Zentrale und nicht zentraler elastischer Stoß

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute aus dem Gebiet der Mechanik mit dem elastischen Stoß. Für dieses Video solltet Ihr bereits den Film über den Impulserhaltungssatz gesehen haben. Wir lernen heute: Was ein elastischer Stoß ist, was der Unterschied zwischen einem zentralen und nicht zentralen Stoß ist und wie ich die Formel für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß herleiten kann plus eine kleine Beispielaufgabe. Bei einem elastischen Stoß wird keine kinetische Energie in innere Energie, also zum Beispiel durch Verformung, umgewandelt. Das heißt im Klartext, da man in der Schule immer den idealen elastischen Stoß behandelt, Ihr braucht Euch keinerlei Sorgen um Energieverlust zu machen und die Stoßpartner trennen sich nach dem Stoß wieder. Daran erkennt Ihr ihn. Gute Beispiele für Gegenstände, mit denen man elastische Stöße gut ausprobieren kann, wären Golfbälle, Gummibälle oder vor allem Billardkugeln. In der Animation seht Ihr eine Kugel, die mit einer zweiten Kugel einen elastischen Stoß ausführt. Es handelt sich dabei um einen zentralen Stoß. Das bedeutet, dass alle während des Stoßvorgangs beobachteten Geschwindigkeiten parallel zur Verbindungslinie der beiden Schwerpunkte unserer beteiligten Körper sind. Wie Ihr in der Animation gesehen habt, bedeutet das: Der Stoßvorgang findet nur in einer Dimension, also auf einer Linie, statt. Wie ich solch einen Stoßvorgang berechnen kann und wie viel komplizierter das wird, wenn es sich um einen nicht zentralen Stoß handelt, das sehen wir uns jetzt in einem nächsten Kapitel an. Wir benutzen den Impulserhaltungssatz und schreiben für den zentralen Stoß auf: m₁, also die Masse der ersten Kugel, mal v₁₁, also die Geschwindigkeit der ersten Kugel vor dem Stoß, plus Masse der zweiten Kugel mal v₂₁, also die Geschwindigkeit der zweiten Kugel vor dem Stoß, ist m₁ * v₁₂, Geschwindigkeit danach der ersten Kugel, plus m₂ * v₂₂, Geschwindigkeit danach der zweiten Kugel. m₁ * v₁₁ + m₂ * v₂₁ = m₁ * v₁₂ + m₂ * v₂₂. Um die Richtung der Geschwindigkeiten brauchen wir uns keine Sorgen machen, da das Ganze ja, wie wir gerade gehört haben, nur in einer Dimension stattfindet. Deutlich komplizierter wird das Ganze beim nicht zentralen Stoß: Solche Stoßvorgänge werden in der Schule meistens gar, und wenn doch, dann oft nur zeichnerisch behandelt. Ich will Euch mal anhand einer Animation zeigen, wie man das Ganze per Vektorzerlegung lösen kann. Wir betrachten eine Kugel, die mit dem Impuls p auf eine zweite Kugel zurollt. Wir frieren nun den Stoßvorgang während dem Zusammenprall ein, um zu sehen, was genau passiert. Wir erhalten die Geschwindigkeitsrichtung nach dem Stoß durch die Lage der Schwerpunkte während dem Zusammenprall. Die gestoßene Kugel wird sich in Richtung der Verbindungslinie der Schwerpunkte weiterbewegen, während die stoßende Kugel senkrecht dazu weiter fliegt. Die Geschwindigkeiten erhalten wir, indem wir den Vektor des Impulses in zwei Teilvektoren mit genau diesen beiden Richtungen aufteilen. Im letzten Kapitel wollen wir nun wieder für einen zentralen Stoß an Hand einer kleinen Beispielaufgabe die Formeln für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß herleiten. Wir wollen folgende Beispielaufgabe rechnen: Ein ruhender Golfball, Gewicht 45g, wird durch eine Stahlkugel, Gewicht 320g, gleichen Durchmessers zentral gestoßen. Welche Geschwindigkeiten haben beide nach dem Stoß, wenn die Anfangsgeschwindigkeit der Stahlkugel 3m/s war? Wenn Ihr jetzt versucht, den Impulserhaltungssatz einzusetzen, werdet Ihr sehen, Ihr habt zwei Unbekannte, aber nur eine Gleichung. Wir müssen uns also erst einmal eine Formel für die Geschwindigkeiten herleiten. Wir benutzen dazu zwei Lieblinge der Physiker. Nämlich erstens den Energieerhaltungssatz und zweitens den Impulserhaltungssatz. Wir fangen mal links an: Wir schreiben die Summe der kinetischen Energien vor dem Stoß muss gleich die Summe der kinetischen Energie nach dem Stoß sein, also ½m₁v₁₁² + ½m₂v₂₁² = ½m₁v₁₂² + ½m₂(v₂₂)². Der Impulserhaltungssatz besagt nun, dass der Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß gleich sein muss. Das heißt m₁v₁₁ + m₂v₂₁ = m₁v₁₂ + m₂v₂₂. Wir kürzen erst einmal ½ weg und bringen alle Terme mit m₁ auf die linke und alle mit m₂ auf die rechte Seite, so dass wir links m₁ und rechts m₂ ausklammern können. Dadurch erhalten wir links und rechts in der Klammer jeweils eine binomische Formel. Diese schreiben wir auf beiden Seiten aus, denn damit können wir gleich kürzen. Erst mal gehen wir weiter zum Impulserhaltungssatz. Auch hier bringen wir beide Terme mit m₁ auf die linke und beide mit m₂ auf die rechte Seite und klammern dann links und rechts die Massen aus. So, und jetzt seht Ihr, warum wir das Ganze gemacht haben. Jetzt teilen wir nämlich die linke Gleichung durch die rechte. Dadurch kürzt sich eine ganze Menge heraus. Links verschwindet m₁(v₁₁ - v₁₂) und rechts verschwindet m₂(v₂₂ - v₂₁). Damit bleibt nur noch übrig v₁₁ + v₁₂ = v₂₂ + v₂₁. Wir bringen schnell die Geschwindigkeiten vorher auf die linke Seite und die Geschwindigkeiten nachher auf die rechte Seite und sehen: Die Differenz der Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß ist gleich groß. Das macht auch Sinn. Stellt Euch vor, Ihr sitzt im Bezugssystem des Golfballes. Dann seht Ihr folgendes: Die Stahlkugel kommt mit 3m/s auf Euch zu gerollt, prallt von Euch ab und muss danach eigentlich auch wieder mit 3m/s von Euch wegrollen. Die Differenz vorher und nachher ist also gleich groß. Interessante Geschichte, das merken wir uns. Wir machen aber erst einmal weiter, indem wir nach v₂₂ umformen und das Ganze dann in den umgeformten Impulserhaltungssatz, den ich mit römisch eins gekennzeichnet habe, einsetzen. Wir erhalten m₁(v₁₁ - v₁₂) = m₂(v₁₁ + v₁₂ - 2v₂₁). Wie Ihr seht, haben wir in dieser Gleichung nur noch eine Unbekannte, nämlich v₁₂, die Geschwindigkeit der Stahlkugel nach dem Stoß. Danach lösen wir auf. Dazu multiplizieren wir im ersten Schritt erstmal aus und bringen dann beide Terme mit v₁₂ auf die linke Seite und alle anderen auf die rechte Seite. Wir können nun v₁₂ ausklammern und müssen nur noch durch m₁ + m₂ teilen, um unsere Formel fertig hergeleitet zu haben. Wir erhalten: v₁₂ = ((m₁v₁₁ + m₂(2v₂₁ - v₁₁)) / (m₁ + m₂). Diese Formel für v₁₂ kann ich oben in die mit römisch zwei gekennzeichnete Gleichung einsetzen. Wenn ich diese dann nach v₂₂ auflöse, erhalte ich die zweite Unbekannte. Es ergibt sich v₂₂ = (m₂v₂₁ + m₁(2v₁₁ - v₂₁)) / (m₁ + m₂). So, geschafft. Die Formeln sind hergeleitet. Jetzt machen wir einmal ein wenig sauber und rechnen zum Schluss noch unsere Beispielaufgabe. Gegeben war: Die Masse unserer Stahlkugel ist 320g, ihre Geschwindigkeit vor dem Stoß ist 3m/s. Die Masse des Golfballs m₂ ist 45g und seine Geschwindigkeit vor dem Stoß ist ruhend ist 0 m/s. Gesucht waren die Geschwindigkeiten nach dem Stoß. Wir setzen also einfach in die Formel ein und erhalten die Geschwindigkeit der Stahlkugel nach dem Stoß v₁₂ = (320g * 3m/s + 45g(0m/s - 3m/s)) / 365g. Die Gramm kürzen sich und ich erhalte 2,26m/s. Für die Geschwindigkeit des Golfballs nach dem Stoß ergibt sich v₂₂ = (45g * 0m/s + 320g(6m/s - 0m/s)) / 365g. Die Gramm kürzen sich wieder heraus und ich erhalte 5,26m/s. Erinnert Ihr Euch an vorhin? Die Differenz der beiden Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß soll gleich sein. Von 3m/s zu 0m/s 3 Unterschied, von 5,26 zu 2,26 ebenfalls 3 Unterschied. Das ist eine nützliche Regel zur Überprüfung elastischer Stöße. Unser Antwortsatz ist: Die Geschwindigkeit der Stahlkugel nach dem Stoß beträgt 2,26m/s, die des Golfballs 5,26m/s. Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Bei einem elastischen Stoß wird keine kinetische Energie in innere Energie umgewandelt. Ihr erkennt ihn daran, dass sich die Stoßpartner nach dem Stoß wieder trennen. Bei einem zentralen Stoß sind alle beobachteten Geschwindigkeiten parallel zur Verbindungslinie der Schwerpunkte. Ein nichtzentraler Stoß ist deutlich komplizierter, kann aber durch Vektorzerlegung gelöst werden. Während der Herleitung haben wir gesehen, die Relativgeschwindigkeit vor und nach dem Stoß ist gleich: v₁₁ - v₂₁ = v₂₂ - v₁₂. Die Formeln für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß waren: v₁₂ = ((m₁v₁₁ + m₂(2v₂₁ - v₁₁)) / (m₁ + m₂) und v₂₂ = (m₂v₂₁ + m₁(2v₁₁ - v₂₁)) / (m₁ + m₂). So, das wars schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle.