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Differenzialgleichungen der mechanischen Wellen

Mechanische Wellen lassen sich durch die Schwingungsgleichung beschreiben, die ein Ergebnis einer Differenzialrechnung ist.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was sind mechanische Wellen?

Mechanische Schwingungen sind sich wiederholende, periodische Bewegungen eines Körpers oder Teilchen um seine Ruhelage. Überträgt der Körper bzw. das Teilchen dabei Energie an benachbarte Materie und setzt sich dieser Vorgang wie beim Domino-Effekt fort, so entsteht eine mechanische Welle.

mechanische Welle

Die Ausbreitung solcher Wellen geschieht dabei nach dem sogenannten Huygens’schen Prinzip und benötigt immer ein Medium, das aus gekoppelten Teilchen besteht, wie z. B. Flüssigkeiten oder Luft. Schallwellen, Wellen im Wasser oder auch Erdbeben sind mechanische Wellen.

Stell dir ein Stadion vor. Tausende Menschen bewegen sich auf ihren Plätzen. Das kann ziemlich chaotisch aussehen wie ein riesiger Ameisenhaufen! Doch plötzlich beginnt eine La-Ola-Welle. Dadurch, dass sich die einzelnen Menschen zeitversetzt erheben und wieder setzten, entsteht der Eindruck einer fließenden Welle. So ähnlich kannst du dir das auch mit mechanischen Wellen vorstellen.

Um Wellen zeitlich und örtlich berechnen zu können, wird ein mathematisches Modell benötigt. Doch wie lässt sich so eine Welle darstellen?

Gleichung der harmonischen Welle

Zunächst sieh dir eine Welle zu einer bestimmten Zeit t0t_0 an. Sie kann mit einer Sinusfunktion beschrieben werden und besitzt bestimmte Kenngrößen. Die Auslenkung nach oben und nach unten wird als Amplitude AA bezeichnet. Die Wellenlänge λ\lambda bestimmt, ob und wie die Sinuskurve in x-Richtung gestaucht oder gestreckt wird.

Eindimensionale statische Welle

Diese Streckung bb kannst du mit folgender Formel berechnen:

b=2πλ |b|=\frac{2\cdot \pi}{\lambda}

Mit diesen Informationen lässt sich die Sinusfunktion aufstellen:

f(x)=Asin(2πλx) f(x) = A\cdot \sin(\frac{2\cdot \pi}{\lambda}\cdot x)

Diese eindimensionale Welle soll sich nun mit einer konstanten Ausbreitungsgeschwindigkeit vv nach rechts bewegen (verschieben). Die horizontale Verschiebung c(t)c(t) der Sinuskurve hängt also von der Zeit ab. Mathematisch kannst du das zunächst so formulieren:

y=Asin(2πλ(xc(t))) y = A\cdot \sin(\frac{2\cdot \pi}{\lambda}\cdot (x-c(t)))

Nach einer Periodendauer TT ist die verschobene Welle wieder identisch mit der Ausgangswelle. Innerhalb dieser Zeit legt sie die Wellenlänge λ\lambda zurück. Es gilt daher:

v=λT v=\frac{\lambda}{T}

In einer beliebigen Zeit tt legt sie also die Strecke von c(t)=vt=λTtc(t)=v\cdot t=\frac{\lambda}{T}\cdot t zurück.

Jetzt kannst du die Gleichung der sich bewegenden Welle komplett aufschreiben. Sie hängt vom Ort xx und der Zeit tt ab:

f(x;t)=Asin(2πλ(xλTt)) f(x;t) = A\cdot \sin(\frac{2\cdot \pi}{\lambda}\cdot (x-\frac{\lambda}{T}\cdot t))

Was sind Differenzialgleichungen?

Bei einer normalen Gleichung wird oft eine oder mehrere Zahlen xx gesucht, die die Gleichung erfüllt. Bei Differenzialgleichungen werden nicht Zahlen, sondern Funktionen gesucht. Das kann zum Beispiel so aussehen:

f(x)=f(x) f(x) = f^\prime (x)

Gesucht sind also alle Funktionen, die mit ihrer ersten Ableitung übereinstimmen. Die ee-Funktion erfüllt diese Bedingung.

Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, so kann diese partiell, also in Teilen abgeleitet werden. Dafür sieh dir die Funktion f(x;t)=2x+tf(x;t)=2\cdot x + t an. Leitest du diese nach xx ab, dann stell dir vor, tt sei eine konkrete Zahl. Die partielle Ableitung nach xx wird als fxf_x bezeichnet:

fx=2 f_x = 2

Für die partielle Ableitung nach tt ist xx konstant:

ft=1 f_t = 1

Diese Funktion würde also z. B. folgender partiellen Differenzialgleichung genügen:

2ft=fx 2\cdot f_t = f_x

Tatsächlich erfüllen Wellenfunktionen eine bestimmte partielle Differenzialgleichung. Diese kannst du über die partiellen Ableitungen der vorher aufgestellten Wellenfunktion herleiten.

Die Wellengleichung

Die Wellenfunktion

f(x;t)=Asin(2πλ(xλTt) f(x;t) = A\cdot \sin(\frac{2\cdot \pi}{\lambda}\cdot (x-\frac{\lambda}{T}\cdot t)\\

kannst du mit der Wellenzahl k:=2πλk:=\frac{2\cdot\pi}{\lambda} und der Kreisfrequenz ω=2πT\omega = \frac{2\cdot\pi}{T} einfacher schreiben:

f(x;t)=Asin(kxωt) f(x;t) = A\cdot \sin(k\cdot x-\omega t)

Diese wird nun zweimal partiell nach xx und zweimal partiell nach tt abgeleitet:

fx=kAcos(kxωt)fxx=k2Asin(kxωt)ft=ωAcos(kxωt)ftt=ω2Asin(kxωt) f_x = k\cdot A\cdot cos(k\cdot x-\omega t)\\ f_{xx}=-k^{2}\cdot A \cdot sin(k\cdot x-\omega t)\\ \\ f_t = -\omega\cdot A\cdot cos(k\cdot x-\omega t)\\ f_{tt}=-\omega^{2}\cdot A \cdot sin(k\cdot x-\omega t)

Dabei kannst du erkennen, dass die zweiten partiellen Ableitungen fast mit der Ausgangsfunktion übereinstimmen:

fxx=k2f(x,t))ftt=ω2f(x,t) f_{xx}=-k^{2}\cdot f(x,t))\\ f_{tt}=-\omega^{2}\cdot f(x,t)

Stellst du die Gleichungen nach f(x,t)f(x,t) um und setzt sie anschließend gleich, erhältst du folgenden Ausdruck:

1k2fxx=1ω2ftt \frac{1}{k^{2}}\cdot f_{xx}=\frac{1}{\omega^{2}}\cdot f_{tt}

Alle Funktionen hh der Form

h(x,t)=f(x+vt)+g(xvt) h(x,t)= f(x+vt)+g(x-vt)

mit zweimal partiell differenzierbaren beliebigen Funktionen ff und gg genügen dieser partiellen Differentialgleichung. Sie können eine eindimensionale Welle mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit vv darstellen.

Beispiel: Wird für ff die Sinus- und für gg die Kosinusfunktion gewählt sowie v=6msv=6\frac{m}{s}, so ergibt sich folgende Funktion hh:

h(x,t)=sin(x6y)+cos(x+6y) h(x,t)= sin(x-6y)+cos(x+6y)

Ihr Graph sieht im zeitlichen und räumlichen Verlauf wie folgt aus:

Eindimensionale Welle im zeitlichen Verlauf

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Differenzialgleichungen der mechanischen Wellen (2 Arbeitsblätter)