Waagerechter Wurf

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Gope

Waagerechter Wurf

lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Waagerechter Wurf

Inhalt

Waagerechter Wurf – Physik
Der waagerechte Wurf einfach erklärt
Bahngleichung des waagerechten Wurfs
Wurfweite des waagerechten Wurfs
Kurze Zusammenfassung zum Video Waagerechter Wurf

Waagerechter Wurf – Physik

Wenn du einen Ball senkrecht nach oben wirfst, dann fällt er irgendwann wieder senkrecht nach unten. Diese Bewegung ist ganz einfach zu verstehen. Doch was genau passiert, wenn du den Ball waagerecht nach vorne wirfst? Die Bewegung des sogenannten waagerechten Wurfs ist nicht mehr ganz so einfach nachzuvollziehen – denn sie setzt sich aus verschiedenen Bewegungen zusammen. Im Folgenden wollen wir uns ansehen, wie man den waagerechten Wurf beschreiben kann, welche Kräfte wirken und welche Formeln gelten.

Der waagerechte Wurf einfach erklärt

Waagerechter Wurf ist eine allgemeine Bezeichnung für einen bestimmten Bewegungsvorgang. Nicht nur dann, wenn du einen Ball waagerecht nach vorne wirfst, handelt es sich um einen waagerechten Wurf. Auch wenn etwas waagerecht nach vorne geschossen wird, zum Beispiel der Wasserstrahl aus einem Gartenschlauch, kann diese Bewegung mit dem waagerechten Wurf beschrieben werden. Wichtig ist bei diesen Bewegungsvorgängen, dass das Objekt waagerecht, also parallel zum Horizont, abgeworfen oder abgeschossen wird.

Ein weiteres Beispiel für den waagerechten Wurf siehst du in der unten stehenden Abbildung: Eine Kanone steht auf dem Dach einer Burg. Eine Kanonenkugel wird waagerecht nach vorne abgeschossen. Du siehst außerdem die typische Flugbahn eines waagerechten Wurfs: In Form einer Wurfparabel fällt die Kanonenkugel zum Erdboden.

Waagerechter Wurf Beispiel

Am besten können wir die Flugbahn verstehen, wenn wir die Bewegung in zwei Komponenten unterteilen, die senkrecht zueinander stehen: Eine waagerechte Bewegung in $x$-Richtung und eine senkrechte Bewegung in $y$-Richtung. Außerdem vernachlässigen wir für die folgenden Überlegungen den Luftwiderstand.
Wenn die Kanonenkugel in der Luft ist, wirkt entlang der $x$-Richtung keine Kraft. Die Kugel wird weder beschleunigt, noch abgebremst. Die Geschwindigkeit in $x$-Richtung ist also konstant.
Entlang der $y$-Richtung wirkt allerdings durch die Schwerebeschleunigung $g$ eine Kraft: Die Gewichtskraft. Dadurch wird die Kanonenkugel senkrecht nach unten beschleunigt.
Die Überlagerung der Bewegungen in $x$- und $y$-Richtung ergibt die typische Wurfparabel.

Nun weißt du, was der waagerechte Wurf ist. Als Nächstes wollen wir uns anschauen, wie wir die Bewegung des waagerechten Wurfs berechnen können.

Bahngleichung des waagerechten Wurfs

Wie bereits beschrieben, setzt sich die Flugbahn aus unterschiedlichen Bewegungen zusammen. Es gelten also verschiedene Bewegungsgesetze beim waagerechten Wurf. Die horizontale Bewegung kann mithilfe der Formeln für die gleichförmige Bewegung beschrieben werden. Für die $x$-Koordinate in Abhängigkeit der Zeit $t$ gilt somit:

$x(t)=v_x \cdot t$

Die Geschwindigkeit $v_x$ ist, wie oben beschrieben, konstant. Außerdem sehen wir an der Formel, dass die Bewegung bei $x=0$ startet. Es gibt für die $x$-Koordinate in unserem Beispiel also keinen Anfangswert.

Die vertikale Bewegung des waagerechten Wurfes hingegen kann man mit den Gleichungen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung beschreiben. Da die Kanonenkugel mit der Erdbeschleunigung $g$ nach unten beschleunigt wird, gilt für die Geschwindigkeit in $y$-Richtung:

$v_y=-g \cdot t$

Für die $y$-Koordinate in Abhängigkeit der Zeit gilt:

$y(t)=h-\frac{1}{2} g \cdot t^{2}$

Die Kugel startet in unserem Beispiel aus einer Höhe $h$. Durch das Minuszeichen in den Formeln für $y(t)$ und $v_y$ wird angezeigt, dass die Kugel nach unten beschleunigt wird.

Nun kann man die Gleichung für $x(t)$ nach der Zeit $t$ umstellen:

$t= \frac{x}{v_{x}}$

Wenn man diesen Term in die Gleichung für $y(t)$ einsetzt, erhält man die Bahngleichung $y(x)$ des waagerechten Wurfs:

$y(x)=h- \frac{1}{2} \frac{g}{v_{x}^{2}} \cdot x^{2}$

Mit dieser Gleichung kann man für jede beliebige $x$-Koordinate die zugehörige $y$-Koordinate berechnen.

Wurfweite des waagerechten Wurfs

In manchen Fällen möchte man herausfinden, wie weit ein Ball fliegt, bevor er auf dem Boden landet. Wie man die sogenannte Wurfweite berechnen kann, wollen wir am Beispiel der Kanonenkugel zeigen.

Uns interessiert eine Wurfweite, also die Strecke, die die Kugel in $x$-Richtung vor dem Aufprall zurückgelegt hat. Wir nennen diese Wurfweite $x_h$ und können sie über die oben genannte Formel berechnen:

$x_h=v_x \cdot t_h$

Dabei ist $t_h$ der Zeitpunkt, an dem die Kugel auf dem Boden gelandet ist. Um diesen Zeitpunkt zu berechnen, müssen wir uns noch die $y$-Koordinate ansehen. Wir wissen, dass die Kugel aus einer Höhe $h$ startet. Wenn das Koordinatensystem so gewählt ist, dass die Koordinate $y=0$ dem Erdboden entspricht, müssen wir die Gleichung $y(t)$ mit null gleichsetzen und nach $t$ auflösen, um den Zeitpunkt des Aufpralls $t_h$ zu bestimmen. Also gilt:

$y=0=h-\frac{1}{2} g \cdot t_{h}^{2}$

Und somit:

$h=\frac{1}{2} g \cdot t_{h}^{2}$

Durch weiteres Umformen erhalten wir:

$t_{h}=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}$

Diesen Zeitpunkt können wir nun in die Formel für $x_h$ einsetzen:

$x_h=v_x \cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}$

Mit dieser Formel können wir die Wurfweite berechnen.

Kurze Zusammenfassung zum Video Waagerechter Wurf

Was ist der waagerechte Wurf? Welche Kraft wirkt beim waagerechten Wurf? In diesem Video werden diese und weitere Fragen geklärt. Du weißt nun, wie man einen waagerechten Wurf mathematisch beschreiben kann. Auch zu diesem Thema gibt es interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt. Du kannst dein neu gewonnenes Wissen also sogleich testen.

Transkript Waagerechter Wurf

Dieses Video beschäftigt sich mit dem waagerechten Wurf. Welche Grundlagen benötigen wir? Welche Fragen muss man sich stellen? Und wie stellt man Formeln richtig um und setzt sie dann geschickt ineinander ein? Zunächst idealisieren wir den Vorgang und sehen von störenden... Was soll das Geschwafel, wir rechnen ohne Luftwiederstand. Fertig, Punkt. Beim waagerechten Wurf handelt es sich um eine Überlagerung von zwei Bewegungen. Er setzt sich zusammen aus der gleichförmigen Bewegung in x-Richtung und der gleichmäßig beschleunigten Bewegung in y-Richtung. Bei der gleichförmigen Bewegung wirkt keine Kraft und somit gibt es keine Richtungs- und Geschwindigkeitsänderung. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit die Strecke pro Zeit ist. Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung gibt es keine Kraftwirkung. In unserem Fall die Erdanziehungskraft. Da wir ohne Luftwiderstand rechnen, ist die Beschleunigung konstant. Für die Geschwindigkeit gilt, v=at. Also das Produkt aus Beschleunigung und Zeit. Für die Strecke gilt: s = s₀ + v₀t + (a/2)t². Sieht erstmal recht kompliziert aus, aber wie wir gleich sehen werden, lässt sich das in unserem Fall vereinfachen. Zunächst schauen wir uns so einen Wurf von der Seite an. Wir schießen eine Kanonenkugel waagerecht von einem wunderschönen Burgturm ab. Jetzt fragst du dich sicher, warum haben die eine Kanone genommen, obwohl es waagerechter Wurf heißt? Ganz einfach, versuch du mal eine Menschliche Bewegung zu animieren, das ist mal gar nicht so einfach. Na gut, machen wir weiter. Wie du hier siehst, wir die nach rechts abgeschossene Kugel auf eine Kreisbahn abgelenkt. Um uns das weiter zu veranschaulichen, übertragen wir unseren wunderschönen Burgturm in einen grafen und zeichnen die Geschwindigkeitsvektoren mit ein. In x-Richtung bewegt sich die Kugel mit einer konstanten Geschwindigkeit, bis sie bei s_x aufprallt. In y-Richtung ist die Geschwindigkeit abhängig von der Zeit. Einfach ausgedrückt, je länger die Kugel fällt, desto schneller wird sie. Verschieben wir mal den Grafen nach oben rechts und beginnen mit der Rechnung. Als erstes wollen wir berechnen, wie weit die Kugel fliegt. Also, wie war denn nun die Formel für die Geschwindigkeit in x-Richtung? Na? Na komm schon, das haben wir doch eben erklärt. Richtig, v = s/t. Und warum nehmen wir jetzt diese Formel? Da wir s_x berechnen wollen, und dies in der Formel vorkommt und v_x bekannt ist, stellen wir diese nach s_x um. Dazu multiplizieren wir mit t. Wie dir sicherlich schon aufgefallen ist, fehlt noch die Zeit, die die Kugel fällt. Um die Fallzeit zu berechnen, greifen wir auf die Streckenberechnung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zurück. Zur Erklärung der Formel. Wie am Anfang erwähnt, können wir diese Formel noch vereinfachen. Stell dir vor, dass zwei Autos ein Wettrennen machen. Das lila Auto fährt los, bevor die Ampel auf Grün umspringt. Das gelbe Auto bleibt in Ruhe. Wenn jetzt die Ampel auf Grün umspringt, hat das lila Auto schon eine bestimmte Strecke zurückgelegt. Diese Strecke nennen wir s₀. Bis zu diesem Zeitpunkt hat das Auto auf eine Geschwindigkeit von 5 m/s beschleunigt. Diese Geschwindigkeit wird Anfangsgeschwindigkeit v₀ genannt. Kommen wir zu unserer Kugel zurück. Die Kugel bleibt solange in der Kanone, bis sie abgefeuert wird. Das gelbe Auto bleibt so lange in Ruhe, bis die Ampel grün anzeigt. Da bei unserem Versuch die Kugel in y-Richtung zunächst in Ruhe ist, hat sie keine Anfangsgeschwindigkeit. Genau wie das gelbe Auto. Das heißt, v₀ = 0. Multiplizieren wir etwas mit null, ergibt das wieder null. Also können wir v₀∙t ebenfalls rausstreichen. Also bleibt s_y=(a/2)t² übrig. Jetzt nach t freistellen, indem wir durch a dividieren und mit zwei multiplizieren. Da wir ja t und nicht t Quadrat haben wollen, ziehen wir jetzt nur noch die Wurzel. Jetzt können wir unser t in die Gleichung t*v_x = s_x einsetzen und s_x berechnen. Um die Aufprallgeschwindigkeit zu berechnen, erinnern wir uns daran, dass die Geschwindigkeiten vektorielle Größen sind. Schauen wir uns das Parallelogramm mal genauer an. Vielleicht sind ja die rechtwinkligen Dreiecke schon aufgefallen. Da v_y und v_x bekannt sind, beziehungsweise berechnet werden können, errechnen wir mithilfe von Pythagoras die Hypotenuse. Aber warum? Die Hypotenuse ist die aus v_y und v_x resultierende Aufprallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit. Also rechnen wir v(t)²=v_x² + v_y². Und ziehen davon die Wurzel. Jetzt setzen wir für v_y a∙t ein und erhalten die Aufprallgeschwindigkeit, oder die Geschwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt vor dem Aufprall.

25 Kommentare

25 Kommentare

@Mandy W. vielen Dank für dein Feedback. Es freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte.

Von Gope, vor fast 6 Jahren
Hey, ich habe leider einen Lehrer, der keine Ahnung hat und alles nur durch das Internet weiss.....
Durch dich hab ich es endlich verstanden, zudem hast du auch noch voll die beruhigende Stimme. Macht echt Spass dir zuzuhören. Herzlichen Dank dafür :-)

Von Mandy S., vor fast 6 Jahren
ich bin neunte und das video bringt endlich licht ins dunkle bei mir ich verstehe meist nix in Physik aber das hier ist wirklich super gut erklärt

Von Manja M., vor mehr als 6 Jahren
@Andi Kraft, es freut mich zu lesen, dass es dir gefällt

Von Gope, vor mehr als 7 Jahren
Das Video ist total verständlich auch wen ich erst in der 7Klasse bin!:)

Von Andi Kraft, vor mehr als 7 Jahren

Mehr Kommentare

Waagerechter Wurf Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Waagerechter Wurf kannst du es wiederholen und üben.

Benenne die Bewegung beim waagerechten Wurf.

Tipps

Was passiert mit einem Ball oder einer Kugel beim waagerechten Wurf?

Lösung

Der waagerechte Wurf ist die Überlagerung einer gleichförmigen und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
Bei dem waagerechten Wurf ist die Bewegung in horizontale Richtung gleichförmig und in vertikaler Richtung gleichmäßig beschleunigt. Zum einfacheren Verständnis stelle dir den Kanonenabschuss aus dem Video in einem Diagramm dar. Die Bewegung in x-Richtung ist gleichförmig und die Bewegung in y-Richtung ist gleichmäßig beschleunigt.
Die Bewegung in x-Richtung ist gleichförmig, da in diese Bewegungsrichtung keine Kraft auf den Körper wirkt, die Richtung nicht geändert wird und sich auch die Geschwindigkeit nicht verändert.
Die Bewegung in y-Richtung ist eine gleichmäßig beschleunigte , da auf den geworfenen Körper eine Kraft (nach unten) wirkt, die Erdanziehungskraft, und die Beschleunigung konstant bleibt.
Da für den waagerechten Wurf beide Bewegungen relevant sind, müssen sie zusammen betrachtet werden.
Beschreibe die Bewegung beim waagerechten Wurf.

Tipps

Welche Bewegungsformen kennst du und passen sie?

Welche Formeln kann man verbinden?

Lösung

Der waagerechte Wurf ist die Überlagerung einer gleichförmigen und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
Bei dem waagerechten Wurf ist die Bewegung in horizontale Richtung gleichförmig und in vertikaler Richtung gleichmäßig beschleunigt. Zum einfacheren Verständnis stelle dir den Kanonenabschuss aus dem Video in einem Diagramm dar. Die Bewegung in x-Richtung ist gleichförmig und die Bewegung in y-Richtung ist gleichmäßig beschleunigt.
Für die Berechnung benötigt man zunächst eine Formel, die aus den Formeln der gleichförmigen und der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zusammen gesetzt wird. Für die Wurfweite $S_x$ benötigen wir die Formel der gleichförmigen Bewegung $ v= \frac{S_x}{t}$, umgestellt nach $S_x$ und die der gleichmäßig beschleunigten Bewegung $S_y= s_{0y} + v_{0y} \cdot t + \frac{a}{2} \cdot t^2$.
Bestimme die Formel der Wurfweite beim waagerechten Wurf.

Tipps

Benenne die Variablen um.

Lösung

Für die Herleitung der Gleichung benötigst du die Formeln der Geschwindigkeit $v_x$ der gleichförmigen Bewegung und die der Streckenberechnung $s_y$ der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
Die Herleitung ist dir im Video bereits gezeigt worden. Das Neue in dieser Aufgabe ist allerdings die Formelbezeichnung. In Aufgaben, die einen Realitätsbezug haben, benötigt du die Variablen der Fallhöhe und der Erdanziehung.
Mit der fertigen Formel $s_x = v_x \cdot \sqrt{ \frac{2}{g} \cdot h}$ kannst du nun viele Aufgaben berechnen.
Untersuche, bei welchen Bewegungen es sich um einen waagerechten Wurf handelt.

Tipps

Welche Bewegungen sind waagerecht und nicht noch nach oben?

Lösung

Waagerechte Würfe gibt es in der Natur nicht so häufig. Die meisten, die du kennst, sind schräge Würfe. Aber das ist ein weiteres Thema.
Wichtig ist beim waagerechten Wurf, dass der geworfene Körper seine Abwurfhöhe $h$ nicht übersteigt. Das ist der Fall, wenn zum Beispiel ein Ball oder eine Murmel von einem Tisch runterrollen. Auch ein Tennisaufschlag kann als waagerechter Wurf angesehen werden. Aber nur der Aufschlag! Viele weitere Bewegungen werden als waagerechter Wurf idealisiert, zum Beispiel der Absprung bei einer Skischanze oder auch bei einer Wasserrutsche.
Ein eindeutiger schräger Wurf, wo der Körper erst einige Zeit in die Höhe steigt und dann erst fällt, ist ein Speerwurf oder der Weitsprung.
Ich glaube, so kannst du den Unterschied ganz gut erkennen.
Berechne den waagerechten Wurf eines Tennisaufschlags.

Tipps

Überlege, welche Formeln du benutzen musst.

Denke über die richtigen Einheiten nach!

Lösung

Wir betrachten den Tennisaufschlag von Manuela als waagerechten Wurf.
Vorgegeben in der Aufgabenstellung sind dir die Werte der Abwurfhöhe $h=2,10 m$ und der Geschwindigkeit $v= 125 \frac{km}{h}$.
Für die Berechnung der Flugdauer $t$ benutzt du die vereinfachte Formel der gleichmäßig beschleunigten Bewegung der Höhe: $ h= \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$. Diese Formel stellst du nach der Zeit t um. Daraus folgt: $t= \sqrt{ \frac{2 \cdot h}{g}}$.
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt: $ t= \sqrt{ \frac{2 \cdot 2,10 m}{9,81 \frac{m}{s^2}}}= 0,65 s$.
Die Berechnung der Flugweite ist mit dem Ergebnis der Flugdauer sehr einfach. Du benutzt die Formel: $ s_x = v \cdot t$. Das einzige knifflige hierbei ist, dass du die Einheit der Geschwindigkeit noch anpassen musst. Das machst du wie folgt: $125 \frac{km}{h} : 3,6 = 34,7 \frac{m}{s}$.
Nun kannst du alles in die Formel einsetzen und ausrechnen: $s_x = 34,7 \frac{m}{s} \cdot 0,65 s =22,6 m$.
Prüfe die Ergebnisse der Berechnung zum waagerechten Wurf.

Tipps

Welche Formeln musst du benutzen?

Stimmen die Einheiten?

Lösung

Wir betrachten den Tennisaufschlag von Manuela als waagerechten Wurf.
Vorgegeben in der Aufgabenstellung sind dir die Werte der Abwurfhöhe $h=2,10 m$ und der Entfernung zur anderen Grundlinie $s= 23,77 m$.
Für die Berechnung der Flugdauer $t$ benutzt du die vereinfachte Formel der gleichmäßig beschleunigten Bewegung der Höhe: $ h= \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$.
Diese Formel stellst du nach der Zeit t um. Daraus folgt: $t= \sqrt{ \frac{2 \cdot h}{g}}$. Einsetzen der gegebenen Werte: $ t= \sqrt{ \frac{2 \cdot 2,10 m}{9,81 \frac{m}{s^2}}}$ $= 0,65 s$.
Die Berechnung der Geschwindigkeit ist mit dem Ergebnis der Flugdauer sehr einfach. Du benutzt die Formel: $ s_x = v \cdot t$. Du stellst sie zunächst nach $v$ um: $v= \frac{s}{t}$. Jetzt kannst du die Werte einsetzen: $v= \frac{23,77 m}{0,65 s}$ $=36,6 \frac{m}{s}$.
Abschließend kannst du noch die Einheit der Geschwindigkeit anpassen. Das machst du wie folgt: $36,6 \frac{m}{s} \cdot 3,6 = 131,8 \frac{km}{h}$.