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Polarkoordinaten bei der Keisbewegung 03:29 min

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Transkript Polarkoordinaten bei der Keisbewegung

Hallo und herzlich willkommen zum Video über die mathematischen Grundlagen der Kreisbewegung. Unser Thema lautet heute: Polarkoordinaten. Was zum Henker sind Polarkoordinaten? Nehmen wir uns erst mal ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem mit einer x- und einer y-Achse vor. Ein Punkt in dieser Ebene wird eindeutig durch 2 Zahlen beschrieben, eine für x und eine für y. So funktioniert das bereits bekannte kartesische Koordinatensystem. Das Polarkoordinatensystem funktioniert so: Man kann einen Punkt in dieser Ebene auch durch 2 andere Zahlen beschreiben, und zwar durch eine Länge und einen Winkel. Das sind die Polarkoordinaten. Die Länge nennt man meistens r und den Winkel meistens φ. Die Polarkoordinaten sind sehr, sehr praktisch, wenn wir eine Bewegung auf einer Kreisbahn beschreiben wollen, da sich eine der Koordinaten nicht ändert, nämlich der Radius. Wir brauchen also nur eine Gleichung für den Winkel. Würden wir eine Bewegung auf einer Kreisbahn in kartesischen Koordinaten beschreiben wollen, was natürlich auch geht, bräuchten wir 2 Gleichungen, für x eine und für y eine. Diese sind noch dazu wesentlich komplizierter, weil sie Wurzeln und so etwas enthalten. Aus diesem Grund sind die Polarkoordinaten toll. Sie erleichtern uns das Leben enorm, wenn es um Kreisbewegungen geht, und in der Physik geht es meistens um Kreisbewegungen. Von Planetenbahnen bis zum Atom lässt sich fast alles auf Kreisbewegungen reduzieren, aus diesem Grund unbedingt verinnerlichen. Schauen wir an, wie wir, wenn wir die Polarkoordinaten haben, wieder in unser vertrautes kartesisches Koordinatensystem zurückgelangen. Dazu müssen wir x und y irgendwie durch r und φ ausdrücken. Das ist gar nicht so schwer. Dieser Kreis hier erinnert nämlich sehr an den Kreis, an dem Sinus und Cosinus definiert worden ist. Man kann zum Beispiel hier ein Dreieck zeichnen. Die Hypotenuse ist ja r, der Radius und diese Strecke hier ist der x-Wert. Dann wissen wir: cos(φ)=Ankathete/Hypotenuse=x/r, also ist x=r×cos(φ). Genau das Gleiche können wir auch mit der y-Achse machen: sin(φ)=Gegenkathete/Hypotenuse und die Gegenkathete ist ja y, also, sin(φ)=y/r, also ist y=r×sin(φ). Und damit sind wir schon fertig. Kennen wir also eine Bewegung in Polarkoordinaten, wissen wir jetzt sofort auch die Bewegung in kartesischen Koordinaten. Das war's mit den mathematischen Grundlagen, ich hoffe, dir nützen sie was. Damit bedanke ich mich und bis zum nächsten Mal.  

2 Kommentare
  1. Bei der Aufgabenstellung ist ein Schreibfehler: Es heißt 0,5*pi oder pi/2 anstelle von 0,5/pi. Ansonsten gut.

    Von Charles Neuberger, vor mehr als 4 Jahren
  2. Hallo ,
    Könntest du bitte ein paar Frage von mir antworten?

    Von Marmar, vor fast 7 Jahren

Polarkoordinaten bei der Keisbewegung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Polarkoordinaten bei der Keisbewegung kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne Eigenschaften der Polarkoordinaten.

    Tipps

    Bei den Polarkoordinaten drücken wir x und y in einer Länge und einem Winkel aus.

    Lösung

    Bei Polarkoordinaten dreht sich alles um Kreise und Kreisbewegungen. Auch eine Schaukel, die sich überschlägt, dreht sich im Kreis, hat also einen festen Radius und einen Winkel, der sich mit der Zeit verändert.

    Mit den Koordinaten $r$ und $\varphi$ können wir x und y dann wie folgt ausdrücken:

    $x=r\cdot\cos(\varphi)$

    $y=r\cdot\sin(\varphi)$.

  • Gib an, was Polalkoordinaten sind.

    Tipps

    Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten geht über trigonometrische Überlegungen. Man wird also vermutlich nicht einfach einen Wert austauschen können.

    Lösung

    Kreise, Spiralen und Zylinder lassen sich viel leichter beschreiben, wenn man sie in Polarkoordinaten oder Zylinderkoordinaten ausdrückt. (Wobei Zylinderkoordinaten einfach nur eine Z-Komponente dazu bekommen).

    Es lohnt sich also sehr, sich diese Transformation zu merken, dann sind viele Vektoren im Nu aufgestellt.

    Aber erst einmal ganz allgemein: Polarkoordinaten beschreiben Kreisbewegungen. Dabei werden X- und Y-Koordinaten durch die Länge des Vektors vom Ursprung zum gesuchten Punkt des Kreises (also der Radius) und den Winkel, unter dem der Radius in eine Richtung geht, beschrieben.

    Der Winkel wird über Sinus und Kosinus beschrieben.

  • Berechne den Radius des Kreises.

    Tipps

    Ersetze zunächst x und y durch die Gleichungen für Polarkoordinaten.

    Lösung

    Solche Gleichungen kennst du vermutlich schon. Hier begegnest du allerdings auch Kosinus- und Sinustermen, die zu Schwierigkeiten führen können.

    Zunächst ersetzen wir x und y durch die Transformationsgleichungen:

    $r^2\cdot\cos^2(\varphi)+r^2\cdot\sin^2(\varphi)-9=0$.

    Der Trick ist es, Sinusquadrat und Kosinusquadrat einzuklammern:

    $r^2\cdot(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi))-9=0$.

    Damit der „Trick" funktioniert, muss man nun wissen, dass $(\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi))=1$ ist, und damit aus der Gleichung wegfällt. Damit haben wir:

    $r^2-9=0$ also $r^2=9$ und nach Ziehen der Wurzel $r=3$. Der Radius ist also 3.

  • Ordne alle Koordinaten und ihre Entsprechungen zu.

    Tipps

    Unter dem roten Vektor kannst du dir ein rechtwinkliges Dreieck vorstellen. Es sollte dir helfen, x und y zu finden.

    Lösung

    Wie sehen diese Polarkoordinaten nun aus und wie beschreiben wir sie wieder im kartesischen Koordinatensystem?

    Der rote lange Vektor ist der Radius $r$. Er ist unter dem Winkel $\varphi$ von der X-Achse verschoben.

    Schaut man sich das grüne Rechteck an, mit dem wir normalerweise einfach x und y ablesen würden, so sehen wir ein rechtwinkliges Dreieck unter $r$.

    Aus der Trigonometrie wissen wir dann, wie wir die beiden Katheten x,y durch die Hypotenuse $r$ und den Winkel $\varphi$ ausdrücken können:

    $x=r\cdot\cos(\varphi)$

    $y=r\cdot\sin(\varphi)$.

  • Berechne die Länge des Radius-Vektors.

    Tipps

    Die Länge des Vektors ist dessen Betrag.

    Lösung

    Wir haben in Polarkoordinaten nun einen Radius. Erstmal ist er ja nur ein Vektor zu einem Punkt. Wir benötigen aber die Länge des Vektors.

    Die Länge eines Vektors ist dessen Betrag. Dieser wird berechnet durch:

    $\vert r \vert =\sqrt{x^2+y^2}$.

    Also bei uns:

    $\vert r \vert =\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}=6,4$.

    Das Ergebnis ist also 6,4 (hier ohne Einheit).

  • Berechne den Punkt mithilfe der Polarkoordinaten.

    Tipps

    Wenn dir die Gleichungen nicht gleich einfallen, stell dir ein rechtwinkliges Dreieck unter dem Vektor vor und finde die trigonometrische Gleichung selbst heraus.

    Lösung

    Hier finden wir einen speziellen Punkt auf der Kreisbahn, nämlich Q.

    Die Polarkoordinaten $r=7,8$ und $\varphi=47,8^\circ$ sind uns gegeben.

    Also müssen wir nur noch unsere Transformationsgleichungen kennen:

    $x=r\cdot\cos(\varphi)=7,8\cdot\cos(47,8^\circ)=5,23=5,2$

    $x=r\cdot\sin(\varphi)=7,8\cdot\sin(47,8^\circ)=5,77=5,8$

    Der Punkt ist also Q(5,2/5,8).