Die beschleunigte Bewegung: Jagd 1: Mr Pinguin

Hallo und herzlich willkommen zum Ersten Beispiel im Video der beschleunigten Bewegung. Du wirst in diesem Video sehen, wie man die Formel der beschleunigten Bewegung in einem typischen Fall anwendet. Aufgaben dieser Art werden sehr gern in den Schulaufgaben gestellt. Zur Erinnerung, hier sind noch einmal die beiden relevanten Formeln. Wir wollen nun folgenden Fall betrachten: Mr. Pinguin fährt mit seinem ultracoolen Cabrio an einem schönen Sommertag Richtung Antarktis. Er fährt lockere 90 Sachen, also 90 Km/h. Leider passt er einen Moment nicht auf und übersieht eine Baustelle, an der nur 60 Km/h erlaubt sind. Als er seinen Fehler bemerkt, ist es schon zu spät und er düst direkt an einem Polizeiauto vorbei. Da der Polizist erst einmal seinen Donut aufessen muss, kann Mr. Pinguin 1 Km Vorsprung herausholen, bis der Polizist seinen Wagen startet. Da Mr. Pinguin ein Pinguin ist und über überhaupt keinerlei Geld verfügt und abgesehen davon auch keinen Führerschein hat, entscheidet er sich wohl oder übel zur Flucht. Folgende Daten sind uns bekannt: 1. Mr. Pinguin fährt 90 Km/h und beschleunigt, als er das Polizeiauto losfahren sieht mit konstanter Beschleunigung die 10m/s² beträgt auf 180 Km/h, welche er nach der Beschleunigung beibehält. Also halten wir fest, da Mr. Pinguin 1 Km Vorsprung hat, beträgt X0=1Km für Mr. Pinguin. Ich werde alle Informationen, die mit Mr. Pinguin zu tun haben, mit Mr. kennzeichnen. Außerdem empfiehlt es sich gleich, alle Größen in Meter bzw. Sekunden umzurechnen. 1 Kilometer sind natürlich 1000 Meter. Mr. Pinguin fährt mit 90 Km/h am Polizeiauto vorbei und beschleunigt erst 1 Km weiter auf 180 Km/h, deshalb ist die Anfangsgeschwindigkeit V0=90Km/h und die Maximalgeschwindigkeit Vmax=180Km/h. Um auf Meter/Sekunde zu kommen, musst du die Km/h durch 3,6 teilen. Also sind 90Km/h=25m/s und 180Km/h=50m/s. Die Beschleunigung beträgt 10m/s², diese hat schon die richtigen Einheiten. Wenden wir uns mal dem Polizisten zu. Das Polizeiauto steht am Straßenrand und fährt erst los, nachdem Mr. Pinguin bereits 1 Km Vorsprung hat. Auch er beschleunigt mit 10m/s². Allerdings beträgt die Maximalgeschwindigkeit des Polizeiautos 216 Km/h. Also schreiben wir auf, wenn für den Pinguin X0=1Km beträgt, beträgt für den Polizisten X0=0Km. Der Abstand muss ja 1 Km sein, wenn der Polizist losfährt. Alles was mit dem Polizisten zu tun hat, werde ich im Folgenden mit einem P kennzeichnen. Da der Polizist am Anfang steht, sich also nicht bewegt und dann auf 216 Km/h beschleunigt, beträgt die Anfangsgeschwindigkeit V0=0 und die Maximalgeschwindigkeit Vmax=216Km/h. Diese Zahl teilen wir wieder durch 3,6 um m/s zu bekommen. Die Maximalgeschwindigkeit des Polizisten ergibt sich also zu 60m/s. Die Beschleunigung beträgt wieder 10m/s². Es ist immer gut, sich zunächst ein tV und ein tX Diagramm zu zeichnen und den ganzen Verlauf dort zu skizzieren. Fangen wir mit dem tV-Diagramm des Pinguins an. Der Zeitpunkt 0 soll der Zeitpunkt sein, an dem der Polizist losfährt. Genau dann fängt der Pinguin an, das Auto zu beschleunigen. Also zum Zeitpunkt t=0 fährt er noch mit der Geschwindigkeit V0. Diese steigert sich jetzt aber auf die Geschwindigkeit Vmax. Wir haben gelernt, dass diese beiden Punkte durch eine Gerade verbunden werden, deren Steigung die Beschleunigung ist. Das sagt uns nämlich die uns bekannte Formel V=a×t+V0. Das Ganze sieht nun also so aus. Nachdem die Maximalgeschwindigkeit erreicht ist, wird das Auto nicht weiter beschleunigt. Die Geschwindigkeit ist nun also konstant und damit parallel zur t-Achse. Den Zeitpunkt, an dem die Maximalgeschwindigkeit erreicht wird, nennen wir tmax. Jetzt können wir gemütlich das tX Diagramm darunter zeichnen. Wir starten bei X0 mit der Beschleunigung und nachdem wir bei tmax angekommen sind, haben wir die Maximalgeschwindigkeit und der Beschleunigungsvorgang ist zu Ende. Diesen Punkt nennen wir jetzt einfach mal Xmax Mr. Nach der Formel X=½at²+V0×t+X0 müssen diese beiden Punkte jetzt mit einer Parabel verbunden werden, weil X beim Beschleunigen quadratisch von t abhängt. Nachdem die Maximalgeschwindigkeit erreicht ist, geht die Bewegung in eine gleichförmige Bewegung über und wir bekommen im tX-Diagramm eine einfache Gerade, deren Steigung die Maximalgeschwindigkeit ist. Also lautet die Funktionsgleichung für die Gerade X=Vmax×t+Xm. Dieses Xm ist eine Konstante und bestimmt den Achsenabschnitt der Geraden. Schauen wir uns noch einmal beide Graphen an. Im tV-Diagramm haben wir eine Funktionsgleichung für den beschleunigten und eine andere für den unbeschleunigten Bereich. Wenn wir die Variablen mit den Variablen vergleichen, die wir rechts unten gegeben haben sehen wir, dass wir fast alles gegeben haben. Das Einzige was uns fehlt, ist tmax also die Zeit, die beschleunigte und unbeschleunigte Bewegung voneinander trennt. Dieses tmax können wir aber sehr leicht ausrechnen. Hast du schon eine Idee wie? Unten ist die Situation auch nicht viel schwerer. Auch hier haben wir fast alles gegeben, außer Xm und natürlich tmax, aber das können wir ja leicht mithilfe des oberen Diagramms bestimmen. Also was uns noch fehlt ist der Achsenabschnitt der Funktionsgleichung für den unbeschleunigten Bereich. Auch das sollte kein Problem sein, dazu muss man nämlich nur einen Punkt in die Geradengleichung einsetzen. Da bietet sich z.B. der Punkt tmax xmax an. Auch das werden wir im Folgenden gleich machen. Wir können nun folgende Fragen ganz einfach beantworten: 1. Nach welcher Zeit hat Mr. Pinguin seine Maximalgeschwindigkeit erreicht? 2. Welche Strecke hat Mr Pinguin nun seit der Überholung des Polizeiautos zurückgelegt? 3. Zu welchem Zeitpunkt ist Mr. Pinguin an welchem Ort? Also 1.nach welcher Zeit hat Mr. Pinguin seine Maximalgeschwindigkeit erreicht? Wir suchen hier also tmax, dazu müssen wir nur die Formel V=a×t+V0 benutzen und für V Vmax und für t tmax einsetzen. Dann lösen wir das Ganze nach tmax auf und bekommen tmax^Mr.=Vmax-V0÷a und wenn wir dort die geeigneten Zahlen einsetzen, kommt 2,5 Sekunden heraus. Zu 2., welche Strecke hat Mr. Pinguin nun seit der Überholung des Polizeiautos zurückgelegt? Hier suchen wir also xmax. Dazu müssen wir nur die Formel X=½at²+V0×t+X0 benutzen und für t tmax, für V0 die Anfangsgeschwindigkeit und für X0 den Anfangsort einsetzen. Mit den richtigen Zahlen ergibt sich daraus 1093,75m. Jetzt zu 3., zu welchem Zeitpunkt ist Mr. Pinguin an welchem Ort? Das haben wir ja eigentlich schon mit unserer Skizze beantwortet. Der Graph X von t gibt ja genau an, wo sich Mr. Pinguin zu welchem Zeitpunkt befindet. Wir wollen das aber nun quantitativ in Formeln da stehen haben. Dazu müssen wir 2 Bereiche unterscheiden. 1. t<tmax, also="" den="" beschleunigten="" bereich="" 2.="" t="">tmax, also den unbeschleunigten Bereich Im beschleunigten Bereich haben wir einfach X=½at²+V0×t+X0. Im unbeschleunigten Bereich bekommen wir X=Vmax×t+Xm. Wie vorhin erwähnt, fehlt uns zur kompletten Beschreibung der Bewegung des Pinguins noch Xm. Das überlasse ich jetzt dir. Also berechne Xm, damit die Bewegung des Pinguin vollständig beschrieben ist. Im nächsten Video werde ich es dir ausführlich vorrechnen. Aber es wird dir viel mehr bringen, es jetzt zuerst selbst zu versuchen. So läuft also die Geschichte. Da das Video sonst zu lang wird, habe ich es in 2 Teile geteilt. Das hier war der 1. Teil und im 2. werden wir noch eine ganze Menge interessanter Fragen beantworten, u.a. ob der Polizist Mr. Pinguin einholt. Also wenn du dieses Video komplett verstanden hast, schau dir am Besten direkt den 2. Teil an. Falls nicht, dann spring noch mal in dem Video zu den kritischen Stellen und drück dabei zwischendurch ruhig die Pausetaste zum Nachdenken, falls es dir zu schnell geht. Was du unbedingt verstanden haben solltest, bevor du das 2. Video siehst ist, wie man ein tV und das dazu Passende tX Diagramm skizziert. Je nach dem, was eben passiert. Wenn es dir Spaß macht, kannst du dir auch einfach selbst eine coole Situation überlegen und die passenden Diagramme dazu malen. Das ist nämlich sehr hilfreich. Wenn du das immer machst, bei Aufgaben dieser Art, werden schwere Aufgaben plötzlich zu leichten und leichte lösen sich praktisch selbst. Also, dann kann ich nur sagen, Dankeschön und wir sehen uns im 2. Teil. Ciao.    </tmax,>