30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Radialbeschleunigung und Zentripetalkraft bei der Kreisbewegung 07:31 min

Textversion des Videos

Transkript Radialbeschleunigung und Zentripetalkraft bei der Kreisbewegung

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir schauen uns heute aus dem Gebiet Mechanik den 2. Teil zu Kreisbewegungen an. Und in diesem Video wollen wir uns damit beschäftigen, wie eine Kreisbewegung eigentlich entsteht. Wir lernen heute: Wie eine Kreisbewegung entsteht, was die Radialbeschleunigung a und die Zentripetalkraft Fz sind, wie ich ihre Formeln herleiten kann und zum Schluss rechnen wir noch eine kleine Beispielaufgabe. Wenn sich ein Körper auf einer Kreisbahn bewegt, ändert er ständig seine Geschwindigkeit v. Falls ihr jetzt schreit, stimmt doch gar nicht, ein Körper, der sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt, ist doch immer gleich schnell. Richtig, ein Körper ist immer gleich schnell, aber selbst dann ändert sich ständig die Richtung der Geschwindigkeit. Wir wissen durch das Trägheitsprinzip, dass ein Körper normalerweise immer geradeaus mit gleicher Geschwindigkeit weiterfliegen würde, wenn keine Kraft auf ihn wirkt. Das heißt, ein Körper auf einer Kreisbahn muss also konstant einer Kraft ausgesetzt sein oder anders gesagt, er wird kontinuierlich durch eine Beschleunigung a auf seiner Bahn gehalten. Ihr könnt es selbst ausprobieren, indem ihr zum Beispiel einen Stein oder wie ich eine schwere Rolle Klebeband nehmt, sie an eine Schnur bindet und auf einer Kreisbahn schleudert. Ihr braucht eine bestimmte Kraft, um den Körper auf der Kreisbahn zu halten. Durch diese Kraft, man nennt sie die Zentripetalkraft, wird die Beschleunigung erzeugt, die den Körper auf seiner Bahn hält. Der Name dieser Beschleunigung ist Radialbeschleunigung. Ihr merkt schnell, je größer die Masse des Körpers ist, desto mehr Kraft muss man aufbringen, um die Radialbeschleunigung zu erzeugen. Das macht auch Sinn, wenn man sich an das 2. Newtonsche Axiom erinnert F = m x a. Außerdem merkt ihr, dass ihr umso mehr Kraft braucht, je schneller sich der Körper auf der Kreisbahn bewegt. Wie die Formeln nun genau aussehen, dass wollen wir im nächsten Kapitel versuchen herzuleiten. Wir suchen die Formeln für a, also die Radialbeschleunigung, die den Körper auf der Kreisbahn hält und für Fz, also die Kraft, die a erzeugt. Man nennt sie die Zentripetalkraft. Wir schauen uns das Ganze mal näher an und zeichnen einen Kreis. Ein Körper, der sich auf dieser Kreisbahn bewegt, legt in der Zeit t einen bestimmten Winkel Phi zurück, der von seiner Winkelgeschwindigkeit abhängt. Die Strecke s, die er dabei auf der Kreisbahn zurücklegt, ist Radius mal Phi. Wir können nun für beide Zeitpunkte die Bahngeschwindigkeit als Tangente einzeichnen. Ihr Betrag ist gleich hoch. Ich trage nun v(1) an denselben Ansatzpunkt wie v(2) an und sehe mir dieses Dreieck genauer an. Da beide im jeweils 90°-Winkel zum Radius standen, ist der Winkel zwischen den beiden ebenfalls Phi. Der Unterschied zwischen v(1) und v(2), ist der Unterschied der Geschwindigkeit zwischen dem Zeitpunkt t(1) und t(2). Ich nenne ihn Delta v. Mal sehen, welche Formel wir zusammenkriegen. Wir haben schon gesehen, s=r} Phi. Ich habe das Dreieck mit v(1) und v(2) so gezeichnet, das der Winkel Phi relativ groß ist. Stellen wir uns mal vor, er wäre eher klein, das heißt, das Dreieck würde so aussehen. Dann könnte ich Delta v wie ein Stück der Kreisbahn ausrechnen und schreiben delta v = v x phi. Diese beiden Formeln stelle ich nun nach phi um. Ich erhalte Phi = s/r und phi = delta v/v. Dies kann ich nun gleichsetzen. Ich erhalte s/r = Delta v/v. Und wenn ich es umstelle, steht da s x v = r x delta v. Ich teile beide Seiten der Gleichung durch delta t und erhalte s/delta t x v = r x delta v/delta t. s/delta t ist natürlich genau die Geschwindigkeit v und v/delta t, also die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit, ist eine Beschleunigung. Ich muss also nur noch nach a umstellen und erhalte die Radialbeschleunigung a ist v²÷r.  Daraus kann ich nun leicht die Zentripetalkraft ausrechnen. Ich benutze wieder das 2. Newton´sche Axiom und schreibe Fz = m } die Radialbeschleunigung. Daraus folgt, Fz = m v²÷r. So, jetzt wollen wir im letzten Kapitel noch schnell sehen, ob wir diese Formeln auch benutzen können. Wir wollen folgende Aufgabe rechnen. Welche Kraft und Radialbeschleunigung benötige ich, um in einer Steinschleuder (r = 1 m) einen Stein der Masse 0,2 kg auf einer Kreisbahn zu halten, wenn die Bahngeschwindigkeit 100 km/h betragen soll? Wieviel Kilo könnte ich mit der gleichen Kraft anheben? Gegeben ist, die Masse des Steins ist 0,2 kg, seine Geschwindigkeit soll 100 km/h betragen. Das sind 27,8 m/s. Die Radialbeschleunigung a ist v²/r, ist also (27,8 m/s)² / 1 m. Und das ergibt 773 m/s². Die Zentripetalkraft ist m v²/r oder die Masse x die Radialbeschleunigung. Sie ist also 773 x 0,2 kg m/s². Und das sind 155 Newton. In der letzten Aufgabe soll ich berechnen, wieviel Gewicht ich mit der gleichen Kraft anheben könnte. Das heißt, die Gewichtskraft soll gleich der Zentripetalkraft sein. Die Formel für die Gewichtskraft ist m x die Fallbeschleunigung g. Da Fz = Fg sein soll, kann ich schreiben, die Masse ist die Zentripetalkraft / g. Un das ergibt 15,8 kg. Und das ist kein allzu großes Gewicht. Ihr seht also, eine Geschwindigkeit von 100 km/h mit einer Steinschleuder zu erreichen, ist ganz und gar nicht unmöglich. Unser Antwortsatz lautet also: Die Radialbeschleunigung beträgt 773 m/s², die Zentripetalkraft 155 Newton. Das entspricht der Gewichtskraft eines 15,8 kg schweren Körpers. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Ein Körper wird durch die Radialbeschleunigung a auf der Kreisbahn gehalten. Sie wird duch die Zentripetalkraft Fz erzeugt. Die Formeln, die wir hergeleitet hatten, waren, die Radialbeschleunigung a = v²/r. Und mit F = m x a, können wir daraus die Zentripetalkraft berechnen. Ihr Formel ist Fz = m v²/r. So, dass war´s schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.  

7 Kommentare
  1. ich verstehe nicht wie man beim Gleichsetzen von Fg und Fz auf die Masse kommen soll wenn sie sich doch wegkürzt. Oder spricht man von 2 unabhängigen unterschiedlichen Massen?

    Von Tarikgrad, vor mehr als 4 Jahren
  2. Gutes Video, aber teilweise etwas zu schnell erklärt.

    Von Sjaiboy, vor etwa 5 Jahren
  3. Super Video

    Von Henrikbeister, vor fast 6 Jahren
  4. @Elijah: Ich glaube das stimmt alles so: 100km/h=27,78m/s. Der Umrechnungsfaktor von m/s in km/h ist 3,6 und 27,78*3,6=100.
    Lg

    Von Nikolai P., vor etwa 6 Jahren
  5. Nett erklärt, es liegt nur ein kleiner Fehler vor undzwar V=277,78 m/s (Es wurde bei der Umrechnung eine Null vergessen um von Km auf m zu kommen)

    lg

    Von Elijah Yacoub, vor etwa 6 Jahren
  1. @Saschataheri: Die Geschwindigkeit v ist NICHT gleich dem Radius r. Die beiden Größen können nicht gleich sein, da sie unterschiedliche Einheiten haben. Die Strecke s geteilt durch Delta t ist gleich der Geschwindigkeit v und nicht wieder die Strecke s. An welcher Stelle im Video findest du diese Aussagen? Ich habe keinen Fehler im Video gefunden.
    Beste Grüße, Nikolai

    Von Nikolai P., vor etwa 6 Jahren
  2. Hey, ich verstehe nicht warum v = r ist und warum die Strecke geteilt durch Delta t = s ist.

    Könntest du bitte auf diese zwei Punkte etwas genauer eingehen?
    Das würde mir echt weiterhelfen!
    Danke im Voraus!

    Von Saschataheri, vor etwa 6 Jahren
Mehr Kommentare

Radialbeschleunigung und Zentripetalkraft bei der Kreisbewegung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Radialbeschleunigung und Zentripetalkraft bei der Kreisbewegung kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne das Trägheitsprinzip.

    Tipps

    Das berühmte Gedankenexperiment von Galilei: Eine Kugel läuft von einer schiefen Ebene ab und eine andere schiefe hinauf.

    Wenn die zweite (Aufwärts-)Ebene nur leicht geneigt ist, läuft die Kugel sehr weit.

    Wie weit läuft die Kugel, wenn die zweite Ebene gar nicht geneigt ist?

    Lösung

    Galilei entwickelte das Trägheitsprinzip aus folgender Überlegung: Eine Kugel, die eine schiefe Ebene hinabrollt und dann eine zweite, entgegengesetzt geneigte Ebene hinauf muss bei Vernachlässigung der Reibung gerade die Höhe erreichen, aus der sie gestartet wurde. Legt man nun aber die zweite Ebene flach, würde die Kugel nach dieser Regel unendlich weit rollen, um die Ausgangshöhe wieder zu erreichen. Also wird die Kugel unbehindert von Einwirkungen immer weiter mit gleichbleibender Geschwindigkeit geradeaus laufen. Er folgerte, dass sich alle Körper gleichförmig bewegen, wenn sie nicht (von Kräften) beeinflusst werden.

  • Definiere die Kreisbewegung.

    Tipps

    Der „Kreis" als geometrische Figur gibt den Namen.

    Lösung

    Als Kreisbewegung wird die Bewegung auf einer Kreisbahn bezeichnet. Diese Bahn liegt darum in einer bestimmten Ebene und ist in allen Bahnorten gleich weit von einem bestimmten Punkt, dem Kreismittelpunkt, entfernt. Es gibt noch andere Bahnen, die überall einen konstanten Abstand von einem gegebenen Punkt haben, z. B. die beliebigen Bahnen auf einer Kugeloberfläche. Für die Kreisbewegung ist also wichtig, dass alle ihre Punkte in ein und derselben Ebene liegen, nicht nur, dass sie um einen Mittelpunkt angeordnet sind.

  • Gib an, was man zur Kreisbewegung aus dem Trägheitsprinzip ableiten kann.

    Tipps

    Wann verändert ein Körper die Bewegungsrichtung oder seine Geschwindigkeit?

    Der Vektor der Bahngeschwindigkeit bei Kreisbewegungen hat in jedem Punkt der Bahn gerade die Richtung der Tangente an dem Kreis in diesem Punkt.

    Lösung

    Nach dem Trägheitsprinzip bewegt sich jeder physikalische, d. h. massebehaftete Körper, der nicht dem Einfluss von Kräften unterliegt, gleichförmig, d. h. ohne Veränderung von Größe und Richtung seiner Geschwindigkeit. Da die Bewegung auf einer Kreisbahn eine nicht-gleichförmige Bewegung ist, muss die Wirkung einer Kraft vorliegen. Diese Kraft wird „Zentripetalkraft" genannt. Sie zwingt den trägen Körper auf eine kreisförmige Bahn und kann ebenso gut durch Zug aus dem Kreismittelpunkt wie durch Druck, z. B. durch Zwangsführung in einer Bahnschiene, vermittelt werden. (Übrigens kann die gleichförmige Bewegung natürlich auch eine ungestörte Rotation sein. Die Bewegung muss nicht „geradlinig" sein. Der Geschwindigkeitsvektor muss nur unverändert bleiben.)

  • Erläutere, wie man sich mit einer geometrischen Überlegung plausibel machen kann, dass die Kreisbewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit dennoch eine beschleunigte Bewegung ist.

    Tipps

    Zerlege in x- und y-Richtung und stell dir vor, eine Kugel bewege sich langsam und gleichmäßig auf der Kreislinie.

    Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Schatten dieser Kugel auf einer senkrechten Wand rechts vom Kreis? Und wie ein zweiter Schatten auf einer Wand unter dem Kreis?

    Lösung

    Wenn wir die Bewegung auf einer Kreisbahn in zwei Komponenten zerlegen, eine waagerechte und eine senkrechte, können wir erkennen, dass sich auch bei gleichförmiger Bahnbewegung die Geschwindigkeitsanteile je Komponente verändern. Das liegt an der Kreisform der Bahn: Beginnt die Bewegung z. B. im oberen Scheitelpunkt nach rechts, wird der waagerechte Geschwindigkeitsanteil immer kleiner, bis er am rechten Rand der Kreisbahn Null wird, um dann in anderer Richtung, also mit negativem Vorzeichen, zu wachsen. Ähnlich bei der senkrechten Komponente, die bis zum rechten Rand immer mehr anwächst, aber bis zum unteren Scheitel auf Null zurückgeht. Der Betrag der gesamten Geschwindigkeitsänderung wäre aus den Komponenten nach Pythagoras zu berechnen: $\frac{dv}{dt}=\sqrt{(\frac{dv_x}{dt})^2+(\frac{dv_y}{dt})^2}$.

    Da die Komponenten nie gleichzeitig $Null$ sind, ist auch die Summe ihrer Quadrate und die Wurzel daraus nie $Null$. Also ist der Gesamtbetrag der Geschwindigkeitsänderung nie $Null$ und wir müssen eine beschleunigte Bewegung annehmen. Zerlegt man nun mit diesem Wissen die resultierende Beschleunigung in eine Komponente in Richtung des Radiusvektors zum Massepunkt (sog. „Radialbeschleunigung") und eine andere rechtwinklig dazu in Richtung der Bahntangente (sog. „Bahnbeschleunigung"), dann erkennt man, dass die gesamte Beschleunigung als Radialbeschleunigung wirkt. Denn die Bahnbeschleunigung ist $Null$, wenn die Bahngeschwindigkeit wie hier konstant ist.

  • Finde einen Weg zur Berechnung der Zentripetalkraft.

    Tipps

    Für die Winkelgeschwindigkeit gilt $\omega=\frac{d\varphi}{dt}$ ($\varphi$ der Rotationswinkel).

    Für die Bahngeschwindigkeit gilt $v_B=\frac{ds_B}{dt}$ ($s_B$ die Länge des Weges auf der Kreisbahn).

    Es gibt eine Beziehung zwischen der Bahnlänge $s_B$ und dem Rotationswinkel $\varphi$.

    Lösung

    Die Zentripetalkraft wird nach dem zweiten Newtonschen Axiom berechnet: $F=m\cdot a$. Die Beschleunigung, die von der Zentripetalkraft bestimmt wird, ist die Radialbeschleunigung, die zum Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtet ist: $F_Z=m\cdot a_R$. Wenn wir die Abhängigkeit der Radialbeschleunigung von der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ kennen: $a_R=r\cdot\omega^2$, ist es zweckmäßig, nun Beziehungen zwischen Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit zu nutzen. Da wir wissen, dass für die Bahngeschwindigkeit $v_B=\frac{ds_B}{dt}$ und für die Winkelgeschwindigkeit $\omega=\frac{d\varphi}{dt}$ gilt, erinnern wir uns an eine Beziehung zwischen der Bahnlänge $s_B$ und dem Rotationswinkel $\varphi$: $s_B=r\cdot\varphi$. Damit können wir über $v_B=\frac{ds_B}{dt}=\frac{d(r\cdot\varphi)}{dt}=r\cdot\frac{d\varphi}{dt}$ auf $v_B=r\cdot\omega$ schließen. Stellen wir nun noch nach $\omega$ um ($\omega=\frac{v_B}{r}$), erhalten wir aus $F=m\cdot a_R=m\cdot r\cdot\omega^2$ schließlich $F=m\cdot\frac{v_B^2}{r}$.

  • Berechne die Mindestgeschwindigkeit, die eine Kugel im Scheitelpunkt einer Loopingbahn haben muß.

    Tipps

    Im Looping wirkt nicht nur - wie bei waagerechter Lage - die Zwangskraft der Bahn, sondern auch die Schwerkraft.

    Die Bilanz beider Kräfte muss die Zentripetalkraft ergeben.

    Die Zentripetalkraft ist mit dem Radius und der Bahngeschwindigkeit festgelegt.

    Lösung

    Wichtig ist, sich zuerst darüber klar zu werden, welche Kräfte wirken. Da die Kreisbewegung auf- und abwärts verläuft, muss die Schwerkraft in die Berechnung der Zentripetalkraft eingehen. Wenn man z. B. versucht, an einem Bindfaden einen Stein in einer senkrechten Kreisbahn herumzuwirbeln, wird man feststellen, dass sich der Zug am Faden in einem Umschwung mehrfach verändert: In der oberen Hälfte des Umlaufs zieht der Stein schwächer, in der unteren stärker. Das liegt daran, dass im unteren Teil die Zugkraft im Faden die Schwerkraftwirkung ausgleichen muss, um die von Radius und Geschwindigkeit vorgegebene Zentrifugalkraft einzustellen. Wie groß dieser Ausgleich sein muss, hängt vom Bahnort ab. Denn es muss immer nur ein radial gerichteter Anteil der Schwerkraft ausgeglichen werden: Im unteren Scheitelpunkt der gesamte, am rechten oder linken Rand gar keiner und in der oberen Hälfte wirkt die Schwerkraft anteilig sogar anstelle der Zugkraft des Fadens.

    Nehmen wir in unserem Beispiel an, dass die Kugel nicht an einem Faden herumgeschwungen, sondern von der Bahnschiene gehalten wird, ändert sich an der Kräftebilanz nichts. Nur haben wir statt einer Zugkraft im Faden eine Druckkraft von der steifen Bahnschiene. Zug- und Druckkräfte sind sogenannte Zwangskräfte. Der Fall, dass die Kugel gerade eben aus der Bahn fällt, ist nun der, dass die Zwangskraft der Schienenführung $Null$ ist, die Zentripetalkraft also allein vom richtungsabhängigen Anteil der Schwerkraft aufgebracht wird. Damit gewinnen wir unseren Ansatz: In dem Moment, in dem die Kugel im Scheitelpunkt eben aus der Bahn fällt, ist die Zentripetalkraft gerade gleich dem richtungsabhängigen Anteil der Schwerkraft im höchsten Punkt der Bahn, also der gesamten Schwerkraft: $F_Z=F_G\cdot sin~90°=F_G$. Alles weitere ergibt sich daraus. Mit $F_G=m\cdot g$ und $F_Z=m\cdot a_R=m\cdot\frac{v_B^2}{r}$ folgt $\frac{v_B^2}{r}=g$, also $v_B=\sqrt{g\cdot r}$. In unserem Fall erhielten wir also $v_B=4.95\frac{m}{s}$. Die Kugel muss im oberen Scheitelpunkt mindestens noch $4.95\frac{m}{s}$ oder $17.82\frac{km}{h}$ schnell sein, um im Looping nicht herunterzufallen.