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Senkrechter Wurf nach unten 07:11 min

Textversion des Videos

Transkript Senkrechter Wurf nach unten

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video beschäftigen uns mit dem senkrechten Wurf nach unten. Denn in manchen Fällen werden Körper nicht gerade nach oben, sondern genau senkrecht nach unten abgeworfen. Diese Bewegung kann man ebenfalls physikalisch sehr schön beschreiben. Um den senkrechten Wurf komplett beschreiben zu können, wirst Du zuerst lernen, was man unter Superposition versteht. Danach wirst Du sehen wie man die Formeln für Geschwindigkeit und Wurfhöhe für den Wurf nach unten findet. Abschließend vergleichen wir diese Formeln mit denen, für den Wurf nach oben. Und damit kann es auch schon losgehen. Um zu verstehen, wie ein senkrechter Wurf verläuft, ist es wichtig zu verstehen was man unter Superposition versteht. Superposition ist die Überlagerung zweier gleicher physikalischer Größen, die sich gegenseitig nicht beeinflussen. Beim senkrechten Wurf hat der Körper zum einen eine konstant Anfangsgeschwindigkeit V0. Die ausschließlich davon abhängt, wie schnell wir ihn abwerfen. Diese Anfangsgeschwindigkeit kann nach oben, oder unten zeigen. Je nachdem, wohin der Körper geworfen wird. Als zweites kommt noch die zeitabhängige Geschwindigkeit einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung hinzu. Der geworfene Körper wird nämlich durch die Erdfallbeschleunigung G immer gleichmäßig nach unten beschleunigt. Diese beiden Bewegungen überlagern sich nach dem Superpositionsprinzip ungestört. Beim Wurf nach unten überlagern sich die beiden Bewegungen in die gleiche Richtung, nämlich nach unten. Die Geschwindigkeit setzt sich dann aus Zwei Komponenten zusammen. Zum einen aus der konstanten Anfangsgeschwindigkeit -v0, mit der der Körper abgeworfen wurde. Wir definieren die Bewegung nach unten als negativ, daher das Minus. Zum anderen kommt noch die gleichmäßig beschleunigte Bewegung hinzu, die aus der Erdbeschleunigung resultiert. Die Geschwindigkeit ergibt sich hier als v(t) = - g * t. Auch diese Bewegung bekommt ein negatives Vorzeichen. Die Geschwindigkeit der zusammengesetzten Bewegungen ergibt sich somit zu v(t) = - v0 – g * t. Das ist das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz für eine nach oben orientierte Ortsachse. Genau wie die Geschwindigkeit, setzt sich auch der Weg aus einem Anteil der gleichförmigen Bewegung und einem Anteil der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zusammen. Für die gleichförmige Bewegung gilt, dass der zurückgelegte Weg: s(t) = -v0 * t ist. Für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung: s(t) = - ½ g* t2. In der Überlagerung ergibt sich dann: s(t) = -v0 * t - ½ * g * t2. Die Wurfhöhe h ist hier negativ. Und meint den Weg, den die Kugel nach Abwurf vom Werfer in Richtung Boden zurückgelegt hat. Bei der Abwurfhöhe h0 des Werfers, setzen wir den Nullpunkt. Oftmals ist es notwendig die Geschwindigkeit nicht von der Zeit, sondern abhängig von der Höhe anzugeben. Wir wollen ja oft wissen welche Geschwindigkeit ein Körper an einem bestimmten Ort hat. Dazu verwenden wir die beiden Formeln von gerade eben. Ziel ist es Formel Zwei nach t umzustellen. Und das Ergebnis dieser Rechnung in Formel Eins einzusetzen. Dazu subtrahieren wir zuerst die Höhe h auf beiden Seiten. Und sortieren alle Terme nach der Potenz der Zeiten. Wir haben t und t Quadrat in unserer Formel stehen. Es handelt sich also um eine quadratische Gleichung. Um diese in die Normalform zu bringen, multiplizieren wir noch mit: -2/g, um das t Quadrat (t2) ohne Vorfaktor zu haben. Mit der p-q-Formel können wir jetzt die Werte für t1/2 berechnen. Es gilt: t1/2 = - v0/g +- Wurzel v02/g2 - 2h/g. Um die beiden Terme in der Wurzel auf den gleichen Nenner zu bringen, erweitern wir den hinteren Term, 2h/g, mit g/g. Das entspricht einer Multiplikation mit 1 und ändert nichts an dem Ausdruck. Wodurch die Gleichung lautet: t ein halb, ist gleich: t½ = -v0/g +- 1/g * Wurzel V02 - 2hg. Diesen Ausdruck kann man dann in Formel Eins einsetzen und die g‘s kürzen. Man erhält: v(t)=-v0 + v0 -+ Wurzel v02 - 2hg. Die v0 vor der Klammer heben sich auf. Und es bleibt der Ausdruck: v = -+ Wurzel v02 -2hg. Wie du siehst ist v jetzt nicht mehr direkt von t abhängig. Deshalb schreiben wir v, statt v(t). Durch die quadratische Ergänzung gibt es hier zwei mathematisch mögliche Ergebnisse. Deshalb überprüfen wir mal, was für die Abwurfhöhe h0 am sinnvollsten ist. Für h=0 gilt: V = -+ Wurzel v02. Also = -+ v0. Da wir ja nach unten werfen, ist hier das negative Vorzeichen richtig. Die Formel für den Wurf nach unten lautet also: V= -Wurzel v02 - 2hg. Okay. Zum Abschluss wollen wir die beiden Wurfarten noch vergleichen. Beim allgemeinen senkrechten Wurf überlagert sich die Bewegung mit konstanter Anfangsgeschwindigkeit mit der, der gleichmäßig beschleunigten Fallbewegung. Beim Wurf nach unten zeigt die Anfangsgeschwindigkeit nach unten. Bei einer nach oben orientierten Y-Achse ist also das negative Vorzeichen zu berücksichtigen. Wenn wir den Wurf nach oben, mit dem selben Koordinatensystem darstellen wollen, ist dieses Vorzeichen positiv. Was man aber üblicherweise nicht mitschreibt. Gleiches gilt für die Wurfhöhe und die höhenabhängige Geschwindigkeit. Das war es zum Thema senkrechter Wurf. Ich hoffe Du hast was gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

Senkrechter Wurf nach unten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Senkrechter Wurf nach unten kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere den Begriff Superposition.

    Tipps

    Superposition kennst du vielleicht vom Kräfteparallelogramm.

    Lösung

    Superposition bedeutet Überlagerung und tritt auf, wenn beispielsweise verschiedene Kräfte auftreten und somit Bewegungen hervorrufen.

    Wichtig ist, dass sich die Kräfte oder Bewegungen gegenseitig nicht beeinflussen dürfen. Was das bedeutet, kannst du dir am besten an hügeligen Strecke vorstellen. Hier hängt die Höhe des Körpers von der Position auf der Strecke also der x-Richtung ab. Die Bewegung in x-Richtung beeinflusst also die Bewegung in h-Richtung.

    Du kannst Bewegungen nicht nur überlagern sondern eine Bewegung immer auch als Kombination zweier Bewegungen ansehen und sie in ihre zwei Bewegungen aufteilen.

  • Vergleiche die senkrechten Würfe nach oben und unten.

    Tipps

    Was ist der Unterschied zwischen dem Wurf nach oben und nach unten?

    Beachte insbesondere die Vorzeichen.

    Lösung

    Der einzige Unterschied zwischen dem senkrechten Wurf nach oben und dem senkrechten Wurf nach unten liegt in der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit. Während $v_0$ bei Wurf nach oben positiv ist, besitzt sie beim Wurf nach unten ein negatives Vorzeichen $-v_0$.

  • Gib die Formeln für den senkrechten Wurf nach unten an.

    Tipps

    Es wird nach den Formeln gesucht, die die jeweilige Größe korrekt angeben, auch wenn die Anfangsgeschwindigkeit nicht Null ist.

    Die Anfangshöhe muss nicht berücksichtigt werden, wenn das Koordinatensystem richtig gewählt wird.

    Lösung

    Es ist nach den Formeln gesucht, die die jeweilige Größe korrekt angeben, auch wenn die Anfangsgeschwindigkeit nicht Null ist.

    Genauso wie $v(t)=a\cdot t$ ist $h(t)=\frac 1 2 a \cdot t^2$ eine der ganz entscheidenden Grundgleichungen der Kinematik, der Lehre der Bewegungen. Betrachten wir Bewegungen, die von der Fallbeschleunigung $g\approx 9,81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ verursacht werden, wird die Beschleunigung $a=-g$ gesetzt. Somit sind die Grundgleichungen nicht falsch, jedoch berücksichtigen sie nicht die Anfangsgeschwindigkeit, die ein Körper beim senkrechten Wurf nach unten besitzt sondern sind die Gleichungen für den freien Fall.

    Diese Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ wird hingegen in den folgenden Formeln berücksichtigt. Das Vorzeichen vor $v_0$ ist bereits negativ, sodass für $v_0$ in eine negative Richtung das negative Vorzeichen nicht mehr eingesetzt werden muss.

    $v(t)=-v_0-g\cdot t$

    $v(h)=-\sqrt{v_0^2-2hg}$

    $h(t)=-v_0t - \frac 1 2 g \cdot t^2$

  • Berechne die Geschwindigkeit des Balles, wenn er auf den Boden aufkommt und gib an, wie lange ein Dribbling dauert.

    Tipps

    Überlege dir, wie du dein Koordinatensystem legst. Wo also die Höhe h=0 ist.

    Die Formel für die Zeit kannst du zum Beispiel aus dem Zeit-Weg-Gesetz mit Hilfe der p-q-Formel herleiten. Es gibt aber auch eine einfacherer Möglichkeit.

    Lösung

    In der Aufgabe sind sowohl die Anfangsgeschwindigkeit für den Wurf nach unten als auch die Fallhöhe gegeben. Wir legen unseren Ursprung des Koordinatensystems wieder in die Hand.

    Gegeben: $v_0=4\, \frac{\text{m}}{\text{s}},\qquad h=-1\,\text{m}$

    Gesucht: $v(-1\,\text{m}),~t_\text{dribbel}$

    Formeln:

    $t_\text{Dribbel}=t_\text{Fall}+t_\text{Steig}$

    $v(h)=-\sqrt{v_0^2-2 \cdot h \cdot g}$

    $v(t)=-v_0-g\cdot t$

    Rechnung:

    $\begin{align} v(h)&=-\sqrt{v_0^2-2\cdot h\cdot g} &&|\text{einsetzen}\\ v(-1\,\text{m})&=-\sqrt{(4\, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2-2\cdot (-1\,\text{m})\cdot 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\\ v(-1\,\text{m})&=-\sqrt{16, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}+20\, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}\\ v(-1\,\text{m})&=-6\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align} $

    Die Endgeschwindigkeit des Basketballs beim Aufkommen auf dem Boden beträgt $6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Beim Einsetzen in die nächste Formel müssen wir beachten, dass das Minuszeichen ebenfalls eingesetzt werden muss!

    $ \begin{align} v(t)&=-v_0-g\cdot t &&|+v_0\\ v(t)+v_0&=-g\cdot t &&|:-g\\ t&=-\frac{v(t)+v_0}{g} &&|\text{einsetzen}\\ t&=-\frac{-6\, \frac{\text{m}}{\text{s}}+4\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\ t&=-\frac{-2\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}=0,2\,\text{s} \\ \end{align} $

    Die Zeit, die der Ball benötigt, um nach dem Aufprall die Hand zu erreichen, ist erstaunlicherweise genauso groß wie die Fallzeit. Das kannst du nachrechnen, indem du das Zeit- Geschwindigkeit-Gesetz für den Wurf nach oben verwendest.

    $v(t)=v_0-g\cdot t$

    Du siehst: Beide Formeln unterscheiden sich nur in dem Vorzeichen vor der Anfangsgeschwindigkeit. Das soll es dir ermöglichen, stets positive Geschwindigkeiten für $v_0$ einzusetzen. Achtung: v(t) hingegen ist beim Wurf nach unten negativ und beim Wurf nach oben positiv. Am einfachsten ist es, wenn du dir nur die Formel für den Wurf nach oben merkst und die Anfangsgeschwindigkeit korrekt mit dem negativen Vorzeichen einsetzt, falls etwas nach unten geworfen wird.

  • Untersuche, was mit den Äpfeln passiert, wenn sich ein Apfel vom Baum löst und beim Herunterfallen leicht einen darunter hängenden Apfel streift, sodass dieser sich ebenfalls löst.

    Tipps

    Durch das Streifen des Apfels verliert der höher hängende Apfel keine Geschwindigkeit.

    Untersuche die Bewegungen ab dem Moment der Berührung.

    Lösung

    In dem Moment, in dem der höher hängende Apfel A den tiefer hängenden Apfel B streift, löst er diesen und wir können diesen Moment als Beginn zweier Bewegungen auffassen.

    Apfel A besitzt in diesem Moment eine Anfangsgeschwindigkeit $-v_0$. Apfel B hingegen besitzt die Anfangsgeschwindigkeit $v_0=0$. Somit besitzt der Apfel B eine um $v_0$ kleinere Geschwindigkeit, da beide mit der Fallbeschleunigung $g$ beschleunigt werden, solange sie beide fallen.

    Da Apfel A schneller ist, kommt er auch früher auf dem Boden an.

    Ab dem Moment der Berührung fallen beide Äpfel um die gleiche Strecke. Apfel A hing jedoch höher und musste daher eine größere Fallstrecke zurücklegen.

  • Berechne die Zeiten und Endgeschwindigkeiten der Gegenstände.

    Tipps

    Verwende den gerundeten Wert für die Fallbeschleunigung $g=10\, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

    Bestimme zuerst die Endgeschwindigkeiten.

    Berechne daraufhin die Zeit.

    Lösung

    In der Aufgabe sind sowohl die Anfangsgeschwindigkeit für den Wurf nach unten als auch die Fallhöhe gegeben. Wir legen unseren Ursprung des Koordinatensystems wieder in die Höhe des Abwurfes.

    Anhand einer Beispielrechnung für den Stein kannst du den Ablauf der Rechnung nachvollziehen.

    Gegeben: $v_0=3\, \frac{\text{m}}{\text{s}},\qquad h=-20\,\text{m}$

    Gesucht: $v(-20\,\text{m}),~t$

    Formeln:

    $v(h)=-\sqrt{v_0^2-2 \cdot h \cdot g}$

    $v(t)=-v_0-g\cdot t$

    Rechnung:

    $\begin{align} v(h)&=-\sqrt{v_0^2-2\cdot h\cdot g} &&|\text{einsetzen}\\ v(-15\,\text{m})&=-\sqrt{(3\, \frac{\text{m}}{\text{s}})^2-2\cdot (-20\,\text{m})\cdot 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\\ v(-15\,\text{m})&=-\sqrt{9, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}+400\, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}\\ v(-15\,\text{m})&\approx-20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align} $

    Die Endgeschwindigkeit des Steines beim Aufkommen auf dem Boden beträgt etwa $20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Beim Einsetzen in die nächste Formel müssen wir beachten, dass das Minuszeichen ebenfalls eingesetzt werden muss.

    $ \begin{align} v(t)&=-v_0-g\cdot t &&|+v_0\\ v(t)+v_0&=-g\cdot t &&|:-g\\ t&=-\frac{v(t)+v_0}{g} &&|\text{einsetzen}\\ t&=-\frac{-20\, \frac{\text{m}}{\text{s}}+3\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\ t&=-\frac{-17\, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}=1,7\,\text{s} \\ \end{align} $

    Genauso funktionieren die Rechnungen für den Basketball und den Wassertropfen. Beachte beim Apfel, dass der tiefer hängende Apfel zu Beginn seines Falles dieselbe Geschwindigkeit hat wie der andere Apfel nach 1 m freien Fall. Du kannst also genauso gut nur den oberen Apfel betrachten und die Zeit für den freien Fall bestimmen sowie seine Endgeschwindigkeit.

    Freier Fall und senkrechter Wurf nach unten unterscheiden sich nur in der Anfangsgeschwindigkeit. Der freie Fall ist somit ein Sonderfall des senkrechten Wurfes nach unten mit $v_0=0$.