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Sachaufgaben zum Schweredruck in Gasen 04:21 min

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Transkript Sachaufgaben zum Schweredruck in Gasen

Wenn ein mit Helium gefüllter Ballon erst einmal davon geflogen ist, steigt er immer höher und höher. Dabei passt sich der Innendruck des Heliums dem Außendruck an. Das heißt, das Gas im Inneren dehnt sich immer weiter aus. Das hält die Ballonhülle aber nur bis zu einem bestimmetn Punkt aus. Dann platzt der Ballon. Aber gehen wir nochmal ein paar Schritte zurück und sehen uns das genauer an. Wie hoch ist der Druck in den Höhen, in die der Heliumballon gelangt? Und bis zu welcher Höhe kann der Ballon steigen, bevor er platzt? Um das herauszufinden, benötigst du die barometrische Höhenformel. Der Druck p(h) = p0e-Rho0g(h/p0. Dabei ist p(h) der Druck auf der Höhe, in der sich der Ballon aktuell befindet, und p0 der Druck auf der Eichhöhe. Die Eichhöhe ist ein Referenzwert, meist auf Höhe des Meeresspiegels. Rho0 ist dementsprechend hierzu die Dichte der Atmosphäre auf der Eichhhöhe. Die Konstante g ist die Erdbeschleunigung und h die aktuelle Höhe des Ballons. Um den Druck p(h) zu bestimmen, der auf dieser Höhe herrscht, setzt du in die barometrische Höhenformel zuerst die Konstanten ein: Also für p0 1 Bar. Das ist der Druck auf Höhe des Meeresspiegels. Die Atmosphäre hat dort eine Dichte von Rho0=1,2kg/m3. Und g ist die Erdbeschleunigung, also 9,81m/s2. Da du wissen möchtest, welcher Druck in 20 Kilometern Höhe herrscht, setzt du für h 20 Kilometer ein. Um sinnvoll kürzen zu können, musst du zuerst einige Einheiten umrechnen. 20 Kilometer sind 20000 Meter. 1 bar sind 100000 Newton pro Quadratmeter. Und die Einheit Newton ist wiederum ein kgm/s2. Nun kannst du kürzen. Alle Einheiten im Exponenten kürzen sich weg und nur die Einheit bar bleibt übrig. Du erhältst einen Druck von 0,0095 bar. Dieser Außendruck ist sehr niedrig und der Ballon ist fast an seiner Belastungsgrenze. Doch er kann noch mehr aushalten. Erst bei einem Außendruck von 0,005 bar ist für den Ballon das Ende erreicht. Welcher Höhe entspricht dieser Druck? Um das zu bestimmen, musst du nur die barometrische Höhenformel nach der Höhe h umstellen. Du teilst zuerst durch den Referenzdruck p0 und bildest dann den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten. Anschließend dividierst du durch -Rho0 und durch g und multiplizierst nun die Gleichung mit p0. Das Minuszeichen kannst du in den Zähler verschieben. Schlussendlich erhältst du diese Formel: -p0/Rho0gln(p(h)/p0) = h. Du setzt in diese Formel wieder den Eichdruck p0 ein Bar, also 100000 (kgm)/(m2s2) ein, für die Dichte der Luft Rho0 1,2 kg/m3 und für g 9,81 m/sup>s2. Für p(h) sind setzt du 0,005 bar ein. Das sind 5000 (kgm)/(m2*s2), denn das ist der Druck, dessen Höhenangabe du berechnen willst. Wieder kürzen sich die Einheiten und du erhältst das Ergebnis 25448 Meter. Der Ballon wird also eine Höhe von 25,4 Kilometer erreichen, bevor er platzt, wenn nicht schon vorher Helium entweicht und der Ballon zurück zum Boden sinkt.

1 Kommentar
  1. bitte mehr solche Videos!!!

    Von Aminemav, vor etwa 2 Jahren

Sachaufgaben zum Schweredruck in Gasen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sachaufgaben zum Schweredruck in Gasen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie du die Zahlenwerte richtig in die Barometrische Höhenformel einsetzt.

    Tipps

    Die Zahlenwerte werden beim Einsetzen hier in die Grundeinheiten (Kilogramm, Meter, Sekunde) umgerechnet.

    Einem Bar entsprechen $100~000 \frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}$.

    Lösung

    Gegeben sind die folgenden Größen:

    • $p_0=1~bar=100~000\frac {N} {m^2}=100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}$ – Luftdruck auf Eichhöhe (Meeresspiegel)
    • $\rho_0=12,\frac {kg} {m^3}$ – Luftdichte auf Eichhöhe (Meeresspiegel)
    • $g=9,81\frac {m} {s^2}$ – Erdbeschleunigung
    • $h=20~km=20~000~m$ – aktuelle Ballonhöhe
    Gesucht ist:
    • $p(20~000~m)$ – der Luftdruck auf Ballonhöhe.
    Ansatz:
    Einsetzen der Werte in die Barometrische Höhenformel:

    $p(h)=p_0\cdot e^{-\rho_0\cdot g\cdot \frac {h} {p_0}}$

    $p(20~000~m)=100~000 \frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}\cdot e^{\large \left(-1,2\frac {kg} {m^3}\cdot 9,81 \frac {m} {s^2}\cdot \frac {20~000~m} {100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}}\right)}=950 \frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}=950~Pa= 0,0095~bar$

    Kürzen der Einheiten und Berechnung:

    $p(20~000~m)=100~000 \frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}\cdot e^{\large \left(-1,2\cdot 9,81\cdot \frac {20~000} {100~000}\right)}=950 \frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}=950~Pa= 0,0095~bar$

    So kannst du mit Hilfe der Barometrischen Höhenformel den Luftdruck in einer bestimmten Höhe wie hier der Ballonhöhe bestimmen:

    Antwortsatz:
    In einer Höhe von 20 Kilometern beträgt der Luftdruck nur noch rund 10 Millibar.

  • Gib den Eichluftdruck auf Meeresspiegelhöhe in anderen gebräuchlichen Schreibweisen an.

    Tipps

    Die Größenordnung muss stimmen, ebenso die Einheit.

    Bar meint Druck pro Fläche.

    Newton kann in Kilogramm mal Meter durch Quadratsekunde ersetzt werden.

    Lösung

    So sind die Umrechnungen korrekt:

    Es gilt:

    $1~bar=100~000\frac {N} {m^2}=100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}=100~000\frac {kg} {m\cdot s^2}$

    Um ein Bar in Grundeinheiten zu überführen, musst du den Zahlenwert mit $100~000$ multiplizieren. Ein Bar ist ein Druck, also Kraft pro Fläche. Diese Einheiten kannst du einsetzen:

    $1~bar=1\frac {N} {m^2}$

    Newton wiederum ist noch keine Grundeinheit, muss also in der Regel in Rechenaufgaben durch Kilogramm, Meter und Sekunde ersetzt werden:

    $1~N=1\frac {kg\cdot m} {s^2}$.

    Setzt du dies in die Formel ein, kannst du außerdem noch kürzen.

    Hinweis: Es gibt Aufgaben, in denen du die Einheit Bar nicht unbedingt auf diese Art umrechnen muss. Und zwar immer dann, wenn du sie direkt mit einem anderen Bar wegkürzen kannst oder die Einheit einfach stehen bleibt. Dies kannst du beispielsweise bei der Höhenformel so machen:

    $h=-\frac {p_0} {\rho_0\cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})$

    Die Einheiten der beiden Drücke im natürlichen Logarithmus kannst du direkt gegeneinander kürzen. Der erste Term ist auch ein Druck, dieser muss aber mit anderen Einheiten gekürzt werden und demnach in die Grundeinheiten umgerechnet werden.

  • Zeige, wie du mit der Barometrischen Höhenformel einem Luftdruck eine Höhe zuordnen kannst.

    Tipps

    Bringe zunächst alle Terme, die nicht zur Exponentialfunktion gehören, auf die linke Gleichungsseite.

    Eliminiere anschließend die Exponentialfunktion durch die Anwendung des geeigneten Logarithmus.

    Ziehe in den letzten beiden Schritten alle übrigen Terme von der rechten Gleichungsseite weg, die nicht die gesuchte Größe darstellen.

    Gesucht ist eine Formel, mit der die Höhe h bei Kenntnis des Luftdrucks bestimmt werden kann.

    Lösung

    1.$~$ Ausgegangen wird für die Herleitung von der Barometrischen Höhenformel:

    $p(h)=p_0\cdot e^{-\rho_0\cdot g\cdot \frac {h} {p_0}}$

    2.$~$ Dividieren durch $p_0$ ergibt:

    $\frac {p(h)} {p_0}=e^{-\rho_0\cdot g\cdot \frac {h} {p_0}}$

    3.$~$ Nun bildest du den natürlichen Logarithmus auf beiden Gleichungsseiten:

    $ln(\frac {p(h)} {p_0})=-\rho_0\cdot g\cdot \frac {h} {p_0}$

    4.$~$ Multiplizieren mit $p_0$ ergibt:

    $p_0 \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})=-\rho_0\cdot g\cdot h$

    5.$~$ Dividieren durch $-\rho_0$ und $g$ ergibt dann:

    $-\frac {p_0} {\rho_0\cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})=h~$beziehungsweise $~h=-\frac {p_0} {\rho_0\cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})$

    Mit Hilfe dieser Gleichung kann einem gegebenen Luftdruck eine Höhe (über dem Meeresspiegel) zugeordnet werden. Setzt du die Werte für den Luftballon ein, so zeigt sich, dass der Ballon wahrscheinlich in einer Höhe von gut 25 Kilometern platzen wird.

  • Leite dir ab, in welcher Höhe sich der Luftdruck im Vergleich zum Druck auf Meeresspiegelhöhe halbiert hat.

    Tipps

    Arbeite mit der hergeleiteten Formel $-\frac {p_0} {\rho_0\cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})=h$.

    Lösung

    Um die Höhe zu bestimmen, in welcher sich der Luftdruck halbiert hat, musst du mit der Formel arbeiten, die du aus der Barometrischen Höhenformel hergeleitet hast.

    Mit Einsetzen der Größen erhältst du dann:

    $\begin{align} h=&-\frac {p_0} {\rho_0\cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})\\ h=&-\frac {100~000\frac {kg\cdot m} {m^2} {s^2}} {1,2\frac {kg} {m^2}\cdot 9,81\frac {m} {s^2}} {1~bar}\cdot ln(\frac {0,5~bar} {1~bar})\\ h=&5~900~m \end{align}$

    In einer Höhe von knapp $5~900$ Metern hat sich der Luftdruck etwa halbiert.

    Wie an der Formel zu erkennen ist, nimmt der Luftdruck mit steigender Höhe logarithmisch ab (im natürlichen Logarithmus) und nicht etwa linear.

  • Ermittle die Druckverhältnisse, unter denen beim Menschen die Höhenkrankheit auftreten kann.

    Tipps

    Es gilt: $1~bar=100~000\frac {N} {m^2}=100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}$.

    Lösung

    Setzt du die gegebenen Größen in die Barometrische Höhenformel ein, so ergibt sich für die Höhe von $3~000~m$ ein Luftdruck, der etwa $70$ Prozent des Luftdrucks auf Meeresspiegelhöhe beträgt.

    Beträgt der Luftdruck nur noch $0,7~bar$ (oder weniger bei noch stärkeren Aufstiegen), so zeigt der menschliche Körper häufig leichte bis schwere Anzeichen der Höhenkrankheit. Ursache dafür ist zum einen die schlechtere Sauerstoffversorgung durch den geringen Luftdruck in den Alveolen (Lungenbläschen - siehe Abbildung). Dem kann der Körper nach einer ausreichenden Anpassungszeit mit einer höheren Anzahl Roter Blutkörperchen (Erythrozyten) in den Kapillaren (Blutgefäßen) entgegenwirken. Zum anderen kann es aufgrund der Druckverhältnisse zur Bildung von Wasseransammlungen in der Lunge und im Gehirn kommen, die unbehandelt nicht selten tödlich enden.

    Rechnung:

    $\begin{align} &p(h)=p_0\cdot e^{-\rho_0\cdot g\cdot \frac {h} {p_0}}\\ &p(3~000~m)=100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}\cdot e^{\large \left(-1,2\frac {kg} {m^3}\cdot 9,81\frac {m} {s^2}\cdot \frac {3~000~m} {100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}}\right)}\\ &p(3~000~m)=70~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}=700~mbar=0,70~bar \end{align}$

  • Ermittle die Höhe, ab welcher du ein Ei nicht mehr gar kochen kannst.

    Tipps

    Verwende die Formel $h=-\frac {p_0} {\rho_0 \cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})$ und setze die gegebenen Größen ein.

    Es gilt: $1~bar=100~000\frac {N} {m^2}=100~000\frac {kg} {m\cdot s^2}$.

    Lösung

    Gegeben:

    $p(h)=0,58~bar=58~000\frac {kg} {m\cdot s^2}$

    $g=9,81 \frac {m} {s^2}$

    $p_0=1~bar=100~000\frac {kg} {m\cdot s^2}$

    $\rho_0=1,2 \frac {kg} {m^3}$

    Gesucht:

    $h$

    Lösung: siehe Abbildung

    Ab einer Höhe von etwa viereinhalb Kilometern kannst du ein Ei leider nicht mehr hart kochen. Das Eiweiß benötigt zum Stocken eine Temperatur von rund $85°~C$. Da alle $300$ Meter die Siedetemperatur um ein Grad Kelvin sinkt, ist diese Grenze dort erreicht. Das Eigelb mit seiner Gartemperatur von gut $60°~C$ wird hingegen theoretisch sogar auf dem Mount Everest noch fest, wo das Kochwasser eine Temperatur von etwa $70°~C$ erreicht.

    Also hast du ab viereinhalb Tausend Höhenmetern die Wahl zwischen einem glibberig gekochten Ei oder einem durchgebratenen Spiegelei (nochmal Glück gehabt), aber natürlich nur, wenn du die Eier dort heil hinauf bekommst und nicht schon vorher von der Höhenkrankheit zur Umkehr gezwungen wurdest. Ich drück dir die Daumen.