-t_{1}}$

  Diese recht kompliziert klingende Definition aus dem Video wollen wir nochmal mit anderen Worten erklären:

  Zu Einschätzung der Durchschnittsgeschwindigkeit reicht es vollkommen aus, sich anzuschauen, wo sich das bewegte Objekt zu Beginn und zu Ende des betrachteten Zeitraums befindet. Wie sich die Geschwindigkeit innerhalb dieses Zeitraums verändert, ist für die Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit unerheblich.

  Hierfür ein Beispiel: Zwei Marathonläufer starten gleichzeitig. Läufer 1 läuft auf der ersten Streckenhälfte sehr viel schneller als Läufer 2 und gewinnt so einen großen Vorsprung. Läufer 2 hat dafür auf der zweiten Streckenhälfte große Reserven, sodass er Läufer 1 hier wieder einholen kann und schließlich beide zeitgleich die Ziellinie überlaufen. Bei diesem Beispiel beginnen beide Läufer zum gleichen Zeitpunkt ihren Lauf und erreichen zum gleichen Zeitpunkt das Ziel. Wenngleich sie fast nie mit der gleichen Geschwindigkeit gelaufen sind, haben sie laut der Definition am Ende des Laufes die gleiche Durchschnittsgeschwindigkeit.

  Wären beide Läufer mit einer konstanten Geschwindigkeit gelaufen, so wären sie in dem Fall, dass sie zeitgleich die Ziellinie erreichen, immer direkt nebeneinander gelaufen.

• Nenne korrekte Aussagen zur Momentangeschwindigkeit.

  Tipps

  Wenn du in ein Zeit-Ort-Diagramm einen Start- und eine Zielkoordinate markierst, dann kannst du viele verschiedene Kurven einzeichnen, mit denen du vom Startpunkt zum Zielpunkt gelangst. Was bedeutet das für die Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit?

  Lösung

  Die Momentangeschwindigkeit ist definiert als die Geschwindigkeit in einem Zeitpunkt t. Sie steht mit der Durchschnittsgeschwindigkeit in folgendem Zusammenhang: Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Mittelwert der Momentangeschwindigkeiten.

  Für das Beispiel eines Wettrennens bedeutet dies, dass die Momentangeschwindigkeit nicht entscheidend für den Ausgang des Rennens ist. In dem nebenstehenden Zeit-Ort-Diagramm ist hierfür ein Wettrennen zwischen zwei Autos dargestellt. Die orangen Punkte markieren die Start- und die Zielkoordinate. Wie du siehst, erreichen beide Autos zum gleichen Zeitpunkt das Ziel (die Kurven schneiden sich im Zielpunkt). Der Verlauf der Kurven unterscheidet sich aber sehr stark. Die Geschwindigkeit entspricht im Zeit-Ort Diagramm der Steigung der Kurve. Die größte Steigung beobachtest du bei der helleren Linie, dieses Auto hatte also die höchste Momentangeschwindigkeit. Es hat dennoch nicht gewonnen, da beide Autos im Durchschnitt gleich schnell gefahren sind.

• Beschreibe den Verlauf des Rennens.

  Tipps

  Im Zeit-Ort-Diagramm entspricht die Steigung der Kurve der Momentangeschwindigkeit des Objektes.

  Lösung

  Aus einem Zeit-Ort-Diagramm kann man sowohl Informationen über die Momentangeschwindigkeit, als auch über die Durchschnittsgeschwindigkeit gewinnen.

  Die Momentangeschwindigkeit ist die Steigung der Kurve zu dem betrachteten Zeitpunkt. Um sie zu ermitteln, kannst du eine Tangente an die Kurve zeichnen und deren Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmen.

  Um die Durchschnittsgeschwindigkeit zu ermitteln, brauchst du lediglich den Start- und den Endpunkt der Bewegung und kannst die Koordinaten in die Formel zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit einsetzen:

  $v_D = \frac{s_2- s_1}{t_2-t_1}$.

  Die abgebildete Grafik ist nicht genau genug, um daraus genaue Messwerte abzulesen. Dennoch kann man die Bewegungen hiermit gut charakterisieren.

  Zusammenfassend kannst du dir, wenn du zwei Bewegungen in einem Zeit-Weg-Diagramm vergleichst, folgendes merken:

  • Die Steigung der Kurve entspricht der Geschwindigkeit des Objektes.
  • In Schnittpunkten beider Kurven ist die Durchschnittsgeschwindigkeit der beiden Objekte gleich (auch wenn sich die Momentangeschwindigkeiten zu diesem Zeitpunkt unterscheiden).
  • Liegen beide Kurven aufeinander, so sind sowohl Momentan- als auch Durchschnittsgeschwindigkeiten zu dieser Zeit gleich.

• Ermittle die notwendige Mindestlänge der Start-/Landebahn und die Momentangeschwindigkeit des Flugzeuges beim Abheben.

  Tipps

  Der Zusammenhang zwischen Strecke und Beschleunigung lautet $s=0,5\cdot a\cdot t^2$.

  Lösung

  Die Zeit (t = 40 s) und die Beschleunigung (a = 3 $\frac{m}{s^2}$) sind für den Start des Flugzeuges gegeben. Diese Werte können in die Formel $s=0,5\cdot a\cdot t^2$ eingesetzt werden. Es folgt s = 2400 m. Natürlich sollte eine Start-/Landebahn etwas länger sein als diese zum Start benötigte Mindestlänge. Bei auftretenden Komplikationen kann so ein Start abgebrochen werden.

  Die Geschwindigkeit kann mit der Formel $v=a\cdot t $ berechnet werden. Es ergibt sich hier ein Wert von v = 120 m/s. Da es eine Geschwindigkeit ist, die in dem Moment des Abhebens des Flugzeuges erreicht wird, handelt es sich hier um eine Momentangeschwindigkeit.

  Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann übrigens auch mit den in der Aufgabe angegebenen und den berechneten Werten ermittelt werden: Es ist angegeben, dass das Flugzeug 40 s zum Starten benötigt. Wir haben berechnet, dass die Startbahn 2400 m lang ist. Man kann also rechnen

  $v_D=\frac{s}{t}\rightarrow v_D=60\ m/s$.

• Nenne korrekte Aussagen zur Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit.

  Tipps

  Die Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die ein Objekt zu einem bestimmten Zeitpunkt t hat.

  Lösung

  Momentangeschwindigkeiten sind im Gegensatz zu Durchschnittsgeschwindigkeiten immer Geschwindigkeiten zu bestimmten Zeitpunkten. In den Sätzen sind bestimmte Situationen geschildert, in denen Lisa und Erik verschiedene oder gleiche Geschwindigkeiten haben. Um Momentangeschwindigkeiten zu vergleichen, hilft es häufig, sich die Situationen bildlich vorzustellen.

• Bestimme die zurückgelegte Strecke, die Durchschnittsgeschwindigkeit und die maximale Momentangeschwindigkeit.

  Tipps

  Die Fahrt kann in zwei Abschnitte unterteilt werden, für die man separat die zurückgelegten Strecken berechnen kann.

  Lösung

  Die Fahrt des Autos kann in zwei Abschnitte unterteilt werden:

  • eine Beschleunigungsphase zu Beginn mit $a_1$ = 1,6 $\frac{m}{s^2}$ und $t_1$ = 10 s
  • eine gleichförmige Bewegung mit v = unbekannt und $t_2$ = 40 s

  Die maximale Momentangeschwindigkeit wird zum Ende der ersten Phase erreicht und bleibt in der zweiten Phase konstant, da hier keine Beschleunigung mehr stattfindet. Sie ergibt sich aus $v_M=a_1\cdot t_1 \rightarrow v_M = 16\ m/s$.

  Um die zurückgelegte Strecke zu berechnen, kann für die erste Phase die Formel $s=0,5\cdot a \cdot t^2$ verwendet werden. Für die zweite Phase kann die Formel $s=v\cdot t$ verwendet werden, wobei für die Geschwindigkeit die bereits berechnete Maximalgeschwindigkeit $v_M$ gilt.

  Für die Gesamtstrecke können die Teilstrecken der zwei Phasen addiert werden, sodass sich ergibt:

  $s=0,5\cdot a_1 \cdot {t_1}^2 + (a_1\cdot t_1)\cdot t_2$

  Nach Einsetzen der oben angegeben Werte erhält man für die Gesamtstrecke s = 720 m.

  Zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit genügt die zurückgelegte Strecke und die Gesamtzeit der Bewegung: $v_D=\frac{s}{t_1+t_2}$ $\rightarrow v_D=\frac{720 m}{10 s+40 s}=14,4\ m/s$.