Geschwindigkeit – differentielle Betrachtung (Übungsvideo)

Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video werden wir Sachaufgaben zur differentiellen Betrachtung der Geschwindigkeit rechnen. Dazu wiederholen wir erst ein paar Grundlagen zu diesem Thema. Danach zeige ich dir, wie man am Beispiel eines schiefen Wurfes konkrete Werte für die Geschwindigkeit berechnet. Und anschließend siehst du noch, wie man die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt aus einem t-s-Diagramm bestimmen kann. Und damit kann es auch schon losgehen. Zuerst eine kurze Wiederholung: Den Weg, den ein Körper zurückgelegt hat, kürzt man mit s ab, die Geschwindigkeit des Körpers mit v. Die Geschwindigkeit gibt an, wie viel Weg in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird. Für die Geschwindigkeit gilt, dass sie gleich der Ableitung des Weges nach der Zeit, also ds nach dt, kurz s Punkt, ist. Stellt man den Weg in Abhängig von der Zeit in einem t-s-Diagramm dar, so kann man die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt dadurch bestimmen, dass man eine Tangente an die Kurve anlegt. Die Tangente gibt deren Steigung an, die wiederum gleich der Ableitung der Kurve an diesem Punkt und somit gleich der Geschwindigkeit v ist. Jetzt weißt du schon alles, was du wissen musst, um die folgenden Aufgaben zu lösen. Wir können also loslegen. Zuerst beschäftigen wir uns mit dem schiefen Wurf. Das kann zum Beispiel eine Kugel sein, die geworfen wird. Er verläuft in zwei Dimensionen, wir nennen sie sx und sy. In sx-Richtung gilt für den zurückgelegten Weg: sx ist gleich die Anfangsgeschwindigkeit in sx-Richtung, v0x, mal der Zeit t. In sy-Richtung gilt: sy ist gleich die Anfangsgeschwindigkeit in sy-Richtung, v0y, mal t minus einhalb g mal t². g ist die Erdbeschleunigung von 9,81 m/s². Außerdem sei v0x= 10 m/s, v0y= 5 m/s. Gesucht ist jetzt die Geschwindigkeit der Kugel in sx- und sy-Richtung nach t = 5s. Wie gehen wir vor? Wir wissen, dass die Geschwindigkeit gleich der Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Das gilt für die sx- und für die sy-Komponente gleichermaßen. Wir leiten also zuerst das x nach der Zeit ab. Wir erhalten sx Punkt ist gleich v0x, also die Anfangsgeschwindigkeit in sx-Richtung. Sie ist nicht mehr von der Zeit abhängig und somit konstant. Leitet man das y nach der Zeit ab, so erhält man sy Punkt ist gleich v0y minus g mal t. Die Zwei aus der Potenz der Zeit kürzt sich hier mit der 1/2 vor dem Term. Die Geschwindigkeit in sy-Richtung setzt sich also aus einem Term der konstanten Geschwindigkeit v0y und einer konstant beschleunigten Bewegung g*t zusammen. Der zweite Term wird mit der Zeit größer als der erste. Und sy Punkt wird negativ. Das bedeutet, dass die Kugel sich nach unten bewegt. Um zu wissen, welche Geschwindigkeit die Kugel nach fünf Sekunden in die jeweiligen Richtungen hat, müssen wir jetzt noch die Zeit einsetzen. sx Punkt ist zeitunabhängig und ist gleich v0x= 10 m/s. sy Punkt ist gleich dem konstanten Wert v0y, gleich 5 m/s, minus 9,81 m/s² mal 5s; das ergibt ein Ergebnis von - 44,05 m/s, die Kugel bewegt sich also zur Zeit t = 5s schon nach unten. Geschwindigkeiten lassen sich auch aus t-s-Diagrammen bestimmen. Wir betrachten das t-s-Diagramm einer gleichmäßigen beschleunigten Bewegung. Die Zeit t wird in Sekunden und der zurückgelegte Weg s in Metern gegeben. Da es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, hat die Kurve die Form einer Parabel. Die Aufgabe lautet jetzt: Bestimme die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0,4 s. Dazu nehmen wir ein Geodreieck und zeichnen vom Punkt 0,4s eine senkrechte Linie bis zur Kurve. Dann bestimmen wir an diesem Punkt die Steigung der Kurve. Dazu legen wir das Lineal so an, dass es die Steigung der Kurve hat, und zeichnen die Tangente ein. Anschließend suchen wir uns zwei Punkte auf der t-Achse im Abstand von 0,2 s und zeichnen eine der t-Achse parallele Linie dieser Länge, genannt Delta t, an die Tangente. Danach zeichnen wir die letzte Linie des Steigungsdreiecks parallel zur Weg-Achse ein. Abschließend bestimmt man noch Delta s, in unserem Fall sind das 7,9 minus 4,1 Meter, das ergibt eine Differenz Delta s von 3,8 m. Um die Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t = 0,4 s zu berechnen, teilen wir Delta s durch Delta t, was gleich 3,8 m / 0,2 s ist, man erhält ein Ergebnis von 19 m/s. So, das war’s mit den Sachaufgaben zur Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit. Ich hoffe, du konntest alles nachvollziehen und fandest es interessant. Tschüss und bis zum nächsten Mal!