Ladungen im homogenen Feld – Bewegung in Feldrichtung

Ladungen im homogenen Feld – Bewegung in Feldrichtung Übung

• Nenne die Bedingung zur Entstehung eines elektrischen Feldes.

  Tipps

  In einem elektrischen Feld wirkt eine Kraft auf geladene Körper.

  Wir kennen zwei Arten von (elektrischer) Ladung.

  Zwischen ungleichnamigen Ladungen wirken Kräfte.

  Die Wirkung des Feldes auf die Ladung muss eine Wirkung ungleichnamiger Ladungen sein.

  Lösung

  Wir kennen zwei Arten von (elektrischer) Ladung und sehen, dass zwischen ungleichnamigen Ladungen eine Kraft wirkt. In einem elektrischen Feld wirkt auch eine Kraft auf einen geladenen Körper. Wir müssen annehmen, dass die Feldwirkung durch eine mit seiner ungleichnamige Ladung entsteht, die räumlich von ihm getrennt ist. D. h.: Ladungstrennung ist die entscheidende Voraussetzung für das Entstehen eines elektrischen Feldes.

• Nenne die Formel für die Kraftwirkung im homogenen und konstanten elektrischen Feld.

  Tipps

  Die Kraft ist proportional zur Feldstärke $\overrightarrow{E}$.

  Die Kraft ist auch proportional zur Ladung $q$.

  Lösung

  Die Kraft zeigt sich als proportional zur Feldstärke $\overrightarrow{E}$ und auch proportional zur Größe der Ladung $q$. Genauere Bestimmung ergab den einfachen Zusammenhang $\overrightarrow{F_E}=q\cdot\overrightarrow{E}$. (Eine auffallende Analogie zur Kraftwirkung im Gravitationsfeld, wo gilt: $\overrightarrow{F_G}=m\cdot\overrightarrow{g}$, mit $\overrightarrow{g}$ als Schwere- oder Fallbeschleunigung, deren Größe vom Schwerefeld des Körpers bestimmt ist, in dem die Masse $m$ sich befindet.)

• Berechne die Beschleunigung eines geladenen Teilchens in einem homogenen, konstanten elektrischen Feld.

  Tipps

  Zweites Newtonsches Axiom: Kraft und Beschleunigung

  Gesamtkraft: Vektorsumme

  Linearkombination paralleler Vektoren = Linearkombination der Gesamtbeträge

  Lösung

  Um die Beschleunigung eines geladenen Körpers in einem konstanten und homogenen elektrischen Feld zu berechnen, folgt man zweckmäßigerweise folgendem Schema:

  1. Zweites Newtonsches Axiom: $\overrightarrow{F}=m_e\cdot\overrightarrow{a}$
  2. Gesamtkraft auf einen geladenen Körper im Plattenkondensator: $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_G}+\overrightarrow{F_E}$
  3. Gewichtskraft für das Elektron $\overrightarrow{F_G}=m_e\cdot\overrightarrow{g}$
  4. Kraftwirkung des el. Feldes auf das Elektron: $\overrightarrow{F_E}=-e\cdot\overrightarrow{E}$
  5. Zusammenfassung, vereinfacht für parallele Richtung von $\overrightarrow{F_G}$ und $\overrightarrow{F_E}$: $m_e\cdot a = F = F_G + F_E = m_e \cdot g-e\cdot\frac{U}{d}$
  6. Umstellen: $a=g-\frac{e\cdot U}{m_e\cdot d}$

  Wir sehen an dieser Formel, dass sich die resultierende Beschleunigung aus zwei klar unterschiedenen Teilen zusammensetzt: einmal der massewirksamen Beschleunigung und zum anderen der ladungswirksamen (spezifischen) Ladung $\frac{e}{m_e}$, multipliziert mit der Feldstärke $\frac{U}{d}$).

• Berechne die kinetische Energie eines Elektrons, das im Feld eines Plattenkondensators beschleunigt wird.

  Tipps

  Allgemeine Gleichung zur Berechnung der kinetischen Energie, hier mit Masse $m_e$.

  Bewegungsgleichungen nutzen, um die unbekannte Größe $v(d)$ über $t(d)$ zu bestimmen. Denn $t(d)$ lässt sich leicht über Weg $d$ und Beschleunigung $a$ bei Anfangsgeschwindigkeit $Null$ bestimmen.

  Die vorher bestimmte Gleichung für die Beschleunigung des Elektrons unter eben den gegebenen Bedingungen lautete: $a=\frac{m_e\cdot g - e\cdot \frac{U}{d}}{m_e}$.

  Nach dem Einsetzen des Ausdrucks für $a$ lässt sich durch Ausmultiplizieren und Kürzen die Gleichung vereinfachen.

  Lösung

  1. Die kinetische Energie ist über $W_{kin}=\frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v(d)^2$ zu berechnen.
  2. Die Geschwindigkeit am Ende des Weges $d$ ergibt sich aus $v(d)=a\cdot t(d)$.
  3. Weg und Zeit sind verknüpft über $d=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t(d)^2$, womit $t$ für die Berechnung von $v(d)$ bestimmt werden kann: $t(d)=\sqrt{\bigl\lvert \frac{2d}{a} \bigr\rvert }$.
  4. So ergibt sich aus (2) und (3) $\lvert v(d) \rvert =\sqrt{\lvert 2ad \rvert}$, und damit $W_{kin}=\lvert m_e\cdot a\cdot d \rvert$.
  5. Mit unserem Ausdruck für die Beschleunigung wäre also zu berechnen: $W_{kin}=\lvert m_e\cdot g\cdot d- e\cdot U \rvert$.
  6. Wir erhalten mit $m_e=9.1\cdot10^{-31}kg, e=1.6\cdot10^{-19}C$ und $g=9.8\frac{m}{s^2}$ den Wert: $W_{kin}=8\cdot 10^{-25}Nm$.
  7. Wir bemerken, dass trotz der geringen Spannung und des großen Abstands der Platten dennoch Elektronen nach oben gezogen werden. Die kinetische Energie ist gering, aber größer als $Null$.

• Gib an wie man vorgeht, wenn die Platten des Kondensators senkrecht stehen.

  Tipps

  Kraftwirkungen sind gerichtete Größen.

  Gerichtete Größen werden mathematisch mit Vektoren dargestellt.

  Bei Linearkombination von Vektoren wird nach Regeln verfahren, mit denen sich Resultanten auch für Richtungen ergeben.

  Lösung

  Kraftwirkungen sind gerichtete Größen. Über Kräfte berechnete vermittelte Größen wie Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg etc. sind dann ebenfalls gerichtet. Gerichtete Größen werden mathematisch mit Vektoren dargestellt, die den Betrag der Größe und ihre Richtung in einem orientierten Raum angeben. Übliche Linearkombination von Vektoren (Addition, Multiplikation mit Skalaren) ergeben für die Richtungen ebenso wie für die Beträge Resultanten. In den meisten Fällen ist es bequem, die Vektoren in rechtwinkligen (kartesischen) Koordinaten darzustellen und alle Linearkombinationen für jede Koordinate gesondert zu berechnen (in x-Richtung, in y-Richtung, in z-Richtung).

• Bestimme, wie man das Gewicht eines geladenen Körpers im homogenen Feld eines Plattenkondensator bestimmen könnte.

  Tipps

  Ansatz: Kräftegleichgewicht

  Ausformulieren der Gleichungen für die Kräfte (mechanische, elektrische)

  Umstellen nach $U$

  Lösung

  Um die Masse eines geladenen Teilchens mithilfe eines homogenen und konstanten elektrischen Feldes zu bestimmen, würde man etwa diese gedankliche Linie verfolgen:

  1. Prinzip: Das Teilchen wird im elektrischen Feld gegen die Wirkung der Schwerkraft zum Schweben gebracht.
  2. Kräftegleichgewicht: $\overrightarrow{F_G}=-\overrightarrow{F_E}$
  3. Damit $m_e\cdot \overrightarrow{g}=e\cdot \overrightarrow{E}$.
  4. Vereinfacht für die ideal parallele Ausrichtung der Kraftwirkungen: $m_e\cdot g = e\cdot E$
  5. Für einen Kondensator mit Plattenabstand $d$ umformuliert: $m_e\cdot g=e\cdot \frac{U}{d}$
  6. Umgestellt nach $U$: $U=\frac{m_e\cdot g\cdot d}{e}$
  7. Mit $d=1m, e=1.6\cdot 10^{-19}C, m_e=9.1\cdot 10^{-31}kg, g=9.8\frac{m}{s^2}$ folgte: $U=5.57\cdot 10^{-11}V$.

  Das Prinzip dieses Versuchs wurde von Millikan realisiert, der allerdings Öltröpfchen verwendete, da sich die Lage eines Elektrons nicht so einfach messen lässt (quantentheoretische Unschärfe). Selbst wenn das nicht so wäre, würde die notwendige Messpräzision bei derart kleinen Spannungswerten und die nötige Reinheit und Abschirmung des Raums zwischen den Platten enorme technische Schwierigkeiten bereiten. Die Elektronenmasse wurde darum auf anderem Wege bestimmt (Ablenkung im Magnetfeld).