Bewegung von Ladungsträgern im elektrischen Feld
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Lerntext zum Thema Bewegung von Ladungsträgern im elektrischen Feld
Die Bewegung von Ladungen im elektrischen Feld
Wie sich ein elektrisch geladenes Teilchen in einem elektrischen Feld bewegt, wollen wir hier für den Spezialfall untersuchen, dass das elektrische Feld konstant und homogen ist. An jedem Ort innerhalb des elektrischen Felds wirkt die gleiche Kraft auf unsere Testladung (Homogenität) und das bleibt so während des gesamten Beobachtungszeitraums (Konstanz). Ein elektrisches Feld mit diesen Eigenschaften lässt sich mit einem Plattenkondensator herstellen.
Wie du bereits weißt, wird eine negative Testladung, z. B. ein Elektron, in Richtung der positiv geladenen Platte abgelenkt. Aber wie sehen die Bewegungsgleichungen für ein Elektron aus, das den Plattenkondensator wie im Bild mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ durchquert?
Ladungen im elektrischen Feld – die Bewegungsgleichungen
Du weißt bereits aus der Mechanik, wie die Bewegung eines Teilchens beschrieben werden kann, auf das eine konstante äußere Kraft einwirkt, die senkrecht zur Bewegungsrichtung zeigt. Wenn es sich mit Geschwindigkeit $v_x$ gleichförmig in $x$-Richtung bewegt und die Kraft in $y$-Richtung wirkt, haben wir für die Komponenten der Wegstrecke
(1) in $x$-Richtung: $~~~s_x (t) = v_x \cdot t$,
(2) in $y$-Richtung: $~~~s_y (t) = \dfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$,
wobei
$F_y = m \cdot a$
die konstante Kraft auf das Testteilchen und $m$ seine Masse ist.
Kommen wir nun zu unserem Beispiel. Das elektrische Feld übt genau eine solche konstante Kraft $F_\text{q}$ auf unsere Testladung aus! Daneben gibt es noch die Schwerkraft $F_\text{G} = m\cdot g$, die ebenfalls auf die Testladung wirkt. Wir haben also
$F_y = m \cdot a = F_\text{G} + F_\text{q}$
bzw. für die Beschleunigung:
(3) $a = \dfrac{F_\text{G}+F_\text{q}}{m}$
Das können wir weiter spezifizieren, denn wir wissen, dass die Kraft, die das elektrische Feld des Plattenkondensators mit Feldstärke $E$ auf ein Testteilchen der Ladung $q$ und der Masse $m$ ausübt, durch
$F_q = \dfrac{q}{m} \cdot E$
berechnet werden kann.
Ladungen im elektrischen Feld – die Form der Bahn
Jetzt können wir die Ablenkung $s_y(t)$, siehe Gleichung (2), die unsere Ladung im Plattenkondensator erfährt, in Abhängigkeit von der Feldstärke $E$ oder auch der angelegten Spannung beschreiben! Aus Gleichung (1) folgt:
(4) $t = \dfrac{s_x (t)}{v_x}$
Für die Beschleunigung haben wir mit Gleichung (3):
(5) $a = g + \dfrac{q}{m^2} \cdot E$
Damit folgt für die Wegstrecke:
$s_y(t) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( g + \dfrac{q}{m^2} \cdot E \right) \cdot t^2 = \dfrac{1}{2}\cdot g \cdot t^2 + \dfrac{q \cdot E}{m^2} \cdot t^2$
bzw. mit Gleichung (4):
$s_y(t) = \left(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{g}{v^2_x} + \dfrac{q \cdot E}{m^2 \cdot v^2_x}\right) \cdot s^2_x(t)$
Die Bewegung einer Probeladung im elektrischen Feld eines Plattenkondensators hat die Form einer Parabel
$s_y (t) = k \cdot s^2_x (t)$,
wobei $k$ eine Konstante ist, die von der Fallbeschleunigung $g$, der konstanten Geschwindigkeit in $x$-Richtung und den Eigenschaften des Testteilchens – seiner Masse $m$ und seiner Ladung $q$ – und der Feldstärke $E$ abhängt:
$k = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g}{ v^2_x } + \dfrac{q \cdot E}{m^2 \cdot v^2_x } $
Aufgrund der sehr geringen Masse des Elektrons ($m_\text{e}=9{,}109 \cdot 10^{-31}~\text{kg}$) kann der Einfluss der Gravitation bei der Bewegung elektrischer Ladungen im elektrischen Feld meistens vernachlässigt werden.
Ladung im elektrischen Feld – Beispiele
Nun wissen wir, dass ein elektrisches Teilchen, das durch einen Plattenkondensator fliegt, abgelenkt wird, und können diese Ablenkung sogar berechnen. Wie können wir diese Ablenkung aber technisch erzeugen und schließlich sogar manipulieren?
Das Oszilloskop
Das elektrische Feld eines Plattenkondensators wird dadurch erzeugt, dass man eine Spannung $U_c$ anlegt. Aus Sicht eines Elektrotechnikers interessiert uns also weniger die Feldstärke als die Spannung. Glücklicherweise ist der Zusammenhang zwischen Spannung und elektrischem Feld beim Plattenkondensator sehr einfach:
$E = \dfrac{U_c}{d}$,
wobei $d$ der Abstand der beiden Kondensatorplatten zueinander ist. Wenn wir außerdem die Wirkung der Schwerkraft gegenüber der Wirkung des elektrischen Felds vernachlässigen können, vereinfacht sich die Bewegungsgleichung (5) für unsere Probeladung und wir finden:
$s_y (t) = U_c \cdot \dfrac{q}{d \cdot m^2 \cdot v^2_x } \cdot s^2_x (t)$
Aus dieser Gleichung können wir etwas über den Zusammenhang zwischen der Ablenkung in $y$-Richtung und der Spannung schlussfolgern: Wenn die Spannung erhöht wird, wird die Ablenkung größer. Angenommen, dass wir also hinter dem Plattenkondensator einen Leuchtschirm aufstellen, der aufleuchtet, sobald die Testladung darauf trifft. So ließe sich dieser Zusammenhang grafisch darstellen. Dies ist die Grundidee des Oszilloskops. Wenn alle Parameter außer der Spannung gleich bleiben, lässt sich aufgrund des Bilds, das sich auf dem Leuchtschirm ergibt, etwas über die angelegte Spannung aussagen.
Die braunsche Röhre
Die braunsche Röhre funktioniert nach dem gleichen Prinzip wie der Oszillator.
Durch die Erhitzung eines Drahts (Kathode) treten Elektronen aus (glühelektrischer Effekt), die durch einen Wehneltzylinder zu einem Elektronenstrahl gebündelt werden. Dieser Elektronenstrahl wird nun von einer positiv geladenen Anode angezogen und dadurch beschleunigt.
Der Strahl durchquert die Anode durch ein kleines Loch und bewegt sich dann gleichförmig, also mit konstanter Geschwindigkeit, weiter. Nun muss er das elektrische Feld eines Plattenkondensators durchqueren, der in senkrechter Richtung ausgerichtet ist. Je nachdem wie groß die Spannung ist, die hier angelegt wurde, und ob die obere oder die untere Platte negativ geladen ist, wird der Strahl mehr oder weniger nach oben oder unten abgelenkt.
Sobald der Strahl den ersten Plattenkondensator durchquert hat, gelangt er in einen zweiten Plattenkondensator, der in horizontaler Richtung ausgerichtet ist. Dadurch lässt sich eine horizontale Ablenkung des Strahls erreichen. Auf dem Leuchtschirm hinter den beiden Kondensatoren (Ablenkplatten) zeigt sich zuletzt, wo der Strahl durch die angelegten Spannungen hingelenkt wurde. Dieses Prinzip der braunsche Röhre wurde lange Zeit bei Fernsehern eingesetzt – bevor der Flachbildschirm aufkam.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Bewegung von Ladungsträgern im elektrischen Feld
Bewegung von Ladungsträgern im elektrischen Feld Übung
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Bennene die Formeln zur Berechnung der Bewegung in x- und in y-Richtung.
TippsIn x-Richtung vollziehen die Elektronen eine gleichförmige, geradlinige Bewegung.
In y-Richtung vollziehen die Elektronen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung fließt die Zeit quadratisch ein.
LösungDie Elektronen werden in y-Richtung abgelenkt.
Die Elektronen treten mit konstanter Geschwindigkeit in den Plattenkondensator ein.
In x-Richtung findet keine Ablenkung statt. Deswegen bewegen sich die Elektronen dort geradlinig vorwärts.
Es handelt sich hierbei um eine gleichförmig, geradlinige Bewegung.Diese wird mit dem linearen Weg-Zeit-Gesetz beschrieben:
$\text{Weg} = \text{Geschwindigkeit} \cdot \text{Zeit}$
oder als Formel
$s_x= v \cdot t$.In y-Richtung findet die Ablenkung statt. Aufgrund ihrer Ladung werden die Elektronen immer in Richtung der positiv geladenen Platte abgelenkt.
Die Elektronen werden gleichmäßig in Richtung der y-Achse beschleunigt.
Somit ergibt sich ein quadratischer Zusammenhang zwischen dem Weg und der Zeit. Je mehr Zeit vergangen ist, desto kürzer braucht ein Elektron um einen gewissen Weg zurückzulegen.
Die Beschleunigung ist hierbei konstant.Es gilt
$\text{Weg} = \frac{1}{2} \cdot \text{Beschleunigung} \cdot \text{Zeit}^2$
oder als Formel $s_y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$. -
Beschreibe die Ablenkungsrichtung von Elektronen im Kondensator.
TippsGleichnamige Ladungen stoßen sich ab und ungleichnamige Ladungen ziehen sich an. Wird ein Elektron dann von einer positiv oder einer negativ geladenen Platte angezogen?
Elektronen sind negativ geladen.
Wenn auf ein Elektron nicht mehr die Kraft des elektrischen Feldes wirkt, dann wird es auch nicht mehr abgelenkt. Was bedeutet das für seinen Weg nach dem Verlassen des Plattenkondensators?
LösungDie Elektronen werden nur abgelenkt, wenn eine Kraft auf sie wirkt.
In der Bewegungsrichtung parallel zu den Platten des Plattenkondensators findet keine Ablenkung statt. In dieser Richtung übt das elektrische Feld keine Kraft auf die Elektronen aus.
Die Bewegung verläuft deswegen wie vor dem Kondensator gleichförmig und geradlinig.Quer zu den Kondensatorplatten ist in Richtung der Feldlinien. Das elektrische Feld übt eine Kraft auf die Elektronen aus. Da die Elektronen negativ geladen sind, werden sie in Richtung der positiv geladenen Platte abgelenkt.
Sie werden in diese Richtung beschleunigt und vollziehen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Sobald die Elektronen das elektrische Feld des Kondensators verlassen haben, wirkt keine Kraft mehr auf sie.
Sie bewegen sich dann geradlinig in der Richtung fort, in der sie das elektrische Feld verlassen haben.
Die Geschwindigkeit ist dabei wieder konstant. -
Erkläre den Verlauf von Elektronen in einer Braunschen Röhre.
TippsDer Zylinder, in dem die Elektronen erzeugt werden, heißt Wehneltzylinder.
Die freien Elektronen müssen nutzbar sein, bevor sie beschleunigt oder abgelenkt werden können. In welcher Reihenfolge macht der Ablauf Sinn?
Die Elektronen bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit durch die Ablenkplatten bis zum Schirm. Was muss dann davor passiert sein?
LösungDer Zylinder, der in der Abbildung am linken Rand gezeigt wird, nennt sich Wehneltzylinder.
In diesem ist eine Glühwendel. Das ist ein kleiner gewundener Draht. Mit der angelegten Heizspannung wird dieser Draht auf hohe Temperaturen erhitzt.
Wegen dem glühelektrischen Effekt treten dann freie Elektronen aus.
Wenn diese nicht zu einem Strahl gebündelt werden würden, dann würden sie sich in alle Richtungen ausbreiten. Diese Aufgabe übernimmt der Wehneltzylinder.Zwischen der Glühwendel, welche hier die Kathode darstellt, und der Lochblende, der Anode, liegt eine Beschleunigungsspannung an.
Nach der Lochblende ist die Geschwindigkeit der Elektronen konstant.
Sie passieren anschließend die Ablenkplatten.
Dies sind zwei elektrische Felder, in denen die Elektronen aufgrund ihrer Ladung abgelenkt werden.Als letztes treffen die Elektronen auf den Schirm.
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Leite die Bahnkurve der Elektronen bei Ablenkung in y-Richtung her.
TippsVon allgemeinen Gleichungen ausgehend wird versucht, diese so zu spezifizieren, dass in der letzte Gleichung direkt mit den häufig bekannten Größen gearbeitet werden kann.
Im Plattenkondensator kann die Feldstärke $E$ auch durch die Kondensatorspannung und den Abstand der Platten beschrieben werden.
Die Kraft in einem elektrischen Feld kann durch die Ladung und die elektrische Feldstärke ausgedrückt werden.
LösungDie Bewegung in x-Richtung ist geradlinig, gleichförmig.
Es gilt
$s_x = v \cdot t$.
Dies wird nach der Zeit umgestellt: $t=\frac{s_x}{v}$ .Die Bewegung in y-Richtung ist gleichmäßig beschleunigt. Es gilt
$s_y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.Die Beschleunigung $a$ kann hierbei mithilfe von $F=m\cdot a$, also $Kraft = Weg \cdot Beschleunigung$, ausgedrückt werden.
Es folgt $a=\frac{F}{m}$.
Hierbei kann die Kraft $F$ ersetzt werden. In einem elektrischen Feld gilt $F=q\cdot E$.
Weiter gilt in einem Plattenkondensator $E=\frac{U}{d}$.Damit folgt $a=\frac{q\cdot U}{m \cdot d}$.
Dies wird alles in die Formel für die Bewegung in y-Richtung eingesetzt. Es ergibt sich dann die Bewegung in y-Richtung in Abhängigkeit von der Position der Ladung in x-Richtung.
Dies wird auch Bahnkurve genannt. -
Zeige, wie ein Elektronenstrahl in einem Kondensator abgelenkt wird.
TippsElektronen sind negativ geladen. Spielt dies bei der Ablenkung eine Rolle und wenn ja inwiefern?
Beachte die Polung der Platten. Elektronen werden immer zur positiv geladenen Platte abgelenkt.
In Ablenkungsrichtung vollziehen die Elektronen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Wie muss die Kurve dann aussehen?
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist der Verlauf der Kurve parabelförmig.
LösungElektronen sind negativ geladen. Sie werden in einem Kondensator deswegen immer zur positiv geladenen Platte abgelenkt.
Man kann die Bewegung in zwei Teile aufteilen. Die Bewegung in x-Richtung verläuft weiterhin gleichförmig und geradlinig.
Das ist die Bewegung parallel zu den Platten des Kondensators.Die Bewegung in y-Richtung ist die Richtung in die die Elektronen abgelenkt werden. Es ist die Bewegung quer zu den Platten des Kondensators. Dies ist eine gleichförmig beschleunigte Bewegung.
Es ergibt sich für die Bahnkurve $s_y \approx -e\cdot {s_x}^2$.
Dies entspricht einer parabelförmigen Kurve. -
Berechne die Ablenkung beim Austreten der Elektronen aus dem elektrischen Feld.
TippsBeachte die richtige Einheit und Zehnerpotenz.
Beachte die Richtung der y-Achse des Koordinatensystems. Welches Vorzeichen muss die Lösung dann haben?
LösungDie gegebenen Werte werden aus der Skizze abgelesen oder der Beschreibung entnommen.
Die Ladung $q$ entspricht hier dem Elektron.
Die Masse entspricht damit der Masse eines Elektrons.Hierbei muss auf die richtigen Einheiten geachtet werden. Alle Größen des gleichen Typs müssen in der Rechnung die gleiche Einheit haben.
Da schon zwei Längen in $\text{cm}$ angegeben sind und diese zudem recht klein sind, bietet es sich an, auch die letzte Größe in $\text{cm}$ anzugeben.
Eine Geschwindigkeit ist zwar keine direkte Längenangabe, hängt aber direkt damit zusammen.Es gilt $102{,}72 ~\frac{\text{km}}{\text{s}} = 102{,}72 \cdot 10^3~ \frac{\text{m}}{\text{s}} = 10{,}272 \cdot 10^6~ \frac{\text{cm}}{\text{s}}$.
Anschließend müssen die gegebenen Werte nur in die Formel eingesetzt werden.
Hierbei ist noch das Vorzeichen zu beachten, welches durch das Elektron bestimmt wird. Ein Elektron ist negativ geladen.
Deswegen wird es immer in Richtung der positiv geladenen Platte abgelenkt.
Die positiv geladene Platte ist in der Skizze die obere. Die Richtung der y-Achse zeigt ebenfalls nach oben. Deswegen muss eine Ablenkung in diese Richtung ein positives Vorzeichen tragen.Obwohl das Elektron eigentlich ein negatives Vorzeichen trägt, muss es hier positiv sein, denn es wird nach oben abgelenkt. Dies ändert natürlich nichts an der negativen Ladung des Elektrons.
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