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Ladungen im homogenen Feld – Bewegung in Feldrichtung 04:29 min

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Transkript Ladungen im homogenen Feld – Bewegung in Feldrichtung

Hallo und herzlich willkommen. Ich zeige hier, wie die Größen einer Bewegung von geladenen Teilchen in Längsrichtung eines homogenen elektrischen Feldes berechnet werden. Du solltest die Gleichungen für die geradlinige gleichmäßig beschleunigte Bewegung kennen, das zweite Newtonische Axiom, das besagt, dass F=m×a ist, die Verhältnisse im homogenen und konstanten elektrischen Feld eines Plattenkondensators, die Berechnung der Kraft im zeitlich konstanten elektrischen Feld, die Arbeit im konstanten elektrischen Feld und die Grundregeln vektorieller Addition. Du weißt, dass das elektrische Feld eine Kraft auf geladene Teilchen ausübt. Wollen wir die Bewegung eines solchen Teilchens berechnen, müssen wir diese Kraft in Rechnung stellen und natürlich die Gravitationskraft ebenso, weil das Teilchen eine Masse hat und der Schwerkraft unterworfen ist. Eine Kraft werden wir vorerst auslassen, nämlich die der Reibung, um die Aufgabe für den Anfang nicht zu kompliziert zu machen. Wenn wir zum Beispiel ein positiv geladenes Teilchen in das hier gezeichnete Feld bringen, wird es von der Kraft des elektrischen Feldes und auf der Schwerkraft nach unten gezogen.  Mit dem Spezialfall des Newtonischen Gravitationsgesetzes für die Erdoberfläche errechnen wir die Schwerkraftwirkung Fg=mT×g, wobei mT die Masse unseres Teilchens ist. Für die Kraft des elektrischen Feldes berechnen wir FE=qT×E, wobei qT die Ladung unseres Teilchens ist. Die gesamte Kraft, die auf das Teilchen wirkt, ergibt sich aus der Vektorsumme beider. Nehmen wir gemäß unserer Skizze an, dass beide in dieselbe Richtung wirken, da wir ein positiv geladenes Teilchen über der negativ geladenen Platte unseres Kondensators fallen lassen, addieren sich die beiden Beträge. Wirken die beiden Kräfte genau entgegengesetzt, müssen wir natürlich ihre Beträge voneinander subtrahieren. Die Gesamtbeschleunigung, die das Teilchen durch das Wirken der beiden Kräfte erfährt, ermitteln wir dadurch, dass wir unser Ergebnis nach dem zweiten Newtonischen Axiom behandeln. Ersetzen wir dabei gleich E mit dem Ausdruck für das konstante Feld im Plattenkondensator und stellen die Gleichung um, erhalten wir für die Beschleunigung a diesen Ausdruck. Wir wissen aus den Bewegungsgleichungen der Mechanik, dass für den Weg gilt s=½×a×t². Stellen wir diesen Ausdruck um, können wir berechnen, wie lange unser Teilchen benötigt, um unter dem Einfluss der beiden Kräfte einen Weg, der länger ist, zurückzulegen. Nun ist es auch leicht, die Geschwindigkeit des Teilchens am Ende dieser Wegstrecke zu berechnen, denn wir wissen, dass v=a×t ist, also ergibt sich durch Umstellen diese Formel. Haben wir die Geschwindigkeit berechnet, können wir auch leicht die Energie ermitteln, die das Teilchen am Ende seines gleichmäßig beschleunigten Weges hat. Fassen wir kurz zusammen: Du hast gelernt, die Bewegungsgrößen für die Bewegung eines geladenen Teilchens längs zum elektrischen Feld zu berechnen. Wir haben dazu die beiden wichtigsten Kräfte, die Schwerkraft und die Kraft des elektrischen Feldes, angesetzt und für den Fall, dass beide in gleicher Richtung wirken, für die Beschleunigung a erhalten, für die Zeit t, zur Überwindung des Weges s, für die am Ende des Weges s erreichte Geschwindigkeit und für die dort erreichte Bewegungsenergie. Viel Erfolg beim Berechnen und bis zum nächsten Video.

3 Kommentare
  1. Liebe Saramaggi,
    es gibt für manche Themen besondere Videos mit Übungen, seit neuestem sogar eine ganze neue Rubrik "Die Übung". Der Mangel wird also nach und nach behoben, wenn auch vielleicht für das Thema dieses Videos nicht so bald - pardon !

    Danke für das Lob.
    Viele Grüße,
    kalo

    PS. - Bei der Lautstärke den Regler am eigenen Computer nicht vergessen ...

    Von Kalo, vor mehr als 4 Jahren
  2. Etwas was ich noch hinzufügen möchte, das video hat mir weitergeholfen da die formeln alle gut hintereinander aufgereiht waren sodass man nicht durcheinander kommt aber könntet ihr nächstes mal auch beispielaufgaben am ende des bideos machen? Dann festigt sich das wisen besser

    Von Saramaggi, vor mehr als 4 Jahren
  3. Liebes Sofatutor Team, die videos helfen gut weiter jedoch sind manchmal die videos sehr leise von der acoustic her.

    Bitte benutzt ein mikrofon oder jedenfalls ein lauteres mirkophon falls ihr schon eins benutzt weil die videos nicht so laut sind und wenn man lernt die stimmen lauter sein sollten sodass man auch konzentriert bleubt und es gut hört.

    Von Saramaggi, vor mehr als 4 Jahren

Ladungen im homogenen Feld – Bewegung in Feldrichtung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ladungen im homogenen Feld – Bewegung in Feldrichtung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an wie man vorgeht, wenn die Platten des Kondensators senkrecht stehen.

    Tipps

    Kraftwirkungen sind gerichtete Größen.

    Gerichtete Größen werden mathematisch mit Vektoren dargestellt.

    Bei Linearkombination von Vektoren wird nach Regeln verfahren, mit denen sich Resultanten auch für Richtungen ergeben.

    Lösung

    Kraftwirkungen sind gerichtete Größen. Über Kräfte berechnete vermittelte Größen wie Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg etc. sind dann ebenfalls gerichtet. Gerichtete Größen werden mathematisch mit Vektoren dargestellt, die den Betrag der Größe und ihre Richtung in einem orientierten Raum angeben. Übliche Linearkombination von Vektoren (Addition, Multiplikation mit Skalaren) ergeben für die Richtungen ebenso wie für die Beträge Resultanten. In den meisten Fällen ist es bequem, die Vektoren in rechtwinkligen (kartesischen) Koordinaten darzustellen und alle Linearkombinationen für jede Koordinate gesondert zu berechnen (in x-Richtung, in y-Richtung, in z-Richtung).

  • Nenne die Bedingung zur Entstehung eines elektrischen Feldes.

    Tipps

    In einem elektrischen Feld wirkt eine Kraft auf geladene Körper.

    Wir kennen zwei Arten von (elektrischer) Ladung.

    Zwischen ungleichnamigen Ladungen wirken Kräfte.

    Die Wirkung des Feldes auf die Ladung muss eine Wirkung ungleichnamiger Ladungen sein.

    Lösung

    Wir kennen zwei Arten von (elektrischer) Ladung und sehen, dass zwischen ungleichnamigen Ladungen eine Kraft wirkt. In einem elektrischen Feld wirkt auch eine Kraft auf einen geladenen Körper. Wir müssen annehmen, dass die Feldwirkung durch eine mit seiner ungleichnamige Ladung entsteht, die räumlich von ihm getrennt ist. D. h.: Ladungstrennung ist die entscheidende Voraussetzung für das Entstehen eines elektrischen Feldes.

  • Bestimme, wie man das Gewicht eines geladenen Körpers im homogenen Feld eines Plattenkondensator bestimmen könnte.

    Tipps

    Ansatz: Kräftegleichgewicht

    Ausformulieren der Gleichungen für die Kräfte (mechanische, elektrische)

    Umstellen nach $U$

    Lösung

    Um die Masse eines geladenen Teilchens mithilfe eines homogenen und konstanten elektrischen Feldes zu bestimmen, würde man etwa diese gedankliche Linie verfolgen:

    1. Prinzip: Das Teilchen wird im elektrischen Feld gegen die Wirkung der Schwerkraft zum Schweben gebracht.
    2. Kräftegleichgewicht: $\overrightarrow{F_G}=-\overrightarrow{F_E}$
    3. Damit $m_e\cdot \overrightarrow{g}=e\cdot \overrightarrow{E}$.
    4. Vereinfacht für die ideal parallele Ausrichtung der Kraftwirkungen: $m_e\cdot g = e\cdot E$
    5. Für einen Kondensator mit Plattenabstand $d$ umformuliert: $m_e\cdot g=e\cdot \frac{U}{d}$
    6. Umgestellt nach $U$: $U=\frac{m_e\cdot g\cdot d}{e}$
    7. Mit $d=1m, e=1.6\cdot 10^{-19}C, m_e=9.1\cdot 10^{-31}kg, g=9.8\frac{m}{s^2}$ folgte: $U=5.57\cdot 10^{-11}V$.
    Das Prinzip dieses Versuchs wurde von Millikan realisiert, der allerdings Öltröpfchen verwendete, da sich die Lage eines Elektrons nicht so einfach messen lässt (quantentheoretische Unschärfe). Selbst wenn das nicht so wäre, würde die notwendige Messpräzision bei derart kleinen Spannungswerten und die nötige Reinheit und Abschirmung des Raums zwischen den Platten enorme technische Schwierigkeiten bereiten. Die Elektronenmasse wurde darum auf anderem Wege bestimmt (Ablenkung im Magnetfeld).

  • Nenne die Formel für die Kraftwirkung im homogenen und konstanten elektrischen Feld.

    Tipps

    Die Kraft ist proportional zur Feldstärke $\overrightarrow{E}$.

    Die Kraft ist auch proportional zur Ladung $q$.

    Lösung

    Die Kraft zeigt sich als proportional zur Feldstärke $\overrightarrow{E}$ und auch proportional zur Größe der Ladung $q$. Genauere Bestimmung ergab den einfachen Zusammenhang $\overrightarrow{F_E}=q\cdot\overrightarrow{E}$. (Eine auffallende Analogie zur Kraftwirkung im Gravitationsfeld, wo gilt: $\overrightarrow{F_G}=m\cdot\overrightarrow{g}$, mit $\overrightarrow{g}$ als Schwere- oder Fallbeschleunigung, deren Größe vom Schwerefeld des Körpers bestimmt ist, in dem die Masse $m$ sich befindet.)

  • Berechne die Beschleunigung eines geladenen Teilchens in einem homogenen, konstanten elektrischen Feld.

    Tipps

    Zweites Newtonsches Axiom: Kraft und Beschleunigung

    Gesamtkraft: Vektorsumme

    Linearkombination paralleler Vektoren = Linearkombination der Gesamtbeträge

    Lösung

    Um die Beschleunigung eines geladenen Körpers in einem konstanten und homogenen elektrischen Feld zu berechnen, folgt man zweckmäßigerweise folgendem Schema:

    1. Zweites Newtonsches Axiom: $\overrightarrow{F}=m_e\cdot\overrightarrow{a}$
    2. Gesamtkraft auf einen geladenen Körper im Plattenkondensator: $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_G}+\overrightarrow{F_E}$
    3. Gewichtskraft für das Elektron $\overrightarrow{F_G}=m_e\cdot\overrightarrow{g}$
    4. Kraftwirkung des el. Feldes auf das Elektron: $\overrightarrow{F_E}=-e\cdot\overrightarrow{E}$
    5. Zusammenfassung, vereinfacht für parallele Richtung von $\overrightarrow{F_G}$ und $\overrightarrow{F_E}$: $m_e\cdot a = F = F_G + F_E = m_e \cdot g-e\cdot\frac{U}{d}$
    6. Umstellen: $a=g-\frac{e\cdot U}{m_e\cdot d}$
    Wir sehen an dieser Formel, dass sich die resultierende Beschleunigung aus zwei klar unterschiedenen Teilen zusammensetzt: einmal der massewirksamen Beschleunigung und zum anderen der ladungswirksamen (spezifischen) Ladung $\frac{e}{m_e}$, multipliziert mit der Feldstärke $\frac{U}{d}$).

  • Berechne die kinetische Energie eines Elektrons, das im Feld eines Plattenkondensators beschleunigt wird.

    Tipps

    Allgemeine Gleichung zur Berechnung der kinetischen Energie, hier mit Masse $m_e$.

    Bewegungsgleichungen nutzen, um die unbekannte Größe $v(d)$ über $t(d)$ zu bestimmen. Denn $t(d)$ lässt sich leicht über Weg $d$ und Beschleunigung $a$ bei Anfangsgeschwindigkeit $Null$ bestimmen.

    Die vorher bestimmte Gleichung für die Beschleunigung des Elektrons unter eben den gegebenen Bedingungen lautete: $a=\frac{m_e\cdot g - e\cdot \frac{U}{d}}{m_e}$.

    Nach dem Einsetzen des Ausdrucks für $a$ lässt sich durch Ausmultiplizieren und Kürzen die Gleichung vereinfachen.

    Lösung
    1. Die kinetische Energie ist über $W_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v(d)^2$ zu berechnen.
    2. Die Geschwindigkeit am Ende des Weges $d$ ergibt sich aus $v(d)=a\cdot t(d)$.
    3. Weg und Zeit sind verknüpft über $d=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t(d)^2$, womit $t$ für die Berechnung von $v(d)$ bestimmt werden kann: $t(d)=\sqrt{\bigl\lvert \frac{2d}{a} \bigr\rvert }$.
    4. So ergibt sich aus (2) und (3) $\lvert v(d) \rvert =\sqrt{\lvert 2ad \rvert}$, und damit $W_{kin}=\lvert m_e\cdot a\cdot d \rvert$.
    5. Mit unserem Ausdruck für die Beschleunigung wäre also zu berechnen: $W_{kin}=\lvert m_e\cdot g\cdot d- e\cdot U \rvert$.
    6. Wir erhalten mit $m_e=9.1\cdot10^{-31}kg, e=1.6\cdot10^{-19}C$ und $g=9.8\frac{m}{s^2}$ den Wert: $W_{kin}=8\cdot 10^{-25}Nm$.
    7. Wir bemerken, dass trotz der geringen Spannung und des großen Abstands der Platten dennoch Elektronen nach oben gezogen werden. Die kinetische Energie ist gering, aber größer als $Null$.