Absolute Häufigkeit – Erklärung

Absolute Häufigkeit – Erklärung Übung

• Gib Definitionen für die absolute Häufigkeit an.

  Tipps

  Ein Merkmal ist das, wonach wir fragen. Also zum Beispiel: Alter, Farbe oder Form.

  Die Merkmalsausprägung sind die Werte für das Merkmal, die ein ausgewähltes Objekt (oder Individuum) haben kann. Zum Beispiel: 12 Jahre, grün, eckig.

  Ein Merkmalsträger ist ein Objekt (oder Individuum), das eine Merkmalsausprägung hat. Zum Beispiel: Mensch, Ball, Bauklotz

  Lösung

  Grundsätzlich können wir die absolute Häufigkeit bei einer statistischen Erhebung so definieren:

  Die absoluten Häufigkeiten sind die Anzahlen gleicher Ergebnisse.

  Um die Definition zu präzisieren, sollten dir die folgenden Begriffe helfen:

  • Ein Merkmal ist das, wonach wir fragen. Also zum Beispiel: Alter, Farbe oder Form.
  • Die Merkmalsausprägung sind die Werte für das Merkmal, die ein ausgewähltes Objekt (oder Individuum) haben kann. Zum Beispiel: 12 Jahre, grün, eckig.
  • Ein Merkmalsträger ist ein Objekt (oder Individuum), das eine Merkmalsausprägung hat. Zum Beispiel: Mensch, Ball, Bauklotz
  • Die Stichprobe ist die Menge der Dinge oder Individuen, die wir zufällig ausgewählt haben.

  Dann sind auch die beiden folgenden Definitionen äquivalent:

  • Die absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung innerhalb einer Stichprobe ist die Anzahl der Merkmalsträger mit dieser Merkmalsausprägung.

  • Die absoluten Häufigkeiten sind die Anzahlen der Merkmalsträger einer Stichprobe, die die gleichen Merkmalsausprägungen haben.

• Zeige auf, um welche Größen es sich bei dieser Stichprobe handelt.

  Tipps

  Absolute Häufigkeiten sind immer natürliche Zahlen.

  In die Klasse 5c gehen insgesamt $20$ Kinder (Merkmalsträger). Diese unterscheiden sich in ihrem Alter (Merkmal): genau $12$ (absolute Häufigkeit) Kinder sind $11$ Jahre alt (Merkmalsausprägung), während die restlichen $9$ (absolute Häufigkeit) Kinder jeweils $10$ Jahre alt sind (Merkmalsausprägung).

  Lösung

  Wir können die Bausteine nach zwei Unterschiedlichen Merkmalen fragen:

  • Welche Farbe hast du?
  • Welche Form hast du?

  Bei dem Merkmal Farbe finden wir die folgenden Merkmalsausprägungen:

  • grün
  • blau
  • rot
  • gelb

  Auch alle anderen Farben wären möglich, da es aber keinen Merkmalsträger mit dieser Ausprägung gibt, ist deren absolute Häufigkeit $0$.

  Bei dem Merkmal Form finden wir die folgenden Merkmalsausprägungen:

  • eckig
  • rund

  Mit Hilfe einer Tabelle erhalten wir die folgenden absoluten Häufigkeiten:

  $ \begin{array} \\ \textbf{Farbe} & & \qquad & \textbf{Form} & \\ \text{rot}: & 4 & \qquad & \text{rund}: & 6\\ \text{gelb}: & 4& \qquad & \text{eckig}: & 9 \\ \text{blau}: & 4 \\ \text{grün}: & 3 \\ \end{array} $

• Ermittle die absoluten Häufigkeiten.

  Tipps

  Schmeißt man alle Tüten zusammen, hat man eine Stichprobe mit $48$ Gummibärchen. Davon schmecken sechs nach Himbeere, das heißt die Merkmalsausprägung Himbeergeschmack hat hier eine absolute Häufigkeit von $6$.

  Lösung

  In jeder der Tüten befinden sich $16$ Gummibärchen. Um die absoluten Häufigkeiten der Geschmackssorten herauszufinden, stellst du am besten für jede Tüte jeweils eine Tabelle auf. Dazu zählst du die Anzahl der Gummibärchen mit der entsprechenden Farbe.

  Tüte 1

  $ \begin{array} \\ \text{rot}: & 2 \\ \text{gelb}: & 6 \\ \text{blau}: & 3 \\ \text{grün}: & 5 \\ \end{array} $

  Tüte 2

  $ \begin{array} \\ \text{rot}: & 4 \\ \text{gelb}: & 1 \\ \text{blau}: & 2 \\ \text{grün}: & 9 \\ \end{array} $

  Tüte 3

  $ \begin{array} \\ \text{rot}: & 0 \\ \text{gelb}: & 1 \\ \text{blau}: & 7 \\ \text{grün}: & 8 \\ \end{array} $

• Vergleiche die absoluten Häufigkeiten.

  Tipps

  Beachte, das wir hier nicht die Anzahl der Ecken zählen, sondern die Anzahl an Vierecken.

  Lösung

  Erstes Bild

  Hier sehen wir acht Dreiecke und kein Viereck. Die absolute Häufigkeit für die Merkmalsausprägung „viereckig“ beträgt also $0$.

  Zweites Bild

  Wir finden zwei Kreise, vier Dreiecke und zwei Vierecke. Die absolute Häufigkeit für „viereckig“ beträgt also $2$.

  Drittes Bild

  Es folgt das Bild mit einem Kreis, einem Dreieck und drei Vierecken. Die absolute Häufigkeit für „viereckig“ beträgt also $3$.

  Viertes Bild

  Bei zwei Kreisen, einem Dreieck und sechs Vierecken beträgt die absolute Häufigkeit für „viereckig“ $6$.

  Fünftes Bild

  Das Bild besteht nur aus Vierecken, insgesamt zählen wir hier acht. Die absolute Häufigkeit für „viereckig“ beträgt also $8$.

  Wir ordnen die absoluten Häufigkeiten der Größe nach:

  $0<2<3<6<8$

• Bestimme die gesuchten absoluten Häufigkeiten.

  Tipps

  Eine besondere absolute Häufigkeit ist die $0$. Sie liegt immer dann vor, wenn es zu einer Merkmalsausprägung keinen Merkmalsträger gibt.

  Die absoluten Häufigkeiten sind die Anzahlen der Merkmalsträger einer Stichprobe, die die gleichen Merkmalsausprägungen haben.

  Befindet sich in einer Stichprobe bunter Stifte genau ein roter Stift, beträgt die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung rot $1$.

  Lösung

  Wir fragen hier nach dem Merkmal Farbe und notieren uns die Anzahlen der Merkmalsträger (Bälle) mit den Merkmalsausprägungen rot, gelb, blau, grün und lila. Dazu empfiehlt es sich, eine Tabelle zu erstellen und eine Strichliste wie im Bild zu führen, indem du jeden Ball einzeln betrachtest und bei seiner Merkmalsausprägung einen Strich machst.

  Dann kannst du die absoluten Häufigkeiten direkt ablesen:

  $ \begin{array} \\ \text{rot}: & 4 \\ \text{gelb}: & 5 \\ \text{blau}: & 6 \\ \text{grün}: & 4 \\ \end{array} $

  Eine besondere absolute Häufigkeit ist die $0$. Sie liegt immer dann vor, wenn es zu einer Merkmalsausprägung keinen Merkmalsträger gibt.

  Daher ist für die Merkmalsausprägung lila die absolute Häufigkeit $0$.

• Leite anhand der absoluten Häufigkeit die relative Häufigkeit her.

  Tipps

  Berechnen wir zunächst die absoluten Häufigkeiten, dann kannst du folgenden Ausdruck benutzen:

  $\text{relative Häufigkeit}=\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Stichprobenumfang}}$

  Für den Stichprobenumfang addierst du die absoluten Häufigkeiten aller Merkmalsausprägungen für das Merkmal Geschmack. Anders gesagt kannst du auch schlicht zählen, wie viele Gummibärchen es hier insgesamt gibt.

  Kürze den erhaltenen Bruch.

  Lösung

  Wir betrachten hier eine Stichprobe an Gummibärchen. Wir haben aus einer großen Tüte eine bestimmte Menge gezogen, die Gummibärchen einzeln betrachtet und uns für jede Geschmackssorte aufgeschrieben, wie häufig sie auftaucht.

  Absolute Häufigkeiten:

  $ \begin{array}{lr} \\ \text{rot}: & 4 \\ \text{gelb}: & 1 \\ \text{blau}: & 2 \\ \text{grün}: & 9 \\ \text{Gesamt}: & 16 \\ \end{array} $

  Insgesamt befinden sich in unsere Stichprobe $16$ Gummibärchen. Diese Zahl bezeichnen wir als Stichprobenumfang.

  Zur Berechnung wird die Anzahl der Merkmalsträger einer Merkmalsausprägung (absolute Häufigkeit) durch die Gesamtzahl aller für die Stichprobe gewählten Gummibärchen (Stichprobenumfang) geteilt.

  Wir gelangen daher zu folgender Formel:

  $\text{relative Häufigkeit}=\dfrac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Stichprobenumfang}}$

  Wir erhalten:

  Relative Häufigkeiten

  $ \begin{array} \\ \text{rot}: & \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \\ \text{gelb}: & \frac{1}{16}\\ \text{blau}: & \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \\ \text{grün}: & \frac{9}{16} \\ \end{array} $