Ohmsches Gesetz – elektrischer Widerstand

Ohmsches Gesetz – einfach erklärt

In diesem Text erklären wir das ohmsche Gesetz, das den Zusammenhang zwischen Stromstärke, Spannung und Widerstand für Bauteile in einem elektrischen Stromkreis beschreibt.

Die meisten Metalle sind bei konstanter Temperatur ohmsche Widerstände.

Georg Simon Ohm führte Anfang des 19. Jahrhunderts verschiedene Experimente durch. Er stellte dabei fest, dass unter bestimmten Bedingungen Spannung und Stromstärke direkt proportional zueinander sind. Das bedeutet, dass man eine Ursprungsgerade erhält, wenn man sie in einem Koordinatensystem gegeneinander aufträgt. Im folgenden Bild kannst du eine solche Ursprungsgerade sehen. Hier ist die Spannung $U$ auf der $y$-Achse aufgetragen und die Stromstärke $I$ auf der $x$-Achse. Ein solches $U$-$I$-Diagramm nennt man Kennlinie.

Ohmsches Gesetz – Diagramm

Wir betrachten nun den Schaltplan auf der rechten Seite der Abbildung. Dabei fällt auf, dass das Amperemeter in Reihe mit dem Widerstand $R$ geschaltet ist und das Voltmeter parallel zu ihm. Amperemeter haben einen sehr kleinen eigenen Widerstand, den sogenannten Innenwiderstand, sodass sie die Messung möglichst wenig beeinflussen. Voltmeter haben aus dem gleichen Grund einen sehr hohen Innenwiderstand. Dennoch kann man nicht beide Größen gleichzeitig genau messen.
Bei der gezeigten Variante misst das Voltmeter zwar die Spannung, die tatsächlich am Widerstand liegt, das Amperemeter aber eigentlich eine etwas zu hohe Stromstärke, da diese sich noch in eine Teilstromstärke durch das Voltmeter und eine durch den Widerstand aufteilt. Aufgrund des hohen Innenwiderstands des Voltmeters ist der Teilstrom durch das Voltmeter allerdings sehr gering, sodass die Abweichung recht gering ist. Man spricht bei dieser Schaltung vom spannungsrichtigen Messen.

Wenn wir jetzt noch einmal das $U$-$I$-Diagramm auf der linken Seite der Abbildung betrachten, sehen wir, dass der Graph (die Kennlinie) eine Ursprungsgerade ist. Je höher die Spannung $U$ ist, desto höher ist auch die Stromstärke $I$.

Widerstandskennlinie

Widerstandskennlinien oder auch nur Kennlinien sind allgemein die Graphen im $U$-$I$-Diagramm bei einer Messung, bei der die Spannung $U$ variiert und die Stromstärke $I$ gemessen wird. Ist die Kennlinie dabei eine Ursprungsgerade, handelt es sich beim untersuchten Bauteil um einen ohmschen Widerstand. Je steiler diese Gerade ist, desto größer ist der elektrische Widerstand $R$ dieses Bauteils. Bei einem ohmschen Widerstand ist also $R$ konstant und der Wert von $R$ entspricht der Steigung der Kennlinie.

Ohmsches Gesetz – Formel

Eine Ursprungsgerade kann man mathematisch durch eine Geradengleichung beschreiben, bei der der $y$-Achsenabschnitt den Wert null hat. Die Gleichung hat also die Form:

$y = m\cdot x$

In unserem $U$-$I$-Diagramm betrachten wir $U$ in Abhängigkeit von $I$. Die Steigung können wir durch das Verhältnis aus $U$ und $I$ ausdrücken. Wir geben ihr das Formelzeichen $R$ für resistance, was das englische Wort für Widerstand ist:

$m=\dfrac{U}{I}=R$

Es gilt also:

$R=\dfrac{U}{I}$

Wenn du magst, kannst du dir diesen Zusammenhang mit dem Wort Rudi merken:
$R$ ist gleich $U$ durch $I$.
Setzt du alle Größen in die Geradengleichung ein, erhältst du die sogenannte URI-Formel für das ohmsche Gesetz:

$U = R\cdot I$

Daran erkennst du auch direkt die Kernaussage des ohmschen Gesetzes:
Die Stromstärke ist proportional zur angelegten Spannung.
Wenn wir die Spannung erhöhen, wird auch die Stromstärke größer. Das genaue Verhältnis von Stromstärke und Spannung wird durch den elektrischen Widerstand $R$ bestimmt.
Je größer der Widerstand bei gleicher Spannung ist, desto geringer ist die Stromstärke. In unserem $U$-$I$-Diagramm äußert sich ein höherer Widerstand durch eine größere Steigung der Geraden.
Du kannst die Gleichung auch nach $I$ auflösen:

$I=\dfrac{U}{R}$

Zum ohmschen Gesetz wollen wir nun noch einen Merksatz formulieren.

Ohmsches Gesetz – Merksatz

Beide Merksätze bzw. beide Formeln sind gleichermaßen gültig, denn es handelt sich nur um verschiedene Umformungen der gleichen Formel.

Ohmsches Gesetz – Einheiten

Die Einheit des elektrischen Widerstands $R$ ist nach seinem Entdecker Ohm benannt und wird durch den griechischen Buchstaben $\Omega$ ausgedrückt. Ein Ohm ist ein Volt pro Ampere, also:

$[R] = 1~ \Omega =1~ \frac{\text{V}}{\text{A}}$

Die Bauteile, mit denen elektrische Stromkreise im Schulunterricht zusammengesetzt werden, haben typischerweise Widerstände im Bereich von $10-1\,000~\Omega$.

Ohmsches Gesetz – Dreieck

Wie bei jeder anderen Gleichung hast du auch bei Aufgaben zum ohmschen Gesetz nicht immer die gleichen Größen gegeben. Dann musst du die Formel entsprechend umstellen. Das Umstellen einer Formel wie dem ohmschen Gesetz solltest du unbedingt lernen. Diese Fähigkeit wirst du in der Physik immer wieder brauchen. Eine Hilfe dabei ist das ohmsche Dreieck oder magische Dreieck:

Im Formeldreieck werden die drei Größen der Formel $\left( U = R \cdot I \right)$ auf eine festgelegte Weise platziert. Die horizontale Trennlinie bedeutet, dass die Werte geteilt werden, die senkrechte, dass sie multipliziert werden. So werden immer zwei Größen miteinander kombiniert und ergeben so die dritte.
So ergibt sich auch die URI-Formel: $R$ und $I$ sind durch die senkrechte Linie getrennt. Sie werden also multipliziert und ergeben dann die übrig bleibende Größe, also $U$.
Am einfachsten kannst du mit dem Formeldreieck arbeiten, indem du die jeweils gesuchte Größe verdeckst.

Das Verdecken von $U$ zeigt: $U=R \cdot I$

Das Verdecken von $I$ zeigt: $I=\dfrac{U}{R}$

Das Verdecken von $R$ zeigt: $R=\dfrac{U}{I}$

So musst du dir nicht drei verschiedene Formeln merken, sondern nur die Anordnung der Größen im Formeldreieck.

Natürlich ist es auch möglich, sich nur eine Formel zu merken, z. B. $U=R \cdot I$, und die Umformungen dann rechnerisch herzuleiten. Das geht so:

$U = R \cdot I \quad \big\vert ~ : R$

$\dfrac{U}{R} = I$

$I = \dfrac{U}{R} \quad \big\vert ~ \cdot R$

$I \cdot R = U \quad \big\vert ~ : I$

$R = \dfrac{U}{I}$

Ohmsches Gesetz – Beispiele

Der Widerstand $R$ eines Bauteils (bzw. des Materials, aus dem das Bauteil besteht) ist in der Regel auch abhängig von der Temperatur. Obwohl viele verschiedene Materialien vereinfacht gesehen oft als ohmsche Widerstände angesehen werden, trifft dies streng genommen nur auf solche Bauteile zu, deren Widerstand $R$ sich nicht mit der Temperatur verändert.

Ein Beispiel ist Konstantan. Das Material Konstantan ist eine Legierung aus Kupfer, Nickel und Mangan. Der Name verrät es dir vielleicht schon: Der elektrische Widerstand von Konstantan bleibt für große Spannungs- und Temperaturbereiche konstant. Deswegen nennt man ein Bauteil aus Konstantan auch zu Recht ohmschen Widerstand. Der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung heißt dann ohmsches Gesetz.

Wenn sich die Temperatur nicht verändert, kann das ohmsche Gesetz allerdings auch auf viele andere Materialien angewendet werden und liefert, zumindest näherungsweise, korrekte Ergebnisse.

Ohmsches Gesetz – Beispielrechnung mit Messreihe

Zur Veranschaulichung betrachten wir drei verschiedene Messreihen:

Diese drei Messreihen wollen wir nun durch Berechnungen vervollständigen.

Messung 1

Gegeben: $U=10~\text{V}$ ; $I=0{,}4~\text{A}$

Gesucht: $R=\,?$

Formel: $R=\dfrac{U}{I}$

Rechnung: $R=\dfrac{U}{I}=\dfrac{10~\text{V}}{0{,}4~\text{A}}=25~\Omega$

Der gesuchte Widerstand beträgt $R=25~\Omega$.

Messung 2

Gegeben: $U=40~\text{V}$ ; $R=2~\text{k}\Omega$

Gesucht: $I=\,?$

Formel: $I=\dfrac{U}{R}$

Rechnung: $I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{40~\text{V}}{2~\text{k}\Omega}=\dfrac{40~\text{V}}{2\,000~\Omega}=0{,}02~\text{A}=20~\text{mA}$

Die gesuchte Stromstärke beträgt $I=20~\text{mA}$.

Messung 3

Gegeben: $I=2~\text{mA}$ ; $R=500~\Omega$

Gesucht: $U=\,?$

Formel: $U=R \cdot I$

Rechnung: $U=R \cdot I=500~\Omega \cdot 2~\text{mA} = 500~\Omega \cdot 0{,}002~\text{A}=1~\text{V}$

Die gesuchte Spannung beträgt $U=1~\text{V}$.

Ohmsches Gesetz – Aufgaben

Im Folgenden kannst du einmal selbst zwei Aufgaben zum ohmschen Gesetz üben.

Beobachtungen an einer Glühlampe

Die Glühdrähte von klassischen Glühlampen sind in der Regel aus Wolfram und keine ohmschen Widerstände. Das Verhältnis von Stromstärke und angelegter Spannung ist hier nicht konstant. Also hängt auch der Widerstand davon ab, wie groß die angelegte Spannung ist. Sehen wir uns das $U$-$I$-Diagramm und das Schaltbild einer solchen Glühlampe mit dem Widerstand $R$ an.

Im $U$-$I$-Diagramm sieht man, dass $U$ und $I$ nicht mehr direkt proportional zueinander liegen. Es handelt sich bei der gezeigten Kurve um eine Kennlinie, deren Steigung mit wachsender Stromstärke bzw. Spannung zunimmt. Wie wir aus unseren Überlegungen zur Steilheit der Ursprungsgeraden leicht schlussfolgern können, gilt:

Die Steigung einer Kennlinie im $U$-$I$-Diagramm entspricht dem elektrischen Widerstand.

Der elektrische Widerstand $R$ des Drahts der Glühlampe nimmt mit zunehmender Spannung $U$ zu. Dies liegt daran, dass der Draht durch den fließenden Strom erwärmt wird.

Zusammenhang zwischen Temperatur und Widerstand

Um zu verstehen, warum der Widerstand von der Temperatur abhängt, schauen wir uns einmal eine Abbildung zur elektrischen Leitung an.

Hier sehen wir die freien Elektronen als Ladungsträger $\left( \text{gelb} \right)$ und die Atome eines Kupferdrahts $\left( \ce{Cu}, \text{blau} \right)$. Letztere sind nicht frei beweglich, sondern an ihre Plätze in der Gitterstruktur des Metalls gebunden. Sie können aber an diesen Plätzen hin- und herschwingen. Diese Schwingungen stören die frei beweglichen Elektronen und sorgen so für den elektrischen Widerstand. Denn die Elektronen können mit den schwingenden Gitteratomen wechselwirken und Energie an sie abgeben. Dadurch nimmt die thermische Energie der Atome zu und das Metall erwärmt sich. Wenn das Metall wärmer wird, fangen die Gitteratome an, immer stärker zu schwingen. Dadurch stören sie nun wiederum die freien Elektronen immer stärker – der Widerstand wird größer.

Im Glühdraht einer Glühlampe ist das sogar gewollt: Der Wolframdraht wird immer heißer, bis er beginnt, zu glühen. Der glühende Draht spendet uns dann Licht. Daher kommt auch der Name Glühlampe oder Glühbirne.
Der gleiche Effekt kann andererseits dazu führen, dass die Isolierung eines Stromkabels in Brand gerät, was als Kabelbrand bezeichnet wird und zu großen und gefährlichen Bränden führen kann.

Ohmsches Gesetz – Reihen- und Parallelschaltung

Mithilfe des ohmschen Gesetzes und der Gesetze für Stromstärke und Spannung bei einer Reihenschaltung und einer Parallelschaltung können wir auch die entsprechenden Gesetze für ohmsche Widerstände (also Bauteile, für die das ohmsche Gesetz gilt) aufstellen.

Reihenschaltung – Herleitung

Leiten wir zunächst die Formel für den Gesamtwiderstand zweier in Reihe geschalteter ohmscher Widerstände $R_1$ und $R_2$ her.

Bei der Reihenschaltung fließt durch alle Bauteile der gleiche Strom $I_0$. Die Gesamtspannung $U_0$ teilt sich an den Widerständen $R_1$ und $R_2$ auf. Es gelten folgende Zusammenhänge:

$U_0=U_1+U_2$

$I_0=I_1=I_2$

Wir interessieren uns nun für den Zusammenhang zwischen dem Gesamtwiderstand $R_0$ und den Einzelwiderständen $R_1$ und $R_2$. Nach dem ohmschen Gesetz gilt:

$R_0=\dfrac{U_0}{I_0}=\dfrac{U_1+U_2}{I_0}=\dfrac{U_1}{I_0}+\dfrac{U_2}{I_0}$

Da die Stromstärke überall gleich ist, können wir zur besseren Übersicht das erste $I_0$ durch $I_1$ ersetzen und das zweite durch $I_2$. Dann ergibt sich:

$R_0=\dfrac{U_1}{I_1}+\dfrac{U_2}{I_2}=R_1+R_2$

Für $n$ verschiedene Widerstände gilt also:

$R_0=R_1+R_2+\ldots+R_{n}$

Bei $n$ gleichen Widerständen der Größe $R$ gilt:

$R_0=n \cdot R$

Parallelschaltung – Herleitung

Betrachten wir nun zwei Widerstände $R_1$ und $R_2$, die parallel geschaltet sind.

Bei der Parallelschaltung sind die Spannungen, die an den Bauteilen anliegen, gleich groß. Dafür teilen sich die Stromstärken auf. Es gilt:

$U_0=U_1=U_2$

$I_0=I_1+I_2$

Ähnlich wie zuvor können wir wieder einsetzen:

$R_0=\dfrac{U_0}{I_0}=\dfrac{U_0}{I_1+I_2}$

Nun können wir hier die Summe nicht so einfach aufteilen, da sie im Nenner steht und nicht im Zähler. Damit das trotzdem klappt, bilden wir zuerst von beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert:

$\dfrac{1}{R_0}=\dfrac{I_1+I_2}{U_0}=\dfrac{I_1}{U_0}+\dfrac{I_2}{U_0}$

Jetzt ersetzen wir aufgrund der Gleichheit aller Spannungen in der Parallelschaltung das erste $U_0$ durch $U_1$ und das zweite $U_0$ durch $U_2$.

$\dfrac{1}{R_0}=\dfrac{I_1}{U_1}+\dfrac{I_2}{U_2}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$

Der Gesamtwiderstand ist damit stets kleiner als der kleinste Einzelwiderstand!
Für $n$ verschiedene Widerstände gilt also:

$\dfrac{1}{R_0}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\ldots+\dfrac{1}{R_{n}}$

Bei $n$ gleichen Widerständen der Größe $R$ gilt:

$R_0=\dfrac{R}{n}$

Für zwei Widerstände lässt sich der Gesamtwiderstand auch mit der Produkt-durch-Summe-Formel berechnen:

$R_0=\dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}$

Diese Formel stellt eine Umformung der eben formulierten Gleichung mit den Kehrwerten dar.

Aufgabe zur Reihenschaltung

Zwei Widerstände $R_1$ und $R_2$ sind in Reihe geschaltet. $R_1$ beträgt $6~\Omega$ und $R_2$ beträgt $18~\Omega$. Die Gesamtspannung $U_\text{G}$ beträgt $12~\text{V}$. Berechne die Stromstärke $I_\text{G}$ und die Teilspannungen $U_1$ und $U_2$ sowie den Gesamtwiderstand $R_\text{G}$.

Ausblick – das lernst du nach Ohmsches Gesetz – elektrischer Widerstand

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Ohmsches Gesetz