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Sachaufgaben zum Schweredruck in Gasen

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Physik-Team
Sachaufgaben zum Schweredruck in Gasen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Sachaufgaben zum Schweredruck in Gasen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sachaufgaben zum Schweredruck in Gasen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du die Zahlenwerte richtig in die Barometrische Höhenformel einsetzt.

    Tipps

    Die Zahlenwerte werden beim Einsetzen hier in die Grundeinheiten (Kilogramm, Meter, Sekunde) umgerechnet.

    Einem Bar entsprechen $100~000 \frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}$.

    Lösung

    Gegeben sind die folgenden Größen:

    • $p_0=1~bar=100~000\frac {N} {m^2}=100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}$ – Luftdruck auf Eichhöhe (Meeresspiegel)
    • $\rho_0=12,\frac {kg} {m^3}$ – Luftdichte auf Eichhöhe (Meeresspiegel)
    • $g=9,81\frac {m} {s^2}$ – Erdbeschleunigung
    • $h=20~km=20~000~m$ – aktuelle Ballonhöhe
    Gesucht ist:
    • $p(20~000~m)$ – der Luftdruck auf Ballonhöhe.
    Ansatz:
    Einsetzen der Werte in die Barometrische Höhenformel:

    $p(h)=p_0\cdot e^{-\rho_0\cdot g\cdot \frac {h} {p_0}}$

    $p(20~000~m)=100~000 \frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}\cdot e^{\large \left(-1,2\frac {kg} {m^3}\cdot 9,81 \frac {m} {s^2}\cdot \frac {20~000~m} {100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}}\right)}=950 \frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}=950~Pa= 0,0095~bar$

    Kürzen der Einheiten und Berechnung:

    $p(20~000~m)=100~000 \frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}\cdot e^{\large \left(-1,2\cdot 9,81\cdot \frac {20~000} {100~000}\right)}=950 \frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}=950~Pa= 0,0095~bar$

    So kannst du mit Hilfe der Barometrischen Höhenformel den Luftdruck in einer bestimmten Höhe wie hier der Ballonhöhe bestimmen:

    Antwortsatz:
    In einer Höhe von 20 Kilometern beträgt der Luftdruck nur noch rund 10 Millibar.

  • Zeige, wie du mit der Barometrischen Höhenformel einem Luftdruck eine Höhe zuordnen kannst.

    Tipps

    Bringe zunächst alle Terme, die nicht zur Exponentialfunktion gehören, auf die linke Gleichungsseite.

    Eliminiere anschließend die Exponentialfunktion durch die Anwendung des geeigneten Logarithmus.

    Ziehe in den letzten beiden Schritten alle übrigen Terme von der rechten Gleichungsseite weg, die nicht die gesuchte Größe darstellen.

    Gesucht ist eine Formel, mit der die Höhe h bei Kenntnis des Luftdrucks bestimmt werden kann.

    Lösung

    1.$~$ Ausgegangen wird für die Herleitung von der Barometrischen Höhenformel:

    $p(h)=p_0\cdot e^{-\rho_0\cdot g\cdot \frac {h} {p_0}}$

    2.$~$ Dividieren durch $p_0$ ergibt:

    $\frac {p(h)} {p_0}=e^{-\rho_0\cdot g\cdot \frac {h} {p_0}}$

    3.$~$ Nun bildest du den natürlichen Logarithmus auf beiden Gleichungsseiten:

    $ln(\frac {p(h)} {p_0})=-\rho_0\cdot g\cdot \frac {h} {p_0}$

    4.$~$ Multiplizieren mit $p_0$ ergibt:

    $p_0 \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})=-\rho_0\cdot g\cdot h$

    5.$~$ Dividieren durch $-\rho_0$ und $g$ ergibt dann:

    $-\frac {p_0} {\rho_0\cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})=h~$beziehungsweise $~h=-\frac {p_0} {\rho_0\cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})$

    Mit Hilfe dieser Gleichung kann einem gegebenen Luftdruck eine Höhe (über dem Meeresspiegel) zugeordnet werden. Setzt du die Werte für den Luftballon ein, so zeigt sich, dass der Ballon wahrscheinlich in einer Höhe von gut 25 Kilometern platzen wird.

  • Ermittle die Druckverhältnisse, unter denen beim Menschen die Höhenkrankheit auftreten kann.

    Tipps

    Es gilt: $1~bar=100~000\frac {N} {m^2}=100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}$.

    Lösung

    Setzt du die gegebenen Größen in die Barometrische Höhenformel ein, so ergibt sich für die Höhe von $3~000~m$ ein Luftdruck, der etwa $70$ Prozent des Luftdrucks auf Meeresspiegelhöhe beträgt.

    Beträgt der Luftdruck nur noch $0,7~bar$ (oder weniger bei noch stärkeren Aufstiegen), so zeigt der menschliche Körper häufig leichte bis schwere Anzeichen der Höhenkrankheit. Ursache dafür ist zum einen die schlechtere Sauerstoffversorgung durch den geringen Luftdruck in den Alveolen (Lungenbläschen - siehe Abbildung). Dem kann der Körper nach einer ausreichenden Anpassungszeit mit einer höheren Anzahl Roter Blutkörperchen (Erythrozyten) in den Kapillaren (Blutgefäßen) entgegenwirken. Zum anderen kann es aufgrund der Druckverhältnisse zur Bildung von Wasseransammlungen in der Lunge und im Gehirn kommen, die unbehandelt nicht selten tödlich enden.

    Rechnung:

    $\begin{align} &p(h)=p_0\cdot e^{-\rho_0\cdot g\cdot \frac {h} {p_0}}\\ &p(3~000~m)=100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}\cdot e^{\large \left(-1,2\frac {kg} {m^3}\cdot 9,81\frac {m} {s^2}\cdot \frac {3~000~m} {100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}}\right)}\\ &p(3~000~m)=70~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}=700~mbar=0,70~bar \end{align}$

  • Ermittle die Höhe, ab welcher du ein Ei nicht mehr gar kochen kannst.

    Tipps

    Verwende die Formel $h=-\frac {p_0} {\rho_0 \cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})$ und setze die gegebenen Größen ein.

    Es gilt: $1~bar=100~000\frac {N} {m^2}=100~000\frac {kg} {m\cdot s^2}$.

    Lösung

    Gegeben:

    $p(h)=0,58~bar=58~000\frac {kg} {m\cdot s^2}$

    $g=9,81 \frac {m} {s^2}$

    $p_0=1~bar=100~000\frac {kg} {m\cdot s^2}$

    $\rho_0=1,2 \frac {kg} {m^3}$

    Gesucht:

    $h$

    Lösung: siehe Abbildung

    Ab einer Höhe von etwa viereinhalb Kilometern kannst du ein Ei leider nicht mehr hart kochen. Das Eiweiß benötigt zum Stocken eine Temperatur von rund $85°~C$. Da alle $300$ Meter die Siedetemperatur um ein Grad Kelvin sinkt, ist diese Grenze dort erreicht. Das Eigelb mit seiner Gartemperatur von gut $60°~C$ wird hingegen theoretisch sogar auf dem Mount Everest noch fest, wo das Kochwasser eine Temperatur von etwa $70°~C$ erreicht.

    Also hast du ab viereinhalb Tausend Höhenmetern die Wahl zwischen einem glibberig gekochten Ei oder einem durchgebratenen Spiegelei (nochmal Glück gehabt), aber natürlich nur, wenn du die Eier dort heil hinauf bekommst und nicht schon vorher von der Höhenkrankheit zur Umkehr gezwungen wurdest. Ich drück dir die Daumen.

  • Gib den Eichluftdruck auf Meeresspiegelhöhe in anderen gebräuchlichen Schreibweisen an.

    Tipps

    Die Größenordnung muss stimmen, ebenso die Einheit.

    Bar meint Druck pro Fläche.

    Newton kann in Kilogramm mal Meter durch Quadratsekunde ersetzt werden.

    Lösung

    So sind die Umrechnungen korrekt:

    Es gilt:

    $1~bar=100~000\frac {N} {m^2}=100~000\frac {kg\cdot m} {m^2\cdot s^2}=100~000\frac {kg} {m\cdot s^2}$

    Um ein Bar in Grundeinheiten zu überführen, musst du den Zahlenwert mit $100~000$ multiplizieren. Ein Bar ist ein Druck, also Kraft pro Fläche. Diese Einheiten kannst du einsetzen:

    $1~bar=1\frac {N} {m^2}$

    Newton wiederum ist noch keine Grundeinheit, muss also in der Regel in Rechenaufgaben durch Kilogramm, Meter und Sekunde ersetzt werden:

    $1~N=1\frac {kg\cdot m} {s^2}$.

    Setzt du dies in die Formel ein, kannst du außerdem noch kürzen.

    Hinweis: Es gibt Aufgaben, in denen du die Einheit Bar nicht unbedingt auf diese Art umrechnen muss. Und zwar immer dann, wenn du sie direkt mit einem anderen Bar wegkürzen kannst oder die Einheit einfach stehen bleibt. Dies kannst du beispielsweise bei der Höhenformel so machen:

    $h=-\frac {p_0} {\rho_0\cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})$

    Die Einheiten der beiden Drücke im natürlichen Logarithmus kannst du direkt gegeneinander kürzen. Der erste Term ist auch ein Druck, dieser muss aber mit anderen Einheiten gekürzt werden und demnach in die Grundeinheiten umgerechnet werden.

  • Leite dir ab, in welcher Höhe sich der Luftdruck im Vergleich zum Druck auf Meeresspiegelhöhe halbiert hat.

    Tipps

    Arbeite mit der hergeleiteten Formel $-\frac {p_0} {\rho_0\cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})=h$.

    Lösung

    Um die Höhe zu bestimmen, in welcher sich der Luftdruck halbiert hat, musst du mit der Formel arbeiten, die du aus der Barometrischen Höhenformel hergeleitet hast.

    Mit Einsetzen der Größen erhältst du dann:

    $\begin{align} h=&-\frac {p_0} {\rho_0\cdot g} \cdot ln(\frac {p(h)} {p_0})\\ h=&-\frac {100~000\frac {kg\cdot m} {m^2} {s^2}} {1,2\frac {kg} {m^2}\cdot 9,81\frac {m} {s^2}} {1~bar}\cdot ln(\frac {0,5~bar} {1~bar})\\ h=&5~900~m \end{align}$

    In einer Höhe von knapp $5~900$ Metern hat sich der Luftdruck etwa halbiert.

    Wie an der Formel zu erkennen ist, nimmt der Luftdruck mit steigender Höhe logarithmisch ab (im natürlichen Logarithmus) und nicht etwa linear.

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