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Strömungslehre – Dichte von Luft

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Die Autor/-innen
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André Otto
Strömungslehre – Dichte von Luft
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Strömungslehre – Dichte von Luft

Dichte von Luft – Physik

Ideales Gas

Im Folgenden wird Luft als ideales Gas betrachtet. Das ideale Gas ist eine vereinfachte Modellvorstellung, in der wir die Teilchen als feste Kugeln betrachten, die nur elastisch miteinander stoßen können. Das bedeutet, dass bei Stoßen die Kugeln nicht deformiert werden und auch keine Wärme erzeugt wird. Es wird also nur kinetische Energie zwischen den Teilchen übertragen. Anziehende Kräfte zwischen den Teilchen werden vernachlässigt. Diese Näherung ist in den meisten Fällen ausreichend. Deswegen können wir die Gleichung für ein ideales Gas auch hier benutzen:

$p \cdot V = m \cdot R_s \cdot T$

Die Formel beinhaltet die folgenden Größen:

  • $p$: Druck
  • $V$: Volumen
  • $m$: Masse
  • $R_s$: spezifische Gaskonstante
  • $T$: Temperatur

Die Dichte von Luft oder anderen Gasen folgt der Definition Masse pro Volumen und wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben Rho $(\rho)$ bezeichnet:

$\rho = \frac{m}{V}$

Wenn wir die ideale Gasgleichung nach $\frac{m}{V}$ umstellen und diesen Bruch durch $\rho$ ersetzen, erhalten wir für die Dichte:

$\rho = \frac{p}{R_s \cdot T}$

Wir können außerdem die spezifische Gaskonstante $R_s$ durch die universelle Gaskonstante $R$ und die molare Masse $M$ ausdrücken:

$R_s = \frac{R}{M}$

Diese Beziehung setzen wir in die Gleichung für die Dichte ein:

$\rho = \frac{p}{ \frac{R}{M} \cdot T } = \frac{p}{R \cdot T} \cdot M $

$R$ ist eine universelle Konstante, hat also immer den gleichen Wert. Wenn wir nun Bedingungen mit konstantem Druck und konstanter Temperatur betrachten, ist die Dichte eines Gases direkt proportional zu seiner molaren Masse, also $\rho \propto M$. Wir können so die Dichte von Luft mit der hergeleiteten Formel berechnen.

Dichte von Luft berechnen

Für den Druck und die Temperatur nehmen wir Standardbedingungen, auch Raumbedingungen genannt, an. Sie sind wie folgt definiert:

$T = 298~\text{K} \newline \newline p = 101325~\text{Pa}$

Außerdem benötigen wir den Wert für die universelle Gaskonstante:

$R = 8,314 \frac{ \text{J} }{ \text{mol} \cdot \text{K} } $

Wenn alle Werte in die Formel für die Dichte eingesetzt sind, erhalten wir die folgende Beziehung zur molaren Masse:

$\rho = 40,9 \frac{\text{Pa}}{ \frac{ \text{J} }{ \text{mol} \cdot \text{K} } \cdot \text{K} } \cdot M $

Luft besteht hauptsächlich aus Stickstoff- $(\text{N}_2)$ und Sauerstoffmolekülen $(\text{O}_2)$. Wir berechnen zunächst die Dichte von Sauerstoff. Dafür benötigen wir die molare Masse von Sauerstoffmolekülen:

$M_{O_2} = 32 \frac{\text{g}}{\text{mol}} $

Nach dem Einsetzen erhalten wir:

$\rho_{O_2} = 40,9 \cdot 32 \cdot \frac{\text{Pa}}{ \frac{ \text{J} }{ \text{mol} \cdot \text{K} } \cdot \text{K} } \cdot \frac{\text{g}}{\text{mol}} = 1309 \frac{\text{Pa} \cdot \text{g}}{\text{J} } $

Im letzten Schritt haben wir $\text{K}$ und $\text{mol}$ jeweils gekürzt. Die Einheiten müssen wir allerdings noch umrechnen. Dazu setzen wir die Definitionen für das Joule $(\text{J}=\frac{\text{kg} \cdot \text{m}^{2} }{\text{s}^2})$ und das Pascal $(\text{Pa}=\frac{\text{kg} }{ \text{m} \cdot \text{s}^2 })$ ein:

$\rho_{O_2} = 1309 \frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^{2}} \cdot \text{g} \cdot \frac{\text{s}^{2}}{\text{kg} \cdot \text{m}^{2}} = 1309 \frac{\text{g}}{\text{m}^3}$

Für die Dichte ist die Einheit Kilogramm pro Kubikmeter üblicher. Deswegen teilen wir durch $1000$ und erhalten das Zwischenergebnis:

$\rho_{O_2} = 1,309 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Dieselbe Rechnung folgt nun für Stickstoff. Die molare Masse beträgt:

$M_{N_2} = 28 \frac{\text{g}}{\text{mol}} $

Nach Einsetzen erhält man für die Dichte:

$\rho_{N_2} = 1,145~\frac{ \text{kg} }{ \text{m}^{3} }$

Um die Dichte von Luft zu berechnen, müssen wir die Werte für Sauerstoff und Stickstoff gewichtet nach ihrem Anteil addieren. Dabei vernachlässigen wir andere Gase und nehmen vereinfacht an, Luft bestünde zu 80% aus Stickstoff und zu 20% aus Sauerstoff:

$\rho_{Luft} = 0,8 \cdot \rho_{N_2} + 0,2 \cdot \rho_{O_2} = 1,178 ~\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

Dichte der Luft – Abhängigkeit von der Feuchtigkeit

Unsere Berechnung gilt genau genommen nur für vollständig trockene Luft, also Luft, in der keine Feuchtigkeit ist. Normalerweise ist die Luftfeuchtigkeit allerdings größer als Null. Wir können ihren Einfluss leicht qualitativ abschätzen, indem wir die molare Masse von Wasser betrachten und mit der von Luft vergleichen:

$M_{Luft} \approx 30~\frac{\text{g}}{\text{mol}} > 18~\frac{\text{g}}{\text{mol}} \approx M_{Wasser} $

Feuchte Luft hat also eine geringere Dichte als trockene Luft.

Dichte der Luft – Temperaturabhängigkeit

Wir hatten bisher angenommen, dass sowohl Temperatur als auch Druck konstant sind. In der Realität ist das aber natürlich selten der Fall. Insbesondere die Temperatur ändert sich beispielsweise im Verlauf eines Tages. Und die Dichte der Luft ist unter anderem auch von der Temperatur abhängig.
Wenn die Luft Raum hat, um sich bei Erwärmung auszudehnen, nimmt die Dichte mit steigender Temperatur ab. Heiße Luft ist also weniger dicht als kalte – deswegen steigt sie auch auf.

Dichte der Luft – Höhenabhängigkeit

Auch die Höhe hat einen Einfluss auf die Dichte der Luft: Sie nimmt mit der Höhe immer weiter ab. Deswegen haben Flugzeuge auch Druckkabinen. Und deswegen müssen Bergsteiger auf sehr hohen Bergen wie dem Mount Everest Sauerstoffflaschen benutzen – die Luft ist in diesen Höhen so dünn, dass man nur noch schwer genügend Sauerstoff einatmen kann. Allerdings ist die Dichteabnahme mit der steigenden Höhe kompliziert zu berechnen, weil auch die Temperatur sich in unterschiedlichen Höhen sehr stark unterscheidet.

Dieses Video

In diesem Video lernst du, was die Dichte der Luft ist und wie man die Luftdichte bestimmen kann. Neben dem Video findest du außerdem interaktive Übungen.

Transkript Strömungslehre – Dichte von Luft

Einen schönen guten Tag! Ich begrüße Sie ganz herzlich zur Strömungslehre, Teil 5. Wir befassen uns weiterhin mit den Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen. Im heutigen Video geht es um die Dichte von Luft. Wir haben im vorigen Video über die Dichtebestimmung gesprochen und haben dafür die Gasgleichung für ideale Gase modifiziert und eine Gleichung für die Dichte erhalten: P/Ri×T (Druck durch individuelle Gaskonstante mal Temperatur). Wir erinnern uns an die Definition der individuellen Gaskonstante Ri. Ri ist der Quotient aus der universellen Gaskonstante und der molaren Masse des Gases: Ri=R/M. Wir setzen nun diesen Wert für Ri in die Gleichung (1.7) ein. Wir erhalten ρ=P/(R/M)×T=M×P/R×T. Wir geben dem Term noch eine andere Form, nämlich =M×P/R×T. Schließlich vertauschen wir noch M mit dem Bruchterm und erhalten ρ=P/R×T×M. Die Dichte ist gleich Druck dividiert durch die universelle Gaskonstante und die absolute Temperatur multipliziert mit der molaren Masse. Die universelle Gaskonstante R ist eine Konstante. Wenn wir Druck (P) und Temperatur (T) festlegen, und sie konstant wählen, so erhalten wir eine Proportionalität zwischen der Dichte (ρ) und der molaren Masse (M). Wir wählen für den Druck 101325 Pascal und für die absolute Temperatur 298 Kelvin. Das sind die thermodynamischen Standardbedingungen, die auch als Raumbedingungen bezeichnet werden. Wir wollen nun diese Werte in die Gleichung unten links einsetzen: ρ=101325, das kommt vom Druck, dividiert durch 8,314, das kommt von der universellen Gaskonstante (R) mal 298, das kommt von der absoluten Temperatur (T). Bei physikalischen Berechnungen muss man dann die Einheiten nicht verrechnen, wenn man streng SI-Einheiten wählt. Das habe ich auch hier getan. Der Bruchterm wird multipliziert mit M, der molaren Masse des Gases. Hier ergibt sich ein Problem. Für die molare Masse verwendet man vorzugsweise die Einheit g/mol und nicht kg/mol. Wenn wir die Dichte in kg/m³ erhalten möchten, so müssen wir unseren Bruchterm mit 10^-3 multiplizieren. Nun können wir den Bruchterm, der den Proportionalitätsfaktor zwischen ρ und M darstellt, ausrechnen. Wir erhalten ρ=0,0409×M, das ist Gleichung (1.7a). Wichtig zu bemerken ist, dass ρ in kg/m³ errechnet wird, wobei M in g/mol angegeben wird. Wir wollen nun die Gleichung (1.7a) benutzen, um die Dichten für Sauerstoff und Stickstoff bei Raumbedingungen den vorgegebenen P und T zu ermitteln: ρO2=0,0409×32 g/mol. Wir erhalten für die Dichte 1,309 kg/m³. Für Stickstoff führen wir eine analoge Rechnung durch: ρN2=0,0409×28 g/mol. Das ergibt für die Dichte des Stickstoffs 1,145 kg/m³. Die Dichte der Luft bestimmen wir nun, indem wir die Anteile von Stickstoff und Sauerstoff berücksichtigen. Die Anteile der weiteren Komponenten, wie der Edelgase, bleiben unberücksichtigt. Vereinfacht nehme ich an, dass Stickstoff zu 80 % und Sauerstoff zu 20 % in der Luft vorliegen. Folglich erhalten wir unten rechts: ρL=0,8ρN2+0,2ρO2. Wir setzen ein und erhalten, unten links: ρL=0,8×1,145+0,2×1,309. Das ergibt eine Dichte für Luft von 1,178 kg/m³. Nun wollen wir den Einfluss der Luftfeuchtigkeit auf die Dichte der Luft betrachten. Zunächst wollen wir eine qualitative Abschätzung vornehmen. Die molare Masse der Luft beträgt etwa 30 g/mol. Die molare Masse von Wasser ist 18 g/mol. Die molare Masse der Luft ist klar größer als die molare Masse des Wassers. Da molare Masse und Dichte proportional zueinander sind, können wir schlussfolgern, dass eine erhöhte Luftfeuchte zu einer Verringerung der Dichte der Luft führen muss. Für die quantitativen Überlegungen wird in der Literatur keine Gleichung hergeleitet. Es wird sehr häufig eine Gleichung vorgegeben, deren Herkunft unbekannt ist. Aber dazu zum Ende des Videos noch ein paar Worte. Die Gleichung lautet: ρf=ρt×(1-0,377×φ×Pd/P). Das ist die Gleichung (1.9). ρf ist die Dichte der feuchten Luft. ρt ist die Dichte der trockenen Luft. φ ist die relative Luftfeuchte. Pd ist der Sättigungsdruck des Wassers. Und P ist der Druck der Luft. Drei wichtige Bemerkungen: 1. ρt wird nach Gleichung (1.7) berechnet. 2. Pd, der Sättigungsdruck des Wassers, muss einer Tafel entnommen werden. Und 3. Pd wird in diesen Tafeln in Abhängigkeit von der absoluten Temperatur (T) dargestellt. Zum Abschluss noch einige Worte bezüglich der Herkunft der Gleichungen. Ich habe einige Ideen, woher der Faktor 0,377 stammt und wie man die Gleichung interpretieren kann. Da ich aber bei meinen Überlegungen noch zu keinem schlüssigen Ende gekommen bin, lassen wir die Gleichung einfach mal so im Raume stehen. Sie wird in der Literatur häufig zitiert. Ich bedanke mich für die Aufmerksamkeit, alles Gute - auf Wiedersehen!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Nachem ich die Videoreihe zur Strömungslehre durch habe, kann ich mit Sicherheit behaupten, dass ich mehr von dem Thema verstanden habe als vorher und alle Videos didaktisch gut gelungen sind.

    Ich finde, die Videos sollten eine eigene Unterrubrik bei den Physik-Videos bekommen.
    Dann würden die anderen sie vielleicht auch leichter finden.

    Von Anonymxx88xx, vor mehr als 10 Jahren
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