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Compton-Effekt – mathematischer Hintergrund 07:09 min

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Transkript Compton-Effekt – mathematischer Hintergrund

Ich zeige hier, wie das Streuungsverhalten hochfrequenter Strahlung beim Durchgang durch Festkörper der sogenannte Compton Effekt erklärt wird, und skizziere die Herde von der Compton-Wellenlänge. Am Ende gibt es eine kleine Beispielaufgabe. Du solltest mit den Verhältnissen beim elastischen Stoß vertraut sein, den Energie- und Pulserhaltungssatz verstehen, die relativistische Energie und Impulzbeziehung kennen und die Lichtquantenhypotese und die Eigenschaften des Photons verstehen. Wenn man ein Plättchen, aus zum Beispiel Kohlenstoff mit Röntgenwellen bestrahlt, werden sie nach dem Eindringen in das Material in alle Richtungen gestreut. Mit den Mitteln der klassischen Physik würde man das Phänomen damit erklären, dass die einfallende Primärstrahlung die Atome des Materials anregt und diese dann eine Streustahlung derselben Frequenz abstrahlen. Aber hier treten Phänomene auf, die der einfachen Erklärung widersprechen. Das Auffälligste ist, das die Streuwellenlänge größer ist, als die Primärwellenlänge. Das ist das Phänomen das als der Compton Effekt bekannt ist. Dabei ist die Abweichung über dieses noch vom Streuwinkel abhängig. Je größer der Streuwinkel, desto größer die Wellenlänge des gestreuten Anteils. Also desto größer der Unterschied von Primär- und Streuwellenlänge. Selbst wenn sich mit dem klassischen Model eine Wellenlängen Änderung erklären ließe, müsste diese doch in alle Richtungen gleichmäßig auftreten. Außerdem ist der Unterschied von Primär- und Streuwellenlänge auch nicht vom bestrahlten Material abhängig. Bei gleichen Streuwinkeln erhält man immer dieselbe Differenz der Wellenlängen für verschiedene Materialien. Das bedeutet, dass der Effekt offenbar nicht von der Konfiguration der Atome abhängig ist. Zu vermuten ist also, dass er auf Wechselwirkung der Strahlung und freien Elektronen beruht. Dann liegt es nahe, die Vergrößerungen der Wellenlängen bei der Streuung mit dem Dopplereffekt zu erklären. Fliegen die Elektronen gewissermaßen von der Strahlung weg, wird die an ihnen reflektierte Strahlung eine größere Wellenlänge haben. Die wäre der Primärwertlänge natürlich direkt proportional. Aber leider zeigt sich, dass für gleiche Streuwinkel die Differenz der Wellenlänge immer dieselbe ist, ganz unabhängig von der Primärlängenwelle. Nehmen wir aber nun an, das die Röntgenstrahlung quantisiert ist und zwischen ihren Photonen und den freien Elektronen des bestrahlten Materials elastische Stöße stattfinden, können wir die Veränderungen der Wellenlängen als Veränderung der Energie der Photonen beim Stoß erklären. Die Planckformel beschreibt einen eindeutigen Zusammenhang zwischen Photonenenergie und Wellenlänge. Wenn wir für die Berechnung der Verhältnisse beim elastischen Stoß den Energieerhaltungssatz ansetzen, dann den Impulserhaltungssatz formulieren und ihn umstellen, wir gehen in unserem Fall davon aus, dass das Elektron sich vor dem Stoß in Ruhe befindet, können wir schließlich mit Hilfe der relativistisch Energieimpulsbeziehung eine Formel gewinnen, nach der sich die Größe der Wellenlängendifferenz, völlig unabhängig von Materialeigenschaften und Primärwellenlänge, ergibt. Der Propornzionalitätsfaktor h dividiert durch m0 mal c, mit m0 der hohe Maß des Elektrons, wird die Compton-Wellenlänge genannt. Sie gilt natürlich nur für Elektronen. Zum Abschluss will ich noch die Lösung einer kurzen Beispielaufgabe zeigen. Du kannst nach der Aufgabenstellung das Video anhalten und selbst einmal selbst versuchen, einen Lösungsweg zu finden und danach mit meinem vergleichen. Nehmen wir eine Primärstrahlung der Frequenz 3 mal 10 hoch 19 Herz an und die Beobachtung eines Elektrons, das nach einem Stoß durch ein Photon eine Geschwindigkeit von 6,5 mal 10 hoch 6 Meter pro Sekunde hat. Die Frage lautet, wie groß ist die Frequenz des gestreuten Photons? Meinen Lösungsweg habe ich mit folgender Überlegung entwickelt. Weil wir keine Informationen über den Streuwinkel haben, können wir die comptonsche Formel für Delta lamta nicht anwenden. Daher erinnere ich mich daran, dass ich mit bekannten Geschwindigkeiten und bekannter Masse natürlich sehr gut Energieberechnungen durchführen kann und ich setze mit dem Energieerhaltungssatz an. Ich setze für die Energie eines Photons die plancksche Beziehung ein und für die hohe Energie des Elektrons die Masse-Energieäquivalenz. Für die Energie des gestoßenen Elektrons, setze ich die relativistische Energieimpulsbeziehung an. Jetzt muss ich nur noch den Ausdruck für we× einsetzen, etwas umstellen, danach bleibt mir nur noch übrig die Werte einzusetzen und nach dem Taschenrechner zu greifen. Ich erhalte für die Frequenz der gestreuten Wellen 2,4 mal 10 hoch 19 Herz. Es wäre auch eine schöne Fingerübung aus den ermittelten Daten an den gegebenen Größen den Streuwinkel vie zuberechnen, vielleicht willst du das mal versuchen. Kurz zusammengefasst wird der Compton-Effekt, der bei kurzwelliger Strahlung auftritt, mithilfe der Quantentheorie des Lichtes oder allgemeiner der Quantentheorie der elektromagnetischen Strahlung erklärt. Es erfolgen elastische Stöße zwischen Photonen und freien Elektronen bei denen die Photonenenergie auf die Elektronen übertragen also, selbst verlieren, wodurch sich nach der planckschen Beziehung die Wellenlänge vergrößert. Die Erklärung des Compton Effektes mit dem Stoß von Lichtquanten und Elektronen waren entscheidend am Beitrag zur Bestätigung der Lichtquantenhypothese, die Einstein 1905 aufgestellt hat.

4 Kommentare
  1. Higartner, Sie haben recht, danke für den Hinweis.
    Grüße,
    kalo

    Von Kalo, vor fast 5 Jahren
  2. Die Comptonwellenlänge ist hier leider falsch.
    Sie beträgt 2,4m^-12 anstatt 2,4m^-17 :)

    Von Higartner, vor fast 5 Jahren
  3. Ja, Jaqob, genau so ist es !

    Wenn ich die Berechnung überschlage, habe ich aber das Ergebnis dann doch richtig mit dem geschriebenen Wert für v-elektron berechnet.

    Danke für den Hinweis !

    Viele Grüße,
    kalo

    Von Kalo, vor fast 7 Jahren
  4. Lieber Kalo,
    kann es sein, dass du dich bei der Geschwindigkeit des Elektrons nach dem Stoß versprichst? (Beispielaufgabe im Video)
    Liebe Grüße

    Von Jaqob Fiedler, vor fast 7 Jahren

Compton-Effekt – mathematischer Hintergrund Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Compton-Effekt – mathematischer Hintergrund kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, ob der Compton-Effekt materialabhängig ist.

    Tipps

    $\Delta \lambda= \lambda^* - \lambda$

    Für Cäsium und Blei gilt (bei $\varphi =30°$): $\Delta \lambda=3,25\cdot 10^{-13}~m$.

    Lösung

    Beim Compton-Effekt bestrahlt man ein Objekt mit monochromatischer Röntgenstrahlung der Wellenlänge $\lambda$. Dabei stellt man fest, dass die Streustrahlung je nach Streuwinkel eine höhere Wellenlänge $\lambda^*$ aufweist.

    Doch was passiert, wenn man das Material des Objektes verändert?

    Experimente ergeben: Ändert man das Material des Streukörpers bei gleichbleibender Strahlung, so bleibt der Wellenlängenunterschied $\Delta \lambda= \lambda^* - \lambda$ gleich.

    Der Compton-Effekt ist somit nicht abhängig vom Material.

  • Gib an, welche Aussage beim Compton-Effekt immer gilt.

    Tipps

    $\Delta \lambda = \lambda^* - \lambda$

    $\lambda$ ist die primäre Strahlung.

    $\lambda^*$ ist die Streustrahlung.

    Lösung

    Beim Compton-Effekt bestrahlt man ein Objekt mit monochromatischer Röntgenstrahlung der Wellenlänge $\lambda$. Dabei stellt man fest, dass die Streustrahlung je nach Streuwinkel eine höhere Wellenlänge $\lambda^*$ aufweist.

    Es gilt somit: $\lambda^* > \lambda$.

    Die Veränderung der Wellenlänge $\Delta \lambda$ ergibt sich aus der Differenz der beiden Wellenlängen: $\Delta \lambda = \lambda^* - \lambda$.

    Da $\lambda^* > \lambda$, gilt für $\Delta \lambda$: $\Delta \lambda \ge 0$.

  • Gib an, mit welcher Formel die Compton-Wellenlänge $\Lambda_e$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Die Compton-Wellenlänge wird in Meter angegeben. Überlege dir, wie dir die Einheiten der anderen Größen helfen können.

    $[c]=\frac{m}{s}$

    $[m_0]=kg$

    $[h]= Js$

    Lösung

    Trifft ein Photon auf ein Elektron, so geht ein Teil seiner Energie und seines Impulses auf das Elektron über. Die Energieübertragung bewirkt eine Impulsverkleinerung und damit eine Verlängerung der Wellenlänge $\Delta \lambda$.

    Diese kann wie folgt berechnet werden: $\Delta \lambda=\frac{ h}{m_0 \cdot c }\cdot (1-cos(\varphi))$.

    Den Term der drei Naturkonstanten ($\frac{ h}{m_0 \cdot c }$) nennt man die Compton-Wellenlänge $\Lambda_e$.

  • Gib zur Wellenlängenveränderung $\Delta \lambda = 6,3\cdot 10^{-13}~m$ den passenden Winkel $\varphi$ an.

    Tipps

    Schreibe dir die gegebenen und gesuchten Größen auf.

    $\Delta \lambda = \Lambda_e \cdot (1-cos(\varphi))$

    Hast du das Ergebnis richtig gerundet?

    Lösung

    Um diese Aufgabe lösen zu können, schreiben wir zuerst die gegeben und gesuchten Größen auf, halten die Formel zur Berechnung fest, setzen die Zahlenwerte ein und formulieren einen Antwortsatz.

    Gegeben: $\Delta \lambda = 6,3\cdot 10{-13}~m$

    Gesucht: $\varphi$ in $°$

    Formel: $\Delta \lambda = \Lambda_e \cdot (1-cos(\varphi))$

    Diese Gleichung ist nun nach $\varphi$ umzustellen:

    $\varphi = arccos(1-\frac{\Delta \lambda}{\Lambda_e})$.

    Berechnung: $\varphi = arccos(1-\frac{\Delta \lambda}{\Lambda_e})=arccos(1-\frac{6,3\cdot 10{-13}~m}{2,43\cdot 10^{-12}~m})=arccos(0,74074)=42,2°$

    Antwortsatz: Der Winkel beträgt $42,2°$.

  • Gib zu den physikalischen Größen die passende Einheit an.

    Tipps

    $\Delta \lambda = \frac{h}{m_0 \cdot c}\cdot (1-cos(\varphi))$

    $\Lambda = \frac{h}{m_0 \cdot c} $

    $[\Lambda]=m$

    Lösung

    Trifft ein Photon auf ein Elektron, so geht ein Teil seiner Energie und seines Impulses auf das Elektron über. Die Energieübertragung bewirkt eine Impulsverkleinerung und damit eine Verlängerung der Wellenlänge $\Delta \lambda$, welche in Meter $m$ gemessen wird.

    Diese kann wie folgt berechnet werden: $\Delta \lambda=\frac{ h}{m_0 \cdot c }\cdot (1-cos(\varphi))$. Den Term der drei Naturkonstanten ($\frac{ h}{m_0 \cdot c }$) nennt man die Compton-Wellenlänge $\Lambda_e$, welche ebenfalls in Meter angegeben wird.

    Der Term $\frac{ h}{m_0 \cdot c }$ besitzt als Einheit Meter, sodass der restliche Term der Gleichung $(1-cos(\varphi))$ einheitslos sein muss.

    Das Formelzeichen $c$ steht für die Lichtgeschwindigkeit, welche in $\frac{m}{s}$ angegeben wird. $m_0$ ist die Masse des Elektrons, welche wiederum in $kg$ angegeben wird.

    Bleibt nur noch $h$ übrig, das Plancksche Wirkungsquantum. Dieses wird in $J\cdot s$ angegeben.

  • Gib zu dem jeweiligen Winkel den passenden Wellenlängenunterschied an.

    Tipps

    $\Delta \lambda = \frac{h}{m_0 \cdot c}\cdot (1-cos(\varphi))$

    Je größer der Winkel, desto ... die Wellenlängenveränderung.

    Wie verhält sich der Kosinus bei: $0°<\varphi ° <180°$?

    Lösung

    Um diese Aufgabe zu lösen, kannst du mit der Formel $\Delta \lambda = \frac{h}{m_0 \cdot c}\cdot (1-cos(\varphi))$ für jeden Winkel die passende Wellenlänge berechnen.

    Jedoch weißt du eventuell aus der Mathematik, dass der Kosinus zwischen $0°$ und $180°$ von eins auf minus eins fällt. Durch den Term $(1-cos(\varphi))$ gilt wiederum: Je größer der Winkel, desto größer die Wellenlängenveränderung. Achtung: Diese Aussage gilt nur bei $0°<\varphi ° <180°$.

    Somit gilt folgende Zuordnung:

    $3,25\cdot 10^{-13}~m$ --> $\varphi = 30^°$

    $7,12\cdot 10^{-13}~m$ --> $\varphi = 45^°$

    $2,43\cdot 10^{-12}~m$ --> $\varphi = 90^°$

    $4,53\cdot 10^{-12}~m$ --> $\varphi = 150^°$.