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Harmonische mechanische Schwingung

Entdecke, was eine harmonische Schwingung in der Physik bedeutet. Lerne die Definition und Eigenschaften eines harmonischen Oszillators sowie die zugrundeliegenden mathematischen Formeln kennen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text und Video!

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Teste dein Wissen zum Thema Harmonische mechanische Schwingung

Was ist eine harmonische Schwingung?

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Harmonische mechanische Schwingung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Harmonische mechanische Schwingung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Harmonische mechanische Schwingung kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Bei harmonischen Schwingungen gibt es keine äußeren Kräfte.

    Lösung

    Harmonische Schwingungen sind eigentlich nur theoretisch vorhanden. Aber dennoch nimmt man viele Schwingungen als harmonisch an, um mit ihnen einfacher umgehen zu können.

    Harmonische Schwingungen werden von keinen äußeren Kräften beeinflusst, d.h., auch nicht von Gravitation, Reibung oder anderen Dämpfungen.

    Nur die treibende und rücktreibende Kraft treibt die Schwingung an.

  • Tipps

    Die Besonderheit einer harmonischen Schwingung ist, dass sie ungedämpft ist.

    Lösung

    Auch hier ging es um die Beschreibung einer harmonischen Schwingung und ihrer Besonderheiten. Auch die Orientierung im Koordinatensystem ist wichtig.

    Dargestellt ist eine harmonische Schwingung in einem Auslenkung-Zeit-Diagramm. Die Auslenkung wird also im Verhältnis zur verstrichenen Zeit $t$ dargestellt.

    Diese Schwingung ist sinusförmig und wird durch keine äußeren Kräfte beeinflusst. Das ist auch die Besonderheit an harmonischen Schwingungen.

  • Tipps

    In gewisser Weise wird in einem Fall auch die Amplitude verändert, allerdings nicht ihr Betrag, sondern lediglich ihr Zeitpunkt.

    Lösung

    Kreisfrequenz und Phasenverschiebung dient dazu, eine Schwingung zu modulieren, sie also zu verändern. Das kann man eigentlich immer gebrauchen, wenn man mit Schwingungen arbeitet, oder?

    Die Kreisfrequenz $\omega$ staucht oder streckt die Periode. Ist $\omega =\dfrac{2\pi}{T}$, so nimmt der Sinus Werte von 0 bis 1 an. Zusammen mit der Anfangsauslenkung A, also der Amplitude, ist die Auslenkung y immer ein Bruchteil der Amplitude oder im Maximum die Amplitude.

    Mit der Phasenverschiebung kann man die Sinusfunktion auf der x- bzw. t-Achse verschieben. Da nicht jede Schwingung ihren Anfang im Nullpunkt hat.

  • Tipps

    Beim Ableiten ist zu beachten, dass du die innere und äußere Ableitung bilden musst und dass du nach $t$ ableitest.

    Lösung

    Eine Sinusschwingung gehört zu den häufigsten Schwingungstypen. Oft betrachtet man diese auch als harmonisch. Deshalb schauen wir uns an, wie man sie beschreibt.

    Da bei der harmonischen Schwingung nur Kraft und rücktreibende Kraft vorhanden sind und diese gleichgroß aber entgegengesetzt sind, kann man schreiben $m\ddot{y}+ky=0$.

    Nun ist es eine Sinusschwingung mit einer anfänglichen Auslenkung $A$. Also ist $y=A\sin{\omega t+\varphi}.

    $\begin{align*} \dot{y}&=A\cos{\omega t+\varphi}\omega\\ \ddot{y}&=A(-\sin{\omega t+\varphi})\omega^2 \end{align*}$

    Vergleicht man das mit $\ddot{y}=-\dfrac{k}{m}y$, so erkennt man $y$ wieder und sieht, dass $\omega^2=\dfrac{k}{m}$ sein muss.

  • Tipps

    Eine Periode ist eine Schwinung.

    Lösung

    Diese Begriffe brauchst du, um eine Schwingung beschreiben zu können. Daher solltest du also sicherstellen, dass du sie kennst.

    Bei einer harmonischen Schwingung pendelt die Auslenkung um die Gleichgewichtslage. Die jeweils größte Auslenkung heißt Amplitude.

    Die Periodendauer ist die Zeit, die eine ganze Schwingung benötigt.

  • Tipps

    Wenn du die Federkonstanten einzeln berechnet hast, versuche die Gleichung $F=-ky$ bzw. $F=k\Delta y$ erstmal nach $\Delta y$ umzustellen, bevor du sie nach $k$ umstellst.

    ($\Delta y$ ist die Auslenkung, also die Wegänderung der Masse)

    Wenn du nach $k$ umgestellt hast, kannst du ja bereits den Rest einsetzen. Denke daran, richtig zu kürzen!

    Lösung

    Bei einer einzelnen Feder gibt es ja oft nicht viel zu tun. Entweder kennst du die Federkonstante schon vom Kauf der Feder oder sie steht irgendwo auf der Feder.

    Manchmal jedoch nicht, und manchmal hängen mehrere Federn aneinander. Dann wird es kompliziert und du musst rechnen.

    Zuerst stellst du also die Gleichung $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ nach $k$ um. Das sieht dann wie folgt aus:

    $\begin{align*} k=\dfrac{4\pi²m}{T²}\dfrac{\textrm{kg}}{\textrm{s²}} \end{align*}$

    Setze nun für $k_1$ die Masse in kg und die Periodendauer $T_1$ ein.

    $\begin{align*} k_1=\dfrac{4\pi²1}{1,0²}\dfrac{\textrm{kg}}{\textrm{s²}}=39,5\dfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}} \end{align*}$

    Und analog zur zweiten Feder:

    $\begin{align*} k_2=17,5\dfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}} \end{align*}$

    Nun stellst du zuerst das Hooksche Gesetz nach $\Delta y$ um.

    $\begin{align*} \Delta y_{1/2}=\dfrac{F}{k_{1/2}} \end{align*}$

    Dann kannst du das Hooksche Gesetz nach k umstellen und für $\Delta y$ einsetzen.

    $\begin{align*} k_{ges}&=\dfrac{F}{\Delta y_1 +\Delta y_2}\\ &=\dfrac{F}{\dfrac{F}{k_1}+\dfrac{F}{k_2}}\\ &=\dfrac{1}{\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}}\\ \dfrac{1}{k_{ges}}&=\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}\\ k_{ges}&=\dfrac{k_1 k_2}{k_1 +k_2}\\ &=\dfrac{39,5\cdot 17,5}{39,5+17,5}\dfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}}\\ &=12\dfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}} \end{align*}$

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